非凸優(yōu)化的近似束方法及收斂理論.pdf_第1頁
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1、束方法目前是解決非光滑優(yōu)化問題最有前景的方法之一.出于實(shí)際計(jì)算的需要,本文使用兩個(gè)擾動(dòng)函數(shù)共同控制真實(shí)目標(biāo)函數(shù),利用它們的信息構(gòu)建增廣函數(shù),從而把凸優(yōu)化迫近束方法應(yīng)用到非凸問題中來.首先,類似地建立目標(biāo)函數(shù)的下近似模型,通過求解二次規(guī)劃最小值點(diǎn)作為下一個(gè)候選點(diǎn),進(jìn)一步再篩選出下降點(diǎn),并提出了具體算法.其次,本文利用Lagrange函數(shù)寫出了束方法子問題的對(duì)偶問題,揭示了擾動(dòng)后對(duì)偶問題的最優(yōu)解和原問題的最優(yōu)解之間的關(guān)系.最后,本文從模型具

2、有的性質(zhì)和算法的漸近行為兩個(gè)方面研究了構(gòu)造算法的收斂性問題.
  本論文根據(jù)實(shí)際情況構(gòu)造更一般的非凸非光滑函數(shù)的下近似模型,探究束方法的對(duì)偶問題和具體算法的收斂性問題.全文共分為四個(gè)部分,其主要內(nèi)容如下:
  第一章,首先列舉一系列經(jīng)典的非凸非光滑函數(shù)優(yōu)化問題相關(guān)文獻(xiàn),通過對(duì)這些論文思想的討論,引出一個(gè)新思想:本文我們將非凸函數(shù)的重新分配迫近束方法和對(duì)目標(biāo)函數(shù)采取近似虛擬值的選取技巧相結(jié)合,求解更一般化的非凸非光滑無約束優(yōu)化

3、問題.
  {min f(y)s.t.y∈Rn,
  其中f:Rn→R是一個(gè)非凸函數(shù).出于實(shí)際計(jì)算的需要,本文使用兩個(gè)擾動(dòng)函數(shù)共同控制真實(shí)目標(biāo)函數(shù):假設(shè)(f)(y)≈f(y)+ε/nm(y),其中m(y)是光滑函數(shù)且m(y)∈[-n,n];(f)(y)是一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的非光滑函數(shù)且(f)(y)∈[f(y)-ε,f(y)+ε].接下來,我們給出一些預(yù)備知識(shí):迫近有界、lower-C2函數(shù)、近似迫近點(diǎn)映射pR、近似穩(wěn)定點(diǎn)等基本概念

4、.
  第二章,主要討論模型的構(gòu)建:在每次迭代過程中,束方法保留了不精確束信息,對(duì)近似函數(shù)(f)(y)-ε/nm(y),在下降點(diǎn)(x)k點(diǎn)構(gòu)建增廣函數(shù),并利用凸優(yōu)化束方法思想類似地建立增廣函數(shù)的下近似模型,通過近似線性化誤差等迭代信息構(gòu)建切平面模型,根據(jù)xn+1:=pμn(Φ)n((x)k),也就是求解二次規(guī)劃最小值點(diǎn)選取下一個(gè)候選點(diǎn),進(jìn)一步再篩選出下降點(diǎn),然后更新束信息,循環(huán)以上步驟繼續(xù)求解下一個(gè)下降點(diǎn).最后給出近似束方法算法,

5、使束方法整體邏輯更清晰.
  第三章,利用Lagrange函數(shù)寫出了束方法子問題的對(duì)偶問題,揭示了擾動(dòng)后對(duì)偶問題的近似最優(yōu)解和原問題的近似最優(yōu)解之間的關(guān)系.然后給出三個(gè)相關(guān)次梯度所屬關(guān)系,并進(jìn)行了嚴(yán)格的理論證明.
  第四章,針對(duì)第二章中構(gòu)造的切平面模型,分析并證明了模型具有的四個(gè)性質(zhì),同時(shí)考慮隨著迭代進(jìn)行而產(chǎn)生的相應(yīng)的切平面模型族,發(fā)現(xiàn)當(dāng)?shù)揭欢ǔ潭葧r(shí),參數(shù)μn和ηn最終穩(wěn)定;與此同時(shí),我們還得出一個(gè)類似于文獻(xiàn)[29]的

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