連續(xù)函數(shù)壓縮映射問題的討論

1、連續(xù)連續(xù)函數(shù)函數(shù)壓縮壓縮映射映射問題問題的討論討論摘要本文從課本上一個例題出發(fā)引出不動點原理，首先介紹了不動點原理在數(shù)學(xué)分析課程中的重要應(yīng)用如數(shù)列極限問題等，并指出了應(yīng)用不動點原理時所使用的技巧和方法.。其次給出其在方程組求解，數(shù)學(xué)建模來等方面的例子說明不動點原理的廣泛應(yīng)用，以及其在范函分析中更加一般的形式。最后通過介紹其在圖像處理，導(dǎo)航系統(tǒng)及經(jīng)濟領(lǐng)域的應(yīng)用來闡明創(chuàng)新思想的重要性，進一步開拓學(xué)生的思路讓學(xué)生有更多的想像空間。關(guān)鍵字：關(guān)鍵

2、字：不動點連續(xù)函數(shù)函數(shù)方程數(shù)列極限；應(yīng)用引言：引言：在數(shù)學(xué)分析中我們會遇到證明某些函數(shù)方程在指定的區(qū)間內(nèi)有實根或判定某些遞推數(shù)列存在極限等問題，下例便是一個比較典型的：例1設(shè)把區(qū)間映射成并且存在使得對于任意)(xfy?][ba][ba10??q有則][21baxx?2121)()(xxqxfxf???(1)內(nèi)存在唯一的不動點滿足][bax)(xfx?(2)對任意初始值迭代序列收斂于][0bax?)(1nnxfx??x(3).0111xx

3、qqxxxxqxxnnnn????????證明：證明：(1)存在性：由條件知函數(shù)在上連續(xù)。構(gòu)造函數(shù)2121)()(xxqxfxf???][ba顯然它也在上連續(xù)，且滿足：xxfxg??)()(][ba，。0)()(???aafag0)()(???bbfbg由連續(xù)函數(shù)的介值性定理知必存在一點滿足即。][bax?0)(?xg)(xxf?唯一性：假設(shè)存在兩點滿足：，，則由已知條件有21xx11)(xxf?22)(xxf?.矛盾.21212121

4、)()(xxxxqxfxfxx???????(2)1121)()(xxqxxqxxqxfxfxxnnnnn?????????????由知.10??qlimxxnn???(3)由0121211)()(xxqxxqxxqxfxfxxnnnnnnnnn???????????????知01111)(xxqqxxxxxxnpnnnpnpnnpn???????????????????式，下面介紹用不動點法求通項公式的遞推數(shù)列，首先我們給出如下定理：

5、定理定理1：若數(shù)列滿足，若其遞推函數(shù)na)1(1????ABABAaann且且且且且且有不動點，則數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列。BAxxf??)(ABx??100xan?A證明：證明：由為不動點知，所以有0xBAxx??00.AxaBAxBAaxaxBAaxaxannnnnn?????????????0000001顯然結(jié)論成立。例4.數(shù)列滿足求數(shù)列通項。na232111?????naaann解：其遞推函數(shù)為解得不動點.由為公比為的等比數(shù)列3

6、2)(??xxf3??x3?na2且其首項為所以通項為.4na321???nna當(dāng)函數(shù)在上可導(dǎo)時，根據(jù)微分中值定理我們有如下結(jié)論：)(xf][ba推論推論3：若函數(shù)在上可導(dǎo)且，是一個壓縮映射。)(xf][ba1)(?xf)(xf證明：對任意的當(dāng)時都有，，][bayx?yx?yxyxfyfxf?????)()()(?則顯然是一個壓縮映像。)(xf例5.設(shè)，證明收斂并求其極限.)(21011nnnxaxxaxa?????nx證明：證明：設(shè)，

7、則易知axxaxxf???)(21)()[))([?????aaf且，所以有唯一不動點，易的。121121)(2????xaxf)(xf0xax?0所以極限為.nxa二、二、不動點定理在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用不動點定理在數(shù)學(xué)模型中的應(yīng)用如果函數(shù)在是一個連續(xù)函數(shù)，則根據(jù)連續(xù)函數(shù)的介值性定理可知：)(xf][ba推論推論4.若函數(shù)在連續(xù)且滿足，則在至少有一個不)(xf][ba][])([babaf?)(xf][ba動點。例6.日常生活中會有這樣的