再生核空間中若干非線性問題的研究.pdf

1、在科學(xué)和工程的各個領(lǐng)域中，許多問題都可用非線性方程來描述。而獲得非線性方程的解（數(shù)值解和精確解）將有助于人們展開對它所反映的現(xiàn)實(shí)自然現(xiàn)象進(jìn)行分析和研究。所以，本文在非線性方程求解方面進(jìn)行了如下的研究。
　　首先對崔明根教授于1986年提出的再生核空間進(jìn)行了研究。利用一維再生核空間的直積形式構(gòu)造了二維再生核空間，獲得了二維空間中再生核函數(shù)的表達(dá)式，并將其推廣到多維再生核空間的構(gòu)造。從而為求解各種方程建立了空間的理論框架。
　　

2、其次，在再生核空間W12[a,b]中，給出了非線性算子方程A1(vBv)+A2v=f的精確解。利用再生核函數(shù)的特殊性質(zhì)和升元的方法，構(gòu)造了定義在再生核空間W1(Ω)上的有界線性算子，使得非線性算子方程等價的轉(zhuǎn)化為線性算子方程Tu=f。當(dāng)線性算子方程解唯一的情況下，獲得了非線性方程解的精確表述。數(shù)值算例驗(yàn)證了該算法的有效性。
　　將上面的結(jié)論推廣，本文在二維再生核空間W2(Ω)中，研究了Av2+Kv+Pv+Ev=f型的非線性積分微分

3、方程。同樣將其轉(zhuǎn)化為四維再生核空間中的線性算子方程進(jìn)行求解。當(dāng)線性方程解不唯一時，本文研究了該線性方程的齊次方程解空間的表示，并給出了其上的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。因此獲得了線性方程的全部解。再利用兩個方程解之間的關(guān)系，得到了求解非線性方程近似解的數(shù)值算法。數(shù)值試驗(yàn)?zāi)M驗(yàn)證了算法的有效性。
　　另外，以實(shí)際問題-黑體輻射為例證明，對于第一類Fredholm積分方程，當(dāng)積分核函數(shù)滿足一定條件時，該不適定問題在再生核空間中已經(jīng)變?yōu)檫m定問題求解

4、。同時在再生核空間W12[a,b]中給出了一種求解該問題的穩(wěn)定數(shù)值算法。對實(shí)際數(shù)據(jù)用該算法進(jìn)行數(shù)值模擬，并與以前的工作相比較，得到了較好的結(jié)果。
　　最后，在再生核空間中，本文對非線性偏微分方程進(jìn)行了研究。考慮了一類非線性雙曲型偏微分方程。先將方程兩邊積分降低求解空間的要求，再利用初始條件線性化方程進(jìn)而獲得非線性方程的一組形式解。注意到使用再生核函數(shù)構(gòu)造的空間基底函數(shù)具有分離形式，從而得到確定非線性方程近似解的數(shù)值算法。進(jìn)行數(shù)值實(shí)

5、驗(yàn)后，計算結(jié)果表明算法是有效的。
　　本文還在再生核空間中考慮了一類非線性發(fā)展方程。利用其初始條件構(gòu)造線性算子，并通過求解線性方程獲得原來非線性方程的形式解，將其帶入原方程，使余項(xiàng)函數(shù)在再生核空間范數(shù)意義下達(dá)到最小，進(jìn)而獲得非線性方程的數(shù)值解。為了驗(yàn)證該算法的有效性，首先給出了一個簡單的數(shù)值算例，通過其表明該算法的收斂性，并看到其數(shù)值結(jié)果是令人滿意的。然后應(yīng)用這個方法求解了Burgers'方程和一種簡單的系數(shù)反問題，數(shù)值結(jié)果都表明