非凸函數(shù)的凸化方法.pdf

1、本文主要針對下列三類重要的“非凸問題”用“凸化”的思想方法展開研究：(1)非凸函數(shù)的優(yōu)化和擾動優(yōu)化的存在性；(2)(非凸函數(shù)的)廣義導(dǎo)數(shù)(次微分)用其局部凸化函數(shù)的次微分逼近問題；(3)度量空間(可以看作為Banach空間中的子集)上度量凸函數(shù)的基本性質(zhì)與其凸化函數(shù)的關(guān)系．更多地借助局部凸化、度量空間等距嵌入等新方法，最后我們得到諸如下列意料之外的結(jié)果： A：一個廣義實值函數(shù)的無限制線性擾動優(yōu)化在某點存在等價于它的凸化函數(shù)在該

2、點取值不變且次微分存在(第二章引理2.1.2)，以及一個函數(shù)可以延拓成凸函數(shù)的特征條件(第二章定理2.1.3，推論2.1.4)； B：我們借助非凸函數(shù)的局部凸化方法，在第三章引入了一種新的廣義次微分(第三章定義3.1.1，定義3.1.2)，事實證明它繼承了經(jīng)典次微分的諸多性質(zhì)(第三章定理3.1.5，定理3.1.6，定理3.1.10)，克服了由于Clarke導(dǎo)數(shù)(集合)太大而帶來的不便，保留了原函數(shù)諸如可微性等良好性質(zhì)(第三章定

3、理3.1.13，推論3.1.14)，可有效應(yīng)用于Clarke次微分的逼近(第三章推論3.1.15)； C：雖然Banach空間上“凸函數(shù)”和“度量凸函數(shù)”是互不包含的概念(第四章反例4.2.5，反例4.3.5)，但“一維”度量凸函數(shù)實質(zhì)就是凸函數(shù)．這樣就為第五章引入諸如度量凸函數(shù)的方向?qū)?shù)等許多基本而又是非常重要的概念(第五章定義5.1.3，定義5.1.4)和建立相應(yīng)的微分理論(第五章定理5.2.1，定理5.2.3，定理5.2