第十二章.動(dòng)力學(xué)運(yùn)動(dòng)微分方程

1、第三篇.動(dòng)力學(xué),1.研究?jī)?nèi)容: ⑴建立物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化與力的關(guān)系,研究運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的原因. ⑵進(jìn)一步解決已知受力,如何確定物體的運(yùn)動(dòng),或已知物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化,如何來確定作用在物體上的力,運(yùn)動(dòng)和受力的關(guān)系,,2. 質(zhì)點(diǎn).質(zhì)點(diǎn)系.剛體:,⑴.質(zhì)點(diǎn):具有一定質(zhì)量的幾何點(diǎn). 物體在以下兩種情況下可看成質(zhì)點(diǎn):,①物體尺寸遠(yuǎn)小于其運(yùn)動(dòng)范圍,②物體各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)情況相同→平動(dòng),⑵.質(zhì)點(diǎn)系:由許多相互聯(lián)系著的質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)

2、,⑶.剛體:質(zhì)點(diǎn)系中,任意兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間的距離都 保持不變.這樣的質(zhì)點(diǎn)系叫剛體.,第十二章 動(dòng)力學(xué)基本定律 和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程,,12.1 動(dòng)力學(xué)基本定律,,1 牛頓第一定律:(慣性定律),質(zhì)點(diǎn)如不受外力的作用,將保持其原有的靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài),⑴定律內(nèi)容:,⑵定律的意義:,①指出物體具有慣性 (物體保持運(yùn)動(dòng)狀態(tài)

3、 不變的性質(zhì)→慣性),②定性地指出了力和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化之間的關(guān)系→即力是產(chǎn)生加速度的原因,,,2.牛頓第二定律:(力與加速度的關(guān)系定律),⑴定律內(nèi)容:,質(zhì)點(diǎn)受外力作用時(shí),將產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)加速度,加速度的方向與外力合力的方向一致,其大小與合力的大小成正比,與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量成反比.,⑵定律的數(shù)學(xué)形式:,∑F = m · a,⑶注意理解:,①矢量性: Ⅰ力和加速

4、度都是矢量; Ⅱ力的方向始終與加速 度方向一致,②瞬時(shí)性: 加速度隨力的產(chǎn)生而產(chǎn)生;隨力的消失而消失;隨力的變化而變化 .,③∑F→(“受”.“外”.“合”):∑F是研究對(duì)象受到的力;∑F是外力,不是內(nèi)力;∑F是所有作用于對(duì)象外力的合力,3 牛頓第三定律(作用力,反作用力定律):,⑴定律內(nèi)容:,兩物體之間的相互作用力,總是大小相等方向相反,沿著同一作用線且作用于兩個(gè)物體上

5、.,⑵作用力.反作用力的特性:,①作用力和反作用力性質(zhì)相同: 作用力如果是引力,那么反作用力也必然是引力; 作用力為彈力,則反作用力也為彈力,②作用力.反作用力總是 同時(shí)產(chǎn)生,同時(shí)消失.,③作用力和反作用力總是作用在不同的物體上,不會(huì)抵消.,4 牛頓定律的適用范圍,⑴牛頓定律適用 于慣性參考系,能使牛頓第一定律成立的參考系,稱為慣性參考系.,(一般工程問題,以固結(jié)在地球或相對(duì)

6、地球作勻速直線運(yùn)動(dòng)的物體上的坐標(biāo)系作為慣性參考系.),例如:加速啟動(dòng)的汽車靠背對(duì)人有推力,對(duì)于慣性參考系(地面):推力導(dǎo)致人產(chǎn)生加速度這一現(xiàn)象可以用牛頓定律來研究,解釋.,而對(duì)于非慣性參考系(加速的汽車):人受力但卻相對(duì)汽車靜止.無法用牛頓定律來解釋這一現(xiàn)象.,⑵牛頓定律適用于低速,宏觀物體:,根據(jù)愛因斯坦的相對(duì)論,物體高速運(yùn)動(dòng)時(shí),其長(zhǎng)度和質(zhì)量都有明顯的變化,且這一運(yùn)動(dòng)過程所花的時(shí)間對(duì)于不同的參考系有不同的值,而對(duì)于微觀

7、物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)也只能用量子力學(xué)來研究,12.2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程,,1 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的基本方程,由方程:m · a = ∑F,m·(d2r)/(dt2)=∑F,2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的直角坐標(biāo)形式:,,,,M,,,V,,,a,∑F,Y,X,在平面內(nèi)取直角坐標(biāo)系將式子m·a=∑F兩邊分別投影到X.Y軸上得到,m·ax=∑Xm·ay=∑Y,,,,,M,,,V,,,a,∑F,Y,X,其中

8、:,ax = (d2x)/(dt2),ay = (d2y)/(dt2),m· (d2x)/(dt2)=∑X,M· (d2y)/(dt2)=∑Y,上式即為直角坐標(biāo)下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程,m·ax=∑X m·ay=∑Y,(∑X. ∑Y為∑F在坐標(biāo)軸上的投影),可以得到:,3質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的自然坐標(biāo)形式:,如圖:選擇自然坐標(biāo)形式,將動(dòng)力學(xué)基本方程m·a=∑F投影到該瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)所在位置軌

9、跡曲線的切線方向和法線方向上.得:,,,P,,?,,n,,v,,∑F,,a,s,m·a? = ∑ F? m·an = ∑ Fn,m· (d2s)/(dt2)=∑ F?,m· v2/?=∑ Fn,由運(yùn)動(dòng)學(xué): a? =(d2s)/(dt2) an = v2/?(s為弧坐標(biāo), ?為曲率半徑),12.3 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)的兩類問題,,1 已知質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng),求作用于質(zhì)點(diǎn)的力,⑴建

10、立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方程;,⑵通過微分運(yùn)算,求力在坐標(biāo)軸上的投影;,⑶由靜力學(xué)的知識(shí)求力的大小,方向.,,2.已知作用在物體上的力,求運(yùn)動(dòng)情況.,⑴ 確定研究對(duì)象;,⑵列運(yùn)動(dòng)微分方程,并積分;,⑶由初始條件確定積分常數(shù);,⑷最后計(jì)算出特征量V0.a等,解題步驟:,,確定研究對(duì)象,受力分析,運(yùn)動(dòng)分析,選取坐標(biāo)系,第一類問題,由已知條件確定加速度,建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程,解方程求未知力,,第二類問題,將研究對(duì)象置于運(yùn)動(dòng)過程的一般位置,建立質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分

11、方程,進(jìn)行積分運(yùn)算求解,,,,,,,,,,,,例1(第一類問題),,如圖:電梯以勻加速a上升.求放在電梯地板上重量為G的物體A對(duì)地板的壓力N .,解: ⑴以物體A為研究對(duì)象 作受力分析圖:,,A,,,,,,,a,A,,,N’,G,,a,Y,以物體A的位置為原點(diǎn)建立坐標(biāo)軸Y,⑵列運(yùn)動(dòng)微分方程 m·ay = ∑ Y (G/g) · a = N’ – G

12、 N’ = G (1 + a/g),物體A對(duì)地板的壓力N = N’ = G (1 + a/g),,,A,,,,,,,a,⑶討論: 物體A對(duì)地板的壓力 N = N’ = G (1 + a/g),,②當(dāng)電梯的加速度方向 向上時(shí), a > 0. N = G (1 + a/g) > G 支持力超過重力→超重,③當(dāng)電梯的加速度方向 向下時(shí), a < 0. N = G

13、(1 + a/g) < G 支持力小于重力→失重,A,,,N’,G,,a,Y,①當(dāng)電梯靜止時(shí): 支持力等于重力,,,,例2,,質(zhì)量為1公斤的質(zhì)點(diǎn)M用兩根細(xì)繩系住,另一端分別固定在A.B,如圖.已知質(zhì)點(diǎn)M以速度 v=2.5(m/s)在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng),半徑r=0.5(m)求兩繩的拉力.,,,,,,,,A,B,O,M,,45°,60°,解:,解題思路.,本題是動(dòng)力學(xué)第一類問題.因已知

14、質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡,采用自然坐標(biāo)形式的運(yùn)動(dòng)微分方程.,,,,,,,,,,,A,B,O,M,,45°,60°,1.質(zhì)點(diǎn)M為研究對(duì)象,2.受力分析如圖,,,,,,,W,TA,TB,v,n,τ,r,3.運(yùn)動(dòng)情況分析,質(zhì)點(diǎn)在水平面內(nèi)勻速圓周運(yùn)動(dòng),切向加速度為,a ?= dv/dt=0,an=v2/r,法向加速度指向O點(diǎn),其大小為,4.建立M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程,∑F τ =ma τ =0 ①∑Fn =man

15、 ②,TAsin45°+TBsin60°=mv2/r,,,,,,,,,,,A,B,O,M,,45°,60°,,,,,,W,TA,TB,n,τ,r,由②得:,在豎直方向;,TAcos45°+TBcos60°-W=0,聯(lián)立求解得:,TB=7.38(N),TA=8.65(N),有一圓錐擺如圖所示。擺錘質(zhì)量為M，擺線長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量不計(jì)。已知擺錘在水平面內(nèi)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)．且

16、擺線與鉛垂線始終成α的角．試求小球的速度和擺線的拉力,解：題意分析將擺錘視為質(zhì)點(diǎn)，由題意知，,其運(yùn)動(dòng)軌跡為一巳知圓，,其速度大小不變，,擺錘的加速度只有向心加速度，其方向?yàn)橐阎?，大小為未知?擺錘所受的力有已知重力和未知拉力,,例3,,要求的未知量，既有運(yùn)動(dòng)量，也有未知力，質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，故可利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程亦自然軸上的投影式求解， 其步驟如下：,an=V2 / lsinα,ab = 0,(3) 擺錘受力有已知重力

17、mg，未知拉力T。,(1) 取擺錘為研究對(duì)象。,(2) 擺錘的加速度為,(4) 由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在自然軸上的投影式得,要求的未知量，既有運(yùn)動(dòng)量，也有未知力，質(zhì)點(diǎn)作曲線運(yùn)動(dòng)，故可利用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程亦自然軸上的投影式求解， 其步驟如下：,由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程在 自然軸上的投影式得,man = m(V2 / lsinα) =Tsinα,0 = T cos α - mg,(5) 解方程得:,,重G=10公斤的物體A，隨

18、跑車以速度V0=1m/S沿橋式起重機(jī)的水平梁作勻速度運(yùn)動(dòng)。重物的重心A到懸掛點(diǎn)O的距離OA＝L＝4m，當(dāng)跑車突然急剎車時(shí)，重物因慣性而繞懸掛點(diǎn)向前擺(圖)，求鋼組所受的最大拉力,例4,,[解] (1)受力分析：取重物A為研究對(duì)象，并將它看成為質(zhì)點(diǎn)。重物A受到重力G與鋼繩拉力T作用(圖)。,(2)運(yùn)動(dòng)分析：在剎車前，重物隨同跑車以速度V0作勻速直線運(yùn)動(dòng)，剎車后重物沿以懸掛點(diǎn)o為圓心，OA=L為半徑的圓弧向前擺動(dòng)，因此，運(yùn)動(dòng)軌

19、跡為已知。,(3)當(dāng)重物擺到鋼繩與鉛垂線成角φ的任意位置時(shí)，取自然軸如圖示，列運(yùn)動(dòng)微分方程,由此可見，跑車在吊車梁上勻速行駛時(shí)，重物處于平衡狀態(tài)，鋼繩的拉力就等于物體的重量G,當(dāng)跑車剎車時(shí)，重物的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，為了避免鋼繩中產(chǎn)生過大的附加動(dòng)拉力，應(yīng)要求跑車行駛平穩(wěn)，速度放慢，另外在不影響起吊等工作安全的條件下，吊繩應(yīng)盡量長(zhǎng)些以減小動(dòng)荷系數(shù)。,如圖所示，一粗糙平面的傾角為θ， 以一水平加速度a0向右運(yùn)動(dòng)。如果一質(zhì)點(diǎn)放于斜面上要保持

20、相對(duì)靜止，問質(zhì)點(diǎn)和斜面之間的摩擦系數(shù)至少應(yīng)為多少7,例5,,解：題意分析 本題要求質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于斜面保持靜止，即要求質(zhì)點(diǎn)與斜面具有相同的速度和加速度，因此質(zhì)點(diǎn)的加速度為已知。根據(jù)靜力學(xué)知。質(zhì)點(diǎn)和斜面無相對(duì)滑動(dòng)的條件是F＜fN，即f＞F/N，其中F為摩擦力，N為法向反力。因此，求摩擦系數(shù)f的最小值，即是求F/N的值?？梢姶祟}以質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，屬于動(dòng)力學(xué)的第一類問題，即巳知運(yùn)動(dòng)求力的問題。其解題步驟如下：,(1) 取質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，如圖

21、所示。,(2) 質(zhì)點(diǎn)的加速度a=a。為巳知。,質(zhì)點(diǎn)受已知重力mg，未知摩擦力F和 法向反力N．,取坐標(biāo)軸x和y如圖所示，由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng) 微分方程在x,y兩坐標(biāo)軸上的投影式可得,[例5] (第二類問題)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在已知力X=Hcosωt的作用下沿水平軸x運(yùn)動(dòng)，其中H與ω均為常數(shù)：當(dāng)初瞬時(shí)t＝0時(shí)，X＝X0,V＝V0(圖)。求此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。,[例6],,炮彈以初速V。與水平面成α夾角發(fā)射，若不計(jì)空氣阻力，求炮彈在重

22、力作用下的運(yùn)動(dòng)方程。,解：題意分析 炮彈可視為質(zhì)點(diǎn)。要求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程，必須先求出質(zhì)點(diǎn)在任意時(shí)刻的加速度，然后根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的初始運(yùn)動(dòng)條件進(jìn)行積分。質(zhì)點(diǎn)的受力只有重力，因此質(zhì)點(diǎn)加速度可求。此題為典型的第二類動(dòng)力學(xué)問題。其解題步驟如下:,例7,,(1) 取炮彈為研究對(duì)象，并視為質(zhì)點(diǎn)．,(3) 炮彈受巳知重力mg作用．,(2) 炮彈為自由質(zhì)點(diǎn)，一般可在三維空間運(yùn)動(dòng),取炮彈初始位置力坐標(biāo)系oxyz的原點(diǎn)， 如圖所示。設(shè)炮彈任意時(shí)刻的坐

23、標(biāo)為(x,y,z)， 則由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的直角坐標(biāo)式得,m·(d2x/dt2 ) =0m·(d2y/dt2 ) =0m·(d2z/dt2 ) = -mg,d2x/dt2=0d2y/dt2=0d2z/dt2= -g,x = 0y = 0z = 0,Vx=dx/dt=0Vy=dy/dt=V0cosαVz=dz/dt=V0sin α,當(dāng)t=0時(shí):(初始條件),,(a),(b),(c

24、),(5) 解微分方程 由式(a)，(b)，(c)中第一方程式得 x=0 即炮彈只在oyz鉛垂面內(nèi)運(yùn)動(dòng).由(c)中第二方程式得,dy/dt=V0cosα,分離變量，并考慮到初始條件，即式(b)中第二式，得:,y=V0t·cosα,∫y dy=V0cosα∫tdt 0 0,對(duì)式(a)中第三個(gè)方程積分，并考慮到初始條件，可得:,∫Vz dV

25、z = -g∫tdt V0sinα 0,Vz -V0sin= -gt,Vz =dz/dt = V0sinα - gt,再一次采用分離變量，并考慮到初始條件，得,∫z dz= -g∫t (V0sinα - gt)dt 0 0,z = V0t·sinα – gt2/2,這樣，我們就得到了用直角坐標(biāo)表示的炮彈的運(yùn)動(dòng)微分方程:,消夫時(shí)間t得炮彈的