平均場(chǎng)正倒向隨機(jī)微分方程及相關(guān)的最優(yōu)控制、微分對(duì)策問(wèn)題.pdf_第1頁(yè)
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1、平均場(chǎng)隨機(jī)微分方程,也稱(chēng)為McKean-Vlasov方程,在很多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用,像統(tǒng)計(jì)力學(xué),物理學(xué),量子力學(xué)和量子化學(xué)。Lasry和Lions [57]最近的一系列文章更是將這類(lèi)方程的應(yīng)用領(lǐng)域拓展到經(jīng)濟(jì)、金融和對(duì)策理論。隨著平均場(chǎng)隨機(jī)微分方程理論的發(fā)展,特別是最近幾年,很多學(xué)者對(duì)McKean-Vlasov類(lèi)型偏微分方程產(chǎn)生了極大的興趣,并嘗試用隨機(jī)的方式對(duì)其進(jìn)行研究。當(dāng)隨機(jī)系統(tǒng)的規(guī)模非常龐大時(shí),通過(guò)刻畫(huà)由大量隨機(jī)微粒構(gòu)成的系統(tǒng)的漸進(jìn)

2、行為來(lái)描述這些系統(tǒng)。受Lasry和Lions [57]工作的啟發(fā),Buckdahn,Djehiche,Li和Peng [17]利用純隨機(jī)的方法,在研究一類(lèi)特殊的平均場(chǎng)問(wèn)題時(shí),得到了一類(lèi)新的倒向隨機(jī)微分方程—平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程。隨后,在2009年,Buckdahn,Li和Peng [20]證明了在Lipschitz條件下平均場(chǎng)倒向隨機(jī)微分方程的解存在唯一,并給出相關(guān)非局部擬線性偏微分方程的概率解釋。后面的兩項(xiàng)工作吸引了許多學(xué)者來(lái)研究平

3、均場(chǎng)框架下的隨機(jī)微分方程理論,大量的平均場(chǎng)框架下關(guān)于正倒向隨機(jī)微分方程理論和應(yīng)用方面的工作不斷涌現(xiàn)。
  另一個(gè)方面,自從Bellman[6]提出動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法以來(lái),這種方法便成為研究隨機(jī)控制問(wèn)題的一個(gè)主要工具。它建立起隨機(jī)微分方程與偏微分方程之間關(guān)系,為給出相關(guān)偏微分方程的概率解釋提供了可能。但是平均場(chǎng)情形下,研究正倒向隨機(jī)微分方程的最優(yōu)控制及微分對(duì)策問(wèn)題時(shí),一個(gè)直接的技術(shù)困難是動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理不再成立。為此,我們不得不固定零時(shí)刻的參

4、數(shù),通過(guò)研究以下新類(lèi)型的正倒向隨機(jī)微分方程來(lái)克服這一困難:和值函數(shù)耦合的倒向隨機(jī)微分方程;對(duì)策中和上、下值函數(shù)耦合的倒向隨機(jī)微分方程;涉及值函數(shù)的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程;以及涉及值函數(shù)的一般的完全耦合的正倒向隨機(jī)微分方程。
  在2013年,法國(guó)科學(xué)院院士Fields獎(jiǎng)獲得者P.L.Lions在Collège de France的一系列講座(或者參考Cardaliaguet [23]編寫(xiě)的課堂筆記)將平均場(chǎng)問(wèn)題的研究工作推向

5、了一個(gè)新的高度。P.L.Lions在講座中指出可以通過(guò)研究函數(shù)(f)(ξ):=f(Pξ)關(guān)于ξ的Fréchet導(dǎo)數(shù),來(lái)研究定義在測(cè)度空間P2(Rn)上的函數(shù)f:P2(Rn)(→)R關(guān)于測(cè)度的導(dǎo)數(shù)。受這一思想啟發(fā),Carmona和Delarue [27],[28]研究了人口數(shù)量較大的均衡主方程和正倒向隨機(jī)微分方程,及受控的McKean-Vlasov方程。Cardaliaguet [24]應(yīng)用變差方法證明了局部耦合的一階平均場(chǎng)對(duì)策系統(tǒng)的一個(gè)

6、弱解的存在唯一性。特別值得一提的是,Buckdahn,Li,Peng和Rainer [21]考慮由布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的一般情形下的平均場(chǎng)隨機(jī)微分方程,此時(shí)方程的系數(shù)不僅依賴于解,同時(shí)也依賴于解的分布。證明了由方程的解定義的值函數(shù)是一個(gè)涉及分布的非局部偏微分方程的唯一的經(jīng)典解?;贐uckdahn,Li,Peng和Rainer [21]的工作,本文第六章考慮了帶跳的平均場(chǎng)隨機(jī)微分方程,并給出了相關(guān)的偏微分方程的概率解釋。
  本論文主要研

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