關于若干非線性問題算法的研究.pdf

1、許多自然現象都是借助于線性、非線性方程來描述的，這些方程作為重要的數學模型在物理學、生物學、控制科學等很多研究領域中有著廣泛的應用，而對這些現象的分析一般可歸結為微分方程的求解問題，由于獲得該類方程精確解的解析表達式是非常困難的，所以發(fā)展適用的數值方法就成為既有理論意義又有實際價值的研究課題。因此如何求解這些有實際意義的方程也就變得越來越重要了。
　　本文運用再生核空間的技巧，給出了幾類線性和非線性微分方程的求解算法。
　　

2、文中詳細地敘述了再生核空間的應用背景和研究歷史，回顧了再生核空間發(fā)展狀況。并且在文中的每一部分都給出了若干具體的再生核空間。在所有給出的再生核空間中都有具體的再生核函數表達式，并且每一章都進行了相應的數值試驗。這些數值試驗驗證了理論上推出的結論的正確性。
　　首先，通過改進原有再生核空間的內積定義，我們簡化了再生核函數的表達式，并且通過再生核表達式得到了一組標準正交基，在這組基上進行了Fourier級數展開，從而在第二章中得到了五

3、階線性方程的解。同時，在第三章又構造了一種適合在計算機上實施的逼近序列來求解奇異線性問題，它的結構簡單，對于逼近節(jié)點數目很大的離散函數頗為有效。逼逅序列的誤差在Sobolev范數意義下是遞減的并且能保證逼近過程的一致收斂性。
　　其次，在再生核空間中構造了一種收斂的迭代序列，通過截斷級數的形式得到了方程的近似解，同時若方程解存在不唯一的情況下，可以進一步求出滿足一定附加條件的特解。這種迭代法適用于一般的非線性方程，本文運用此方法在

4、第四章和第五章分別對奇異非線性方程組和非線性無限比例延遲方程進行了求解。
　　最后，在第六章中求解二階非線性偏微分方程。主要利用再生核空間中的再生性質，將其轉化為線性算子方程進行求解。將邊界條件齊次化后融入到二維再生核空間中，運用本文的方法可以求得一個帶有未知量的解的表達式，然后通過最小二乘法的技巧，最終獲得非線性算子方程的解。
　　本文所提的求解算法在理論上和實際試驗模擬來看有以下優(yōu)點：算法簡單，通過數值模擬我們也驗證了每