正倒向隨機(jī)微分方程的數(shù)值解法及其在PDEs中的應(yīng)用研究.pdf

1、1990年，Pardoux和Peng（彭實(shí)戈院士）[68]解決了一般形式的非線性倒向隨機(jī)微分方程(BSDEs)解的存在唯一性.這一重大成果奠定了倒向隨機(jī)微分方程的理論基礎(chǔ).1991年，Peng[74]給出了非線性Feynman-Kac公式，建立了BSDEs的解和二階擬線性PDEs解之間的關(guān)系.正倒向隨機(jī)微分方程（倒向隨機(jī)微分方程）逐漸發(fā)展成為隨機(jī)分析理論中的重要分支.正倒向隨機(jī)微分方程在隨機(jī)最優(yōu)控制、金融數(shù)學(xué)、非線性期望、偏微分方程理論

2、、風(fēng)險(xiǎn)度量以及隨機(jī)博弈等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用.通常情況下，很難找到FBSDEs的解析解的顯式表達(dá).因此，正倒向隨機(jī)微分方程的數(shù)值解法研究對(duì)FBSDEs的理論和應(yīng)用研究有十分重要意義.
　　本文主要研究維納過程驅(qū)動(dòng)的正倒向隨機(jī)微分方程(FBSDEs)和帶跳的正倒向隨機(jī)微分方程(FBSDEJs)的數(shù)值解法及其應(yīng)用.我們從正倒向隨機(jī)微分方程理論及其解的結(jié)構(gòu)出發(fā)，結(jié)合確定性數(shù)值方法理論，嚴(yán)格理論分析了求解正倒向隨機(jī)微分方程的Crank-Nic

3、olson格式和多步數(shù)值格式;提出了求解帶跳的正倒向隨機(jī)微分方程的顯式預(yù)估矯正格式，并對(duì)其進(jìn)行了嚴(yán)格的理論誤差估計(jì);給出了Dirichlet初邊值問題和分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的倒向隨機(jī)描述，研究提出了求解Dirichlet初邊值問題和分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的倒向隨機(jī)算法，并嚴(yán)格理論數(shù)值分析了所提算法的一階收斂性;基于Peng[79]的G-布朗運(yùn)動(dòng)定義，研究提出了G-布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬算法，數(shù)值理論分析了該算法的穩(wěn)定性和有效性

4、，該算法對(duì)G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的正向和倒向隨機(jī)微分方程的理論和應(yīng)用研究有重要作用.
　　論文的主要貢獻(xiàn)及創(chuàng)新
　　(1)嚴(yán)格理論證明了求解非耦合的FBSDEs的Crank-Nicolson格式的二階收斂性，填補(bǔ)了文章[112]對(duì)Crank-Nicolson二階格式理論分析的空缺.部分研究成果已發(fā)表在Sci.China Math.[55].
　　(2)嚴(yán)格理論分析了文章[111]中提出的求解FBSDEs的多步數(shù)值方法的高階收

5、斂性.部分研究成果已發(fā)表在East Asian J.Appl.Math.[99].
　　(3)提出了求解帶跳的FBSDEs的預(yù)估矯正顯格式，嚴(yán)格理論數(shù)值分析了該格式的穩(wěn)定性和二階收斂性.部分研究成果已發(fā)表在East Asian J.Appl.Math.[36].
　　(4)提出了二階拋物型偏微分方程Dirichlet初邊界問題的倒向隨機(jī)解法，嚴(yán)格理論數(shù)值分析了所提解法的一階收斂性.部分研究成果已被J.Comput.Math.

6、接受發(fā)表[98].
　　(5)給出了分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的α-穩(wěn)定跳的倒向隨機(jī)表示，提出了求解分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的倒向隨機(jī)算法，嚴(yán)格地?cái)?shù)值理論分析了所提格式的一階收斂性.部分研究成果已完成待發(fā)表[94].
　　(6)提出了G-布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬算法，G-布朗運(yùn)動(dòng)及其相關(guān)的數(shù)值模擬，表明所提算法的穩(wěn)定性和有效性.該算法對(duì)G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的SDEs和BSDEs的科學(xué)計(jì)算有重要應(yīng)用意義.部分研究成果已發(fā)表在Fro

7、nt.Math.China.[100].
　　論文的框架
　　本論文共有六章.
　　第一章引言
　　簡(jiǎn)單介紹所研究問題的背景、動(dòng)機(jī)和發(fā)展情況.
　　第二章預(yù)備知識(shí)
　　介紹與隨機(jī)微分方程（包括帶跳的）相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，給出正倒向隨機(jī)微分方程、帶停時(shí)的正倒向隨機(jī)微分方程和帶跳的正倒向隨機(jī)微分方程的解與相應(yīng)的拋物型偏微分方程解的關(guān)系，即三類不同形式的Feynman-Kac公式，以及一些本論文用到的其他必備知

8、識(shí).
　　第三章 FBSDEs高階數(shù)值解法的誤差分析
　　主要研究正倒向隨機(jī)微分方程的兩種高階數(shù)值格式:Crank-Nicolson格式和多步數(shù)值格式[111]，給出格式推導(dǎo)和相應(yīng)的誤差分析.
　　第一部分，基于Taylor展開和It(o)-(T)aylor展開，Malliavin積分理論以及截?cái)嗾`差相消技術(shù)，嚴(yán)格理論證明求解正倒向隨機(jī)微分方程的Crank-Nicolson格式的二階收斂性.
　　第二部分，針對(duì)一

9、種特殊形式的FBSDEs，在合理假設(shè)下我們證明多步數(shù)值格式高階收斂性，即k步格式可達(dá)k階收斂.
　　本章內(nèi)容來自
　　JIE YANG AND WEIDONG ZHAO,Convergence of recent multistep schemesfor a forward-backward stochastic differential equation,East Asian J.Appl.Math.,5(4), pp.3

10、87-404,2015.(SCI)
　　YANG LI,JIE YANG,AND WEIDONG ZHAO,Error estimates of the Crank-Nicolson scheme for solving decoupled FBSDEs,Sci.China Math.,60(5),pp.923-948,2017.(SCI)
　　第四章 FBSDEJs的預(yù)估矯正解法
　　主要研究帶跳的正倒向隨機(jī)微分方程

11、的預(yù)估矯正方法.首先，通過鞅理論和條件期望的性質(zhì)，給出預(yù)估矯正格式的參照方程;然后引出誤差方程，再對(duì)誤差方程進(jìn)行分析，得到一般穩(wěn)定性結(jié)果;最后在一定正則性條件下，得到該格式的誤差估計(jì)，并用數(shù)值實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證.
　　本章內(nèi)容來自
　　YU FU,JIE YANG AND WEIDONG ZHAO,Prediction-correction schemesfor decoupled forward backward stochas

12、tic differential equations with jumps,East Asian J.Appl.Math.6(3), pp.253-277,2016.(SCI)
　　第五章 FBSDEs在PDEs中的應(yīng)用
　　基于正倒向隨機(jī)微分方程理論和PDEs理論，研究正倒向隨機(jī)微分方程在Dirichlet初邊界問題和分?jǐn)?shù)階Laplacian方程中的應(yīng)用.
　　第一部分，研究Dirichlet初邊值問題的FBSDEs

13、數(shù)值解法.首先，給出Dirichlet初邊值問題的一個(gè)概率表示，即Dirichlet初邊值問題的解可由一帶停時(shí)的正倒向隨機(jī)微分方程的解表示.根據(jù)該表示，提出求解帶停時(shí)的FBSDEs的隱式Euler格式，并分析該格式的收斂性，最后給出數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證方法的有效性和收斂性.
　　第二部分，主要研究分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的FBSDEs數(shù)值解法.給出了分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的倒向隨機(jī)表示，即α-穩(wěn)定跳過程驅(qū)動(dòng)的FBSDEs的概率描

14、述，根據(jù)該隨機(jī)表示，提出分?jǐn)?shù)階Laplacian問題的倒向隨機(jī)數(shù)值格式;數(shù)值理論分析了格式的穩(wěn)定性和收斂性.
　　本章內(nèi)容來自
　　JIE YANG,GUANNAN ZHANG,AND WEIDONG ZHAO, An accurate numerical scheme for forward-backward stochastic differential equations inbounded domains,J.Com

15、put.Math.,Accepted,2016.(SCI)
　　CLAYTON WEBSTER, JIE YANG, GUANNAN ZHANG, AND WEIDONGZHAO,A probabilistic scheme using Fourier-Cosine series for fractionalLaplacian equations,Finished.
　　第六章 G-布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬
　　主要研究G-

16、布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬算法.根據(jù)Peng[79]的G-正態(tài)分布的定義，通過求解特定的HJB方程給出G-布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬，對(duì)G-正態(tài)分布、密度函數(shù)、G-布朗運(yùn)動(dòng)和G-布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差過程進(jìn)行了數(shù)值模擬的研究，數(shù)值模擬研究表明所提算法是穩(wěn)定的和有效的，可用于G-布朗運(yùn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的SDEs和FBSDEs的理論和應(yīng)用研究.
　　本章內(nèi)容來自
　　JIE YANG AND WEIDONG ZHAO,Numerical simulation

17、s for the G-Brownianmotion,Front.Math.China,11(6), pp.1625-1643,2016.(SCI)
　　論文的主要結(jié)果
　　第三章，主要對(duì)求解正倒向隨機(jī)微分方程的Crank-Nicolson格式和多步格式進(jìn)行了收斂性分析.
　　第一部分:Crank-Nicolson格式
　　考慮非耦合的FBSDEs:{ Xs=x+∫r s b(r，Xr)dr+∫stσ(r, Xr

18、)dWr，(SDE)(0.1)Ys=ψ（XT）+∫Tsf（r，Xr，Yr，Zr）dr-∫Ts ZrdWr，(BSDE)對(duì)0≤t≤s≤T.
　　給出求解FBSDEs(0.1)的Crank-Nicolson格式如下:
　　格式0.1(Crank-Nicolson格式).假設(shè)給定初值條件X0=X0和終端條件YN=ψ.
　　(1)當(dāng)n=N-1時(shí)，ΔtN-1=(Δt)2，通過以下方程求解XN，YN-1和ZN-1:XN=XN-1+

19、 b(tN-1, XN-1)(Δt)2+σ(tN-1, XN-1)ΔWTN-1,1,(0.2a)ZN-1=1/(Δt)2EXN-11t N-1[YNΔWTN-1，1]，(0.2b)YN-1=EXN-1 tN-1[YN]+(Δt)2fN-1.(0.2c)
　　(2)當(dāng)n=N-2，…，1,0時(shí)，通過以下方程求解Xn+1，Yn和Zn:Xn+1=Xn+∑α∈Γ2\{v} gα（tn，Xn）Iα，n，(0.3a)1/2ΔtZn=-1/2Δt

20、 EXntn[Zn+1]+ EXntn[Yn+1ΔWT n,1]+1/2ΔtEXntn[fn+1ΔWTn,1]，(0.3b)Yn=EXntn[Yn+1]+1/2Δtfn+1/2ΔtEXntn[fn+1].(0.3c)這里，ΔWn,1:=Wtn+1-Wtn和fn:=f（tn，Xn，Yn，Zn），，n=0,1，…，N-1.
　　為了符號(hào)簡(jiǎn)單，我們記enY:=Ytn-Yn， enZ:=Ztn-Zn，en▽Y:=▽xnYtn-▽xnYn,

21、 en▽Z:=▽xnZtn-▽xnZn，對(duì)n=N-2，…，1,0，其中，en▽Y和en▽Z滿足§3.1中的(3.24)和(3.25).
　　關(guān)于求解非耦合FBSDEs的Crank-Nicolson格式0.1有如下誤差估計(jì):
　　定理0.1.在假設(shè)2.1-2.2下，若{Xn+1}0≤n≤N-2滿足弱二階It(o)-Taylor格式，b，σ∈1,3 b，f∈1,2,2,2 b，則對(duì)0≤n≤N-2，有估計(jì)式E[|enY|2+|en

22、Z|2+|en▽Y|2+Δt|en▽Z|2]≤CE[|eN-1Y|2+|eN-1Z|2+|eN-1▽Y|2+△t|eN-1▽Z|2]+CN-2∑i=n2∑j=1E[1/(Δt)3(|EXiti[Ri+1yjΔWTi]|2+|Rizj-EXiti[Ri+1zj]|2）(0.4)+1/Δt|EXiti[Ri+1yj]|2+EXiti[▽xiRi+1yj]|2+EXiti[▽xiRi+1zj]|2+|▽xiEXiti[Ri+1yjΔWTi]|

23、2+|Riyj|2+|▽xiRiyj|2+|▽xiRizj|2+E Xiti[|Ri+1zj|2]+EXiti[|▽xi+1Ri+1zj|2]）]，其中，C＞0是一個(gè)依賴d,T，K,K'以及b，σ，f導(dǎo)數(shù)上界的常數(shù)，誤差項(xiàng)Ri+1yj、Ri+1zj、▽xiRi+1yj和▽xiRi+1zj，i=n，…，N-2,j=1,2，分別定義在§3.1中的(3.15)、(3.19)、(3.24)和(3.25).
　　假設(shè)b，σ，f和ψ滿足一定的

24、正則性條件，通過估計(jì)不等式(0.4)右端的誤差項(xiàng)即可得下面的估計(jì)式(0.5).
　　定理0.2.假設(shè)b，σ∈C3,6b，f∈C3,6，6，6b且ψ∈C7+α b，α∈(0，1).若[Xn+1}0≤n≤N-2滿足弱二階It(o)-Taylor格式，則在假設(shè)2.1-3.1下有max E0≤n≤N|enY|2+|enZ|2+|en▽Y|2+Δt|en▽Z|2]≤C(Δt)4,(0.5)其中，C＞0是一個(gè)依賴d，T，K'，K，L，Xt的初

25、值X0以及b，σ，f，ψ導(dǎo)數(shù)上界的常數(shù).
　　第二部分:多步格式
　　考慮如下形式的FBSDEs:{ Xs=x+∫st b（r，Xr）dt+∫stσ（r，Xr）dWr，t≤s≤T,(0.6)Ys=ψ（XT）+∫Ts f（r，Xr，Yr）dr-∫TsZrdWrt≤s≤T.
　　求解正倒向隨機(jī)微分方程(0.42)的多步格式如下:
　　格式0.2（多步格式）.假設(shè)終端條件YN-i和ZN-i，i=0，1，…，k-1已知，

26、Xtn,x t是(0.6)中SDE的解，對(duì)n=N-k，…，1，0，通過下面的方程求解Yn和Zn:αk，0Yn=-k∑j=1αk，jExtn[Yn+j]-f(tn，Xtn，Yn)，(0.7)Zn=k∑j=1αk，jExtn[Yn+j(ΔWn，j)T]，(0.8)其中，ΔWn,j:=Wtn+j-Wtn，Yn+j表示Ytn+j在空間點(diǎn)Xtn,x tn+j處的值.
　　對(duì)上面的多步格式，關(guān)于eny在弱收斂意義有誤差估計(jì)如下:
　　定

27、理0.3.設(shè)(Yn，Zn)，0≤n≤N，為由格式0.2得到的數(shù)值解.在假設(shè)2.4下，αi=αk，iΔt，i=0，1，…，k，若函數(shù)f(t，X，Y)一致Lipschitz連續(xù)（Lipschitz常數(shù)為L(zhǎng)），則對(duì)0＜Δt≤|α0|L-1有max0≤n≤N-kE[|eny]≤C（N∑i=N-k+1E[|eiy|]+N-k∑i=0E[|Extn[Rkt，i]|]Δt），(0.9)max0≤n≤N-k‖eny‖∞≤C（N∑i=N-k+1‖eiy‖

28、∞+N-k∑i=0‖Extn[Rky，i]‖∞Δt），(0.10)其中，C＞0是僅依賴T、L和k的常數(shù)，誤差項(xiàng)Rky，i的定義見§3.2中的(3.92).
　　定理0.4.在一定的假設(shè)條件下，對(duì)0＜Δt≤|α0|L-1有估計(jì)式max0≤n≤N-k‖enz‖∞≤C(N∑j=N-k+1‖ei▽y‖∞+N∑i=0‖Extn[Rk▽y，i]‖∞Δt+N-k∑i=0‖eiy‖∞Δt+max0≤n≤N-k‖Rkz，n‖∞)，其中，C＞0是一個(gè)

29、僅依賴T，L和k的常數(shù)，誤差項(xiàng)Rkz，i和Rk▽y，i的定義分別見§3.2中的(3.93)和(3.119).
　　定理0.5.在一定的假設(shè)條件下，若終端條件滿足max N-k＜j≤N‖ej▽y‖∞=O((Δt)k），則對(duì)0＜Δt≤|α0|L-1有max0≤n≤N-k‖enz‖∞≤C(Δt)k，其中，C＞0是一個(gè)依賴T，b，σ，f和ψ的常數(shù).
　　第四章，提出帶跳的正倒向隨機(jī)微分方程的預(yù)估矯正解法，并對(duì)該解法進(jìn)行理論數(shù)值分析.

30、
　　考慮帶跳的正倒向隨機(jī)微分方程:{ Xs=x+∫st b(r，Xr)dr+∫stσ（r，Xr）dWr+∫st∫Ec（r，Xr-，e）(μ)（de，dr），(SDEJ)(0.11)Ys=ψ（XT）+∫Ts f(r，Xr，Yr，Zr，Γr)dr-∫TsZrdWr-∫Ts∫EUr(e)(μ)(de, dr),(BSDEJ)這里0≤t≤s≤T.
　　為了提出預(yù)估矯正格式，先定義下面兩個(gè)隨機(jī)過程:Δ(W)tn,s=∫stn p(r

31、)dWr，Δ(μ)*tn，s=∫s tn∫Ep(r)η(e)(μ)（de，dr），其中，p(r)=2-3/△tn(r-tn).
　　格式0.3.給定(0.11)中正向SDEJ的初值條件X0和BSDEJ的終端條件(YN，ZN，ΓN)，對(duì)n=N-1，…，0，通過下面的方程求解Yn，Zn和Γn:Xn+1=Xn+Φ（tn，tn+1，Xn，Iα∈Aβ），(0.12)1/2ΔtnZn=EXntn[Yn+1Δ(W)Tn,1]+ΔtnEXntn[

32、fn+1Δ(W)Tn,1]，(0.13)1/2ΔtnΓn=EXntn[Yn+1Δ(μ)*n+ΔtnEXntn[fn+1Δ(μ)*n]，(0.14)(Y)n=EXntn[Yn+1]+ΔtnEXntn[fn+1]，（預(yù)估）(0.15)Yn=EXntn[Yn+1]+1/2Δtn(f)n+1/2ΔtnEXntn[fn+1]，（矯正）(0.16)其中，fn+1:=f（tn+1，Xn+1，Yn+1，Zn+1，Γn+1），(f)n:=(tn，Xn，(

33、Y)n，Zn，Γn)和Δ(W)n，1:=ΔWtn，tn+1.
　　關(guān)于該格式，有下面的穩(wěn)定性和收斂性結(jié)果.
　　定理0.6.設(shè)（Xt，Yt，Zt，Γt），t∈[0，T]，和(Xn，Yn，Zn，Γn)，n=0，1，…，N-1，分別為非耦合FBSDEJs(0.11)的真解和由格式0.3得到的數(shù)值解.假設(shè)f(t，Xt，Yt，Zt，Γt)是一致Lipschitz連續(xù)的（Lipschitz常數(shù)是L）.則對(duì)充分小的時(shí)間步長(zhǎng)Δt，有估計(jì)式

34、E[|eny|2]+ΔtN-1∑i=n(1+CΔt)i-nE[|eiz|2+|eiΓ|2]≤C'{E[|eNy|2]+ΔtE[|eNz|2+|eNΓ|2]}+CN-1∑i=n(1+CΔt)i-nΔtE[1/(Δt)2|Riy1|2+1/2（|Riy2|2+|Riy3|2）+1/(Δt)2|Riy|2+1/(Δt)2（|Riz1|2+|RiΓ1|2）+（|Riz2|2+|RiΓ2|2）+1/(Δt)2（|Riz|2+|RiΓ|2）]，(0

35、.17)對(duì)n=N-1，…，1，0成立，其中，C＞0是一個(gè)依賴L和c0(定義在(3.5))的常數(shù)，C'＞0也是一個(gè)依賴c0，T及L的常數(shù)，截?cái)嗾`差Riy、Riz和RiΓ，i=n，…，N.分別定義于(4.11)、(4.14)和(4.15)，誤差項(xiàng)Riyk、Rizj和RiΓj，k=1，2，3，j=1，2，的定義見§4.1中的(4.21).
　　定理0.7.在一定條件假設(shè)下，對(duì)充分小的時(shí)間步長(zhǎng)Δt，有E[|eny|2]+Δt N-1∑i=

36、n（1+CΔt)i-nE[|eiz|2+|eiΓ|2]≤C1（E[|eNy|2]+ΔtE[|eNz|2+|eNΓ|2]）+C2（（Δt)2α+（Δt)2β+（Δt)2γ+（Δt)4），其中，α，β，γ定義見假設(shè)4.1，C＞0僅依賴c0和L，C1＞0依賴c0、T和L，且C2＞0依賴c0，T, L，K，X0和b，σ，c，f及ψ的導(dǎo)數(shù)的上界.
　　格式0.3的數(shù)值分析請(qǐng)?jiān)斠姟?.1.3.
　　第五章，研究正倒向隨機(jī)微分方程在求解D

37、irichlet初邊值問題和分?jǐn)?shù)階Laplacian方程中的應(yīng)用.
　　第一部分:Dirichlet初邊值問題考慮Dirichlet初邊值問題:{(e)u/(e)t(t，x)+L0(t，x，u)+f(t，x，u，▽uσ)=0，（t，x)∈[0，T]×D，u(T,x)=κ(x), x∈(D)，(0.18)u(t，x)=x(t，x)，(t，x)∈[0，T]×(e)D，其中，T＞0是一個(gè)確定的常數(shù)，x:=(x1，…，xd)T是一個(gè)d-維

38、列向量，符號(hào)▽表示梯度算子，κ(x)是終端條件以及x(t，x)表示Dirichlet邊界條件，非線性算子L0的定義為L(zhǎng)0(t，x，u):=d∑i=1bi(e)u/(e)xi(t，x)+1/2d∑i,j=1(σσT)ij(e)2u/(e)xi(e)xj(t，x).
　　定義在完備域流（Ω，F(xiàn)，F(xiàn)，P）上的正倒向隨機(jī)微分方程:{ Xt=X0+∫t0 b(s，Xs)ds+∫t0σ（s，Xs）dWs，(0.19)Yt=ψ（T∧(τ)，XT

39、∧(τ)）+∫T∧τ t∧(τ) f（s，Xs，Ys，Zs）ds-∫T∧(τ)t∧(τ)ZsdWs，其中，停時(shí)(τ):=inf{t＞0，Xt(∈)D}是Xt第一次逃出區(qū)域D∈Rd的時(shí)刻，這里D是一個(gè)開的光滑聯(lián)通區(qū)域，并且初始時(shí)刻X0在區(qū)域D內(nèi)，ψ（T∧(τ)，XT∧(τ)）={κ（XT），若(τ)＞T，(0.20)x（(τ)，X(τ)），若(τ)≤T.
　　問題(0.18)的解u(t，x)與帶停時(shí)的FBSDEs(0.19)的解Yt

40、,x t∧(τ)t,x有如下關(guān)系:u(t，x)=Yt,x t∧(τ)t,x.(0.21)公式(0.21)被稱為Feynman-Kac公式[74].由Feynman-Kac公式知，問題(0.18)的解u(s∧(τ)t，x，Xt，x s∧(τ)t,x)與帶停時(shí)的FBSDEs(0.19)的解Yt,x s∧(τ)t，x滿足u（s∧τt,x，Xt,xs∧(τ)t，x）=Yt，xs∨(τ)t，x,0≤t≤s≤T.(0.22)
　　基于關(guān)系式(

41、0.22)，提出如下求解帶停時(shí)的FBSDEs(0.18)的Euler格式:
　　格式0.4（隱式Euler格式）.給定終端條件YN=ψ和初始條件Xn=x.對(duì)n=N-1，…，0和x∈D，數(shù)值解Xn，xs由(5.5)求得，通過以下方程組求解Yn和Zn:ΔtZnExtn[1{(τ)nx＞tn+1}]=Extn[Yn+1ΔWT n,11{(τ)nx＞tn+1}](0.23a)+Extn[x（(τ)nx，Xn,x(τ)nx）ΔWT(τ)nx

42、1{(τ)nx≤tn+1}]-ZnExtn[（(τ)nx-tn）1{(τ)nx≤tn+1}]，Yn=Extn[Yn+11{(τ)nx＞tn+1}+x（(τ)nx，Xn,x(τ)nx）1{(τ)nx≤tn+1}](0.23b)+ΔtfnExtn[1{(τ)nx＞tn+1}]+fnExtn[（(τ)nx-tn）1{(τ)nx≤tn+1}]，其中，ΔWn，1:=Wtn+1-Wtn，ΔW(τ)nx:=Wτnx-Wtn和fn:=f（tn，x，Yn

43、，Zn）.
　　關(guān)于格式0.4有下面的誤差估計(jì).
　　定理0.8.假設(shè)b，σ∈C1,2b，f∈C1,2,2，2b以及ψ∈C1，2+εb，ε∈(0，1).則對(duì)所有n=N-1，…，0，對(duì)充分小的時(shí)間步長(zhǎng)Δt，有不等式E[|eny1{(τ)n-1xn-1＞tn}|2]+C'ΔtN-1∑i=nE[|eix1{(τ)ti-1，Xi-1＞ti}|2（1-max Xi∈DP（(τ)ti，Xi≤ti+1））2]≤CE[|eNy1{(τ)N-

44、1XN-1＞tN}|2]+C/ΔtN-1∑i=nmaxXi∈D(P((τ)ti,Xi≤ti+1)+P（(τ)iXi≤ti+1））+C(Δt)2，(0.24)其中，C'和C是兩個(gè)不依賴Δt的正的常數(shù).
　　對(duì)定理0.8中的兩個(gè)概率P（(τ)tn，x≤tn+1）和P（(τ)nx≤tn+1）有如下估計(jì):
　　定理0.9.對(duì)任意的常數(shù)ε＞0，如果Xtn,x s和Xn,x s的出發(fā)點(diǎn)x滿足α+(b)Δt+（Δt)1/2-ε≤x≤β-(

45、b)Δt-（Δt)1/2-ε,那么，對(duì)充分小的時(shí)間不長(zhǎng)Δt，有max{P（(τ)tn,x≤tn+1），P（(τ)nx≤tn+1）}≤C(Δt)εexp(-1/Δt)2ε)，(0.25)其中，C＞0是一個(gè)不依賴Δt的常數(shù).
　　格式0.4的數(shù)值分析結(jié)果請(qǐng)?jiān)斠姟?.1.4.
　　第二部分:分?jǐn)?shù)階Laplacian方程的FBSDEs解法考慮分?jǐn)?shù)階Laplacian問題:{(e)u/(e)t(t,x)+（-Δ）α/2u(t，x)=g

46、（t，x，u），(t，x)∈(0，T]×Rd，u(0,x)=u0(x)， x∈Rd，(0.26)其中，u0(x)是初始條件，驅(qū)動(dòng)項(xiàng)g(t，x，u)是t，x和u的函數(shù)，分?jǐn)?shù)階Laplacian算子（-Δ）α/2定義如下:（-Δ）α/2u(t，x)=Cd，αlimε↓0∫{y∈Rd:|y-x|＞ε} u(t，x)-u(t,y)/|x-y|d+αdy，(0.27)這里的常數(shù)Cd，α有定義Cd,α=α2α-1Γ(α+d/2)/πd/2Γ（2-α

47、/2）.
　　分?jǐn)?shù)階Laplacian初值問題(0.26)對(duì)應(yīng)的伴隨方程是{ L*v(t,x)+f(t,x,v(t,x))=0,(t,x)∈(0,T]×Rd,(0.28)v(T，x)=ψ(x)， x∈Rd，其中，L*是伴隨算子L*v(t，x)=(e)v/(e)t（t,x）+Cd,α∫Rdv(t,y)-v(t,x)/|x-y|d+αdy.(0.29)方程(0.28)的解v，生成元f和條件函數(shù)ψ與(0.26)的u，g和u0有如下關(guān)系:

48、v(t，x)=u(T-t，x)，f(t,x，v)=g(T-t，x,v),(0.30)ψ(x)=u0(x).
　　根據(jù)解的關(guān)系式(0.30)，我們轉(zhuǎn)而求解(0.28)來求解分?jǐn)?shù)階Laplacian初值問題(0.26).方程(0.28)的解有下面的概率表示v(t,x)=Ext[ψ(XT)+∫Tt f(s,Xs,v(s,Xs))ds].(0.31)在(0.31)中，Xt是一個(gè)對(duì)稱的α-穩(wěn)定過程.
　　基于(0.31)，我們提出求解

49、v(t，x)的半離散數(shù)值格式如下:
　　格式0.5.假設(shè)終端條件vN(x)已知.通過下面的方程求解vn(x)，n=N-1，…，1，0，vn(x)=Extn[vn+1（Xtn+1）]+Δtf(tn，x，vn(x)).(0.32)
　　根據(jù)傅里葉余弦展開，v（tn，x）的全離散逼近(v)n(x)的計(jì)算公式為(v)n(x)=K-1∑k=0'(V)nk cos（kπx-a/b-a），n=N-1，…，1，0.(0.33)
　　上

50、式中的傅里葉逼近系數(shù)(V)nk由下面的計(jì)算步驟得到.
　　步驟0.1（計(jì)算逼近系數(shù)(V)nk）.
　　第1步:當(dāng)n=N時(shí)，由離散傅里葉余弦變換(DCT)計(jì)算終端時(shí)刻系數(shù)(V)Nk:(V)Nk=(V)Nk=DCT(vT(x)), k=0,1，…，Nc-1.
　　第2步:當(dāng)n=N-1，…，1，0，令K=β*Nc(參數(shù)β∈(0，1))，計(jì)算(H)k（tn）=K-1∑j=0'(V)n+1kφ（jπ/b-a），(→)(h)(tn

51、，x)=K-1∑'(H)k（tn）cos（kπx-a/b-a），(→) vn,p(x)=(h)(tn,x)+Δtf(tn,x，vn,p(x)),(→)(F)k(tn)=I∑i=1f(tn，xi，vn,p(xi))ci，k，(→)(V)nk=(H)k(tn)+ΔtFk(tn).
　　格式0.5的數(shù)值分析結(jié)果請(qǐng)?jiān)斠姟?.2.3.
　　第六章，給出了G-布朗運(yùn)動(dòng)的數(shù)值模擬算法并實(shí)現(xiàn)了該算法的數(shù)值模擬.
　　Peng[79]給

52、出了下面G-布朗運(yùn)動(dòng)和G-正態(tài)分布的定義.
　　定義0.10（G-布朗運(yùn)動(dòng)）.一個(gè)定義在次線性期望空間上的n-維過程{Bt}t≥0被稱為G布朗運(yùn)動(dòng)，如果滿足下列性質(zhì):
　　B0=0;
　　(V)t，s≥0，增量Bt+s-Bt與(Bt1，Bt2,…，Btn）獨(dú)立，0≤t1≤…≤tn≤t，n∈N;
　　(V)s，t≥0，Bsd=Bt+s-Btd=√sX，這里X服從G-正態(tài)分布.特別地，一維G-布朗運(yùn)動(dòng){Bt}t≥0滿

53、足
　　B0=0;
　　(V)t,s≥0,Bt+s-Bt～N(0;[σ2s,(σ)2s])并且Bt+s-Bt⊥(Bt1，Bt2，…，Btn),0≤t1≤…≤tn≤t，n∈N.
　　定義0.11.一個(gè)服從G-正態(tài)分布的隨機(jī)變量X可以被表征為u(t，x)=(E)[ψ（x+√tX）]，ψ∈Cl，Lip（Rn），使得E[ψ(X)]=u(1，0)，這里u=u(t，x)是下面定義在[0，∞]×Rd上的非線性拋物型偏微分方程的唯一粘

54、性解(e)u/(e)t-G（(e)2u/(e)x2）=0，u|t=0=ψ，(0.34)其中，G(α)=1/2((σ)2α+-(σ)2α-），α∈R;(σ)2:=E[X2]，(σ)2:=-(E)[-X2].(0.35)記服從G-正態(tài)分布的隨機(jī)變量X為X～N（0;[(σ)2，(σ)2]）.
　　1-維G-布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差過程{Bt}t≥0定義為[82]:t:=limμ(πt)→0 n-1∑i=1(Bti+1-Bti)2,(0.

55、36)其中，μ（πt）:=max0≤i≤n-1{|ti+1-ti|:0=t0≤t1≤…≤tn=t}.
　　在G-正態(tài)分布框架下，我們感興趣下面的量:FX(a)=E[ψ(X)]，ψ(x)=I{x≤a}.上式可以看作經(jīng)典正態(tài)分布函數(shù)FX(a)的一般化.
　　基于定義0.10、定義0.11和(0.36)，我們給出下面的模擬G-正態(tài)分布FX(a)及其相應(yīng)的密度函數(shù)ρ(a)、G-布朗運(yùn)動(dòng)以及G-布朗運(yùn)動(dòng)的二次變差的算法.
　　算

56、法0.1(FX(a)和ρ(a)的模擬）.
　　對(duì)任意ai∈Af，計(jì)算逼近值(F)X(ai;(σ)2，(σ)2);
　　對(duì)a∈Df，計(jì)算插值Ih(F)X(a;(σ)2，(σ)2);
　　由Ih(F)X(a;(σ)2，(σ)2)計(jì)算密度函數(shù)ρ(a)的逼近值(ρ)(a）.
　　算法0.2（G-布朗運(yùn)動(dòng)Bt的數(shù)值模擬）.
　　對(duì)任意ai∈Af，用算法0.1計(jì)算(F)X(ai;(σ)2，(σ)2);
　　產(chǎn)生N

57、個(gè)[0，1]上服從均勻分布的隨機(jī)數(shù){vk}k=1，…，N;
　　對(duì)a∈Df，計(jì)算Ih(F)X(ai);
　　通過Ih(F)X（(a)k）=vk求解(a)k，k=1，…，N;
　　通過∑kj=1(a)j，逼近Btk，k=1,…，N.
　　算法0.3(t的數(shù)值模擬）.
　　對(duì)任意ai∈Af，用算法0.1計(jì)算(F)X(ai;(σ)2，(σ)2);
　　產(chǎn)生N個(gè)[0，1]上服從均勻分布的隨機(jī)數(shù){vk}k