薛定諤方程的邊界條件及其數(shù)值解法.pdf

1、薛定諤方程是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)與量子物理以及量子化學(xué)研究中一個(gè)十分重要的偏微分方程，它在許多領(lǐng)域有著重大意義。諸如量子半導(dǎo)體、電磁波傳播、地震偏移等等許多實(shí)際的問題都需要求出各種不同形式的薛定諤方程的數(shù)值解。然而給定一個(gè)薛定諤方程的初值問題，如何求得它的數(shù)值解仍然存在著許多相關(guān)問題。首先對(duì)于它的一個(gè)初值問題構(gòu)造合適的邊界條件就是研究它的數(shù)值解的開端。在眾多實(shí)驗(yàn)物理和工程技術(shù)學(xué)者的眼里，在較大的區(qū)域上賦以零邊界條件仍然是合適的做法，但是這樣的做法

2、的弊端在于不可能描述到跨度很長(zhǎng)的時(shí)間，因?yàn)椴ㄐ螘?huì)傳遞到原先區(qū)域的邊界上。如果要描述跨度較長(zhǎng)的時(shí)間衍化問題，就必須要將原先的計(jì)算區(qū)域再次擴(kuò)大，這不可避免的要耗費(fèi)大量的人力財(cái)力。自上個(gè)世紀(jì)以來，眾多偏微分方面的學(xué)者在試圖構(gòu)造合適邊界條件，旨在在小區(qū)域上刻畫較長(zhǎng)跨度的時(shí)間衍化的薛定諤方程。本文在前人的基礎(chǔ)上對(duì)這類問題展開研究工作。
　　第一部分首先以較短的篇幅介紹薛定諤方程的背景知識(shí)，其次提供了幾個(gè)分析方面的例子，最后簡(jiǎn)要概述了國(guó)內(nèi)外對(duì)

3、薛定諤方程的研究現(xiàn)狀。
　　第二部分從一維線性薛定諤方程出發(fā)，首先構(gòu)造了它的邊界條件，包括準(zhǔn)確邊界條件和人工邊界條件。描述了它們的離散方法，并且由此對(duì)衍生的初邊值問題提供了離散格式。最后結(jié)尾給出了若干計(jì)算例子。
　　第三部分將一維問題拓展到高維，其中并沒有直接對(duì)高維問題構(gòu)造邊界條件，而是對(duì)方程進(jìn)行變換、處理，這樣的方法旨在將高維問題化為一維問題來做。另一方面也使用分裂理論更加直接的給出了高維問題的數(shù)值解法。
　　第四部