部分信息下正倒向隨機系統(tǒng)的微分博弈問題及金融中的應用.pdf

1、本篇論文主要研究了部分信息下由正倒向隨機微分方程驅(qū)動的隨機微分博弈問題，及其相關理論在金融中的應用。全文共分為六章。
　　在控制系統(tǒng)中，決策者需要根據(jù)已掌握的信息進行決策。大部分情況下，決策者無法獲取完全真實的狀態(tài)方程，觀測到全部的信息。因此，他們只能基于所掌握的部分信息或由觀測方程得到的信息進行決策，并對狀態(tài)方程的真實形式進行估計，得到濾波方程。同時，在經(jīng)典的控制系統(tǒng)中，往往只考慮單一控制與單一目標的問題。然而實際中，存在如囚徒

2、困境等多決策者多目標的博弈情形。在制定策略時，決策者需要考慮他人的策略，使自身的代價泛函達到最優(yōu)。問題變?yōu)閷ふ也┺牡摹癗ash均衡點”，而不再是“最優(yōu)控制”。單一參與者的最優(yōu)控制問題也可認為是多參與者博弈問題的特殊情況。而隨機微分博弈問題，即以動態(tài)的隨機微分方程刻畫狀態(tài)方程，構建博弈系統(tǒng)，針對相應的Nash均衡點進行研究。在第一章中，對本論文涉及的研究背景進行介紹，并闡述每章工作的主要貢獻。
　　第二章中，研究了部分可觀測情形下由

3、正倒向隨機微分方程驅(qū)動的微分博弈問題。其中，正向隨機微分方程的擴散項系數(shù)包含控制變量，控制域為凸集?？紤]博弈參與者無法完全觀測到真實的狀態(tài)過程，僅能通過各自的觀測方程進行決策。同時，考慮觀測方程與狀態(tài)方程之間存在相關噪聲，且觀測方程中顯式含有控制變量。利用凸變分技術，引入了相應的伴隨方程，得到Nash均衡點滿足的最大值原理（必要性條件）及驗證定理（充分性條件）。
　　第三章中，在隨機線性二次系統(tǒng)下，研究了部分可觀測情形下的微分博弈

4、問題。其中，狀態(tài)方程由正倒向的隨機微分方程驅(qū)動，正向方程中擴散項系數(shù)不含控制變量且控制域不要求為凸集。假設博弈參與者無法完全觀測到真實的狀態(tài)過程，僅能根據(jù)觀測過程產(chǎn)生的信息流進行決策。應用倒向分離技術克服了博弈參與者控制過程適應于受控信息流的循環(huán)依賴關系。應用針狀變分方法，得到了該問題Nash均衡點滿足的必要性條件與充分性條件。同時，利用隨機濾波公式，得到了狀態(tài)的濾波方程，并給出了均衡點的狀態(tài)反饋表達形式與Riccati方程。作為理論應

5、用，引入g-期望作為凸風險測度的度量，研究了一類風險最小化的投資問題，并對結果進行了數(shù)值模擬與分析。
　　第四章中，針對含有延遲與超前延遲的正倒向隨機微分方程，研究了部分信息下的微分博弈問題。同時，考慮博弈參與者只能基于不完全的信息流進行決策。利用凸變分技術建立了該模型下Nash均衡點滿足的最大值原理與驗證定理。進一步，針對含有延遲與超前延遲項的線性二次系統(tǒng)，得到了Nash均衡點的顯式表達式并證明了Nash均衡點的存在唯一性。同時

6、，利用隨機濾波公式得到了相應的狀態(tài)濾波方程。最后，作為理論應用，研究了一類帶延遲的風險最小化消費問題，給出了顯式的Nash均衡策略。
　　第五章中，研究了具有時間不一致性的部分可觀測隨機線性二次控制系統(tǒng)。其中，狀態(tài)方程為由布朗運動和泊松跳過程共同驅(qū)動的正向隨機微分方程。不同于經(jīng)典形式的代價泛函，考慮其中包含有初始狀態(tài)依賴項與狀態(tài)條件期望的非線性項（平方項）。該類效用形式會導致動態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生時間不一致性，使得經(jīng)典的Bellman最優(yōu)性

7、原理不再滿足，無法應用動態(tài)規(guī)劃方法進一步求解。針對每個時間點偏好的不同，由博弈的思想給出該類問題均衡控制的定義。進一步，在完全信息下，給出隨機系數(shù)模型均衡控制的顯式表達式。而后，在確定性系數(shù)情形下給出均衡控制滿足的反饋表達式與Riccati方程。最后，針對部分可觀測系統(tǒng)，在特殊情形下給出了狀態(tài)濾波方程，并對均衡控制滿足的反饋表達式進行了驗證。
　　第六章中，結合金融模型，研究了一類具有模型不確定性的魯棒最優(yōu)消費與投資組合問題?？紤]

8、投資者為模糊厭惡的(Ambiguity averse)，即投資者由于無法獲知模型的準確分布而產(chǎn)生的厭惡的懷疑態(tài)度。模糊厭惡的投資者認為由現(xiàn)有數(shù)據(jù)產(chǎn)生的模型僅為“參考模型”并不準確，而其他的模型可能會更好。因此，投資者希望找到某種具有魯棒性（穩(wěn)健性）的最優(yōu)投資與消費策略，使得即使在模型最差的情況下，依然可以保證投資的穩(wěn)健性。在模型的假設中，考慮資產(chǎn)過程為具有隨機波動率的跳擴散過程，且投資者對于擴散風險與跳風險分別有不同的模糊厭惡程度。這里

9、，假設投資者具有Duffie-Epstein-Zin遞歸效用，該遞歸效用在連續(xù)時間下將風險厭惡系數(shù)與消費的跨期替代彈性相分離，適用更為廣泛?？紤]市場中的投資者不僅可以進行股票與無風險債券的交易，同時可以進行衍生品交易。由于資產(chǎn)過程會受到多種風險因素的影響，衍生產(chǎn)品的引入可以使得市場完備化。分別針對完全市場與不完全市場中（不進行衍生品交易）的模型進行研究，并在投資者的消費跨期替代彈性為1時，得到模型精確的解析解;消費跨期替代彈性不為1時，