最強(qiáng)Orlicz-Pettis拓?fù)浼白钜话愕腛rlicz-Pettis型定理.pdf

1、本文主要在一個(gè)具有普遍意義的對(duì)偶系統(tǒng)(E，F(xiàn))中研究了Orlicz-Pettis定理和Orlicz-Pettis拓?fù)?，得到了最?qiáng)的Orlicz-Pettis拓?fù)浜鸵粋€(gè)最一般的Orlicz-Pettis型定理.這個(gè)結(jié)論的產(chǎn)生具有非常重大的理論與實(shí)際意義：首先，它是幾十年來Orlicz-Pettis型定理的一個(gè)終極性結(jié)果，我們不但得到了最強(qiáng)的Orlicz-Pettis拓?fù)銸P(E，F(xiàn))，而且還找到了生成拓?fù)銸P(E，F(xiàn))的F的最大子集族FO

2、P(E，F(xiàn))，而使得余下的研究只能圍繞著F的哪一類特殊的子集族包含在最大子集族FOP(E，F(xiàn))中來進(jìn)行；其次，我們的研究框架具有空前的普遍性，致使歷史上的各種Orlicz-Pettis型定理都成為了這個(gè)結(jié)論的特殊情形，而且許多其它著名的定理也成為它的推論，例如Vitali-Hahn-Saks-Nikodym定理、Graves-Ruess定理和Thomas定理等；另外，同我們所得的最強(qiáng)Orlicz-Pettis拓?fù)銸P(E，F(xiàn))相比，Tw

3、eddle得到的Orlicz-Pettis拓?fù)洇?E，G”)和Dierolf得到的Orlicz-Pettis拓?fù)銬只是拓?fù)銸P(E，F(xiàn))在特殊框架下的兩個(gè)特殊情形，而且τ(E，G”)與D雖然都是局部凸空間中的Orlicz-Pettis拓?fù)?，但是Tweddle和Dierolf都僅僅給出了其拓?fù)湓诟髯砸饬x下的最強(qiáng)性，而沒能夠指出E’或G”中的何種子集M使得當(dāng)∞∑j=1xj子級(jí)數(shù)弱收斂時(shí)，級(jí)數(shù)∞∑j=1f(xj)關(guān)于f∈M一致收斂.事實(shí)上，生

4、成Tweddle拓?fù)浜虳ierolf拓?fù)涞淖蛹宥及谖覀兊淖畲笞蛹錐OP(E，F(xiàn))中.而弄清楚這個(gè)最大的子集族不僅有著明顯的理論意義，而且還有重要的實(shí)際意義，例如在測(cè)度系統(tǒng)(∑，ca(∑，G))中，一致地可列可加測(cè)度族的全體就相當(dāng)于是M的全體.這也充分說明了在比線性對(duì)偶更加一般的框架下討論子級(jí)數(shù)收斂問題的必要性. 其次，在局部凸空間中建立了級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的定義，將原本只在賦范空間中有定義的級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂這一簡(jiǎn)單概念進(jìn)行了推廣

5、.這使得對(duì)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂的研究突破了范數(shù)的限制，對(duì)級(jí)數(shù)收斂理論來說具有重大意義.由于在有限維空間中，級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂、無條件收斂、子級(jí)數(shù)收斂和有界乘數(shù)收斂都是等價(jià)的，因而只有在無限維空間中去研究它們的關(guān)系才是必要的，而且這樣的研究也具有十分重要的理論和實(shí)際意義，例如，著名的Orlicz定理、Dvoretzky-Rogers定理和Rolewicz-Ryll-Nardzewski定理等就是對(duì)這幾種級(jí)數(shù)收斂關(guān)系的研究.本文將在局部凸空間中，對(duì)級(jí)數(shù)

6、的絕對(duì)收斂與有界乘數(shù)收斂的性質(zhì)及其關(guān)系進(jìn)行深入地探討與研究，進(jìn)而得到以下結(jié)果：在任意對(duì)偶(X，X’)中，存在一個(gè)可容許拓?fù)洇?X，X’)使得，在(X，η(X，X’))上，有界乘數(shù)收斂級(jí)數(shù)都是絕對(duì)收斂的，但是當(dāng)可容許拓?fù)洇訃?yán)格強(qiáng)于η(X，X’)時(shí)，在(X，τ)中，一定存在級(jí)數(shù)有界乘數(shù)收斂，但不是絕對(duì)收斂的.這個(gè)結(jié)果的建立主要借助于李容錄的一致收斂引理和Antosik-Mikusinski基本矩陣定理. 另外，在已經(jīng)對(duì)級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂

7、概念進(jìn)行了推廣的基礎(chǔ)之上，我們通過對(duì)絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的研究，并且借助于李容錄的一致收斂引理和Antosik-Mikusinski基本矩陣定理，得到了對(duì)偶中的一個(gè)關(guān)于絕對(duì)收斂級(jí)數(shù)的不變性定理，即當(dāng)局部凸空間X序列弱完備時(shí)，在對(duì)偶(X，X’)中，存在一個(gè)X上的可容許極拓?fù)銯(C)使得，F(xiàn)(C)與弱拓?fù)洇?X，X’)具有相同的絕對(duì)收斂級(jí)數(shù).這個(gè)結(jié)論在級(jí)數(shù)收斂理論中具有重要意義.因?yàn)樽鳛閷?duì)偶中的不變性質(zhì)，子級(jí)數(shù)收斂、無條件收斂和有界乘數(shù)收斂都曾經(jīng)被