倒向隨機(jī)微分方程的數(shù)值方法及其誤差估計(jì).pdf

1、倒向隨機(jī)微分方程(BSDE)是一個(gè)相對(duì)比較新的研究方向。1973年Bismut[9]研究的線性形式可以看作是著名的Girsanov定理的推廣。非線性BSDE的概念是由Pardoux和Peng[60]在1990年引入的。Duffle和Epstein[28]于1992年獨(dú)立引入經(jīng)濟(jì)模型中的隨機(jī)微分效用概念，也可以看作某些特殊的BSDE的解。從那以后，關(guān)于BSDE的很多理論和應(yīng)用結(jié)果得到了發(fā)展，其中包括：反射倒向隨機(jī)微分方程、正倒向隨機(jī)微分方

2、程、偏微分方程與倒向隨機(jī)微分方程的聯(lián)系、隨機(jī)控制、數(shù)理金融、非線性期望和非線性鞅論、遞歸效用和風(fēng)險(xiǎn)敏感效用以及隨機(jī)微分幾何等。在El Karoui和Mazliak[30]，Ma和Yong[51]，Yong和zhou[86]寫的書以及綜述論文El Karoui，Peng和Quenez[33]中，詳細(xì)介紹了BSDE的理論和在數(shù)理金融和隨機(jī)控制中的應(yīng)用。
　　 倒向隨機(jī)微分方程的存在唯一性意味著我們能夠明確的解決現(xiàn)在應(yīng)怎樣去做以實(shí)現(xiàn)一

3、個(gè)給定的將來(lái)目標(biāo)。但是對(duì)于一個(gè)具體的倒向方程如何算出它的解來(lái)對(duì)一般情況而言仍是一個(gè)未解決的問(wèn)題。在實(shí)際應(yīng)用中能夠顯式解出的BSDE是很少見(jiàn)的，因此我們需要計(jì)算BSDE的數(shù)值解。
　　 相對(duì)于正向隨機(jī)微分方程的數(shù)值解法，無(wú)論是從結(jié)果的豐富程度還是從算法實(shí)現(xiàn)的難易程度來(lái)看，BSDE都要落后很多。出現(xiàn)這一問(wèn)題不外乎有以下兩個(gè)原因：首先，正向隨機(jī)微分方程與倒向隨機(jī)微分方程在結(jié)構(gòu)上有本質(zhì)的區(qū)別，從而倒向隨機(jī)微分方程的數(shù)值方法不能完全套用正

4、向隨機(jī)微分方程已有的數(shù)值方法。其次，從應(yīng)用的角度講，正向隨機(jī)微分方程考慮的是如何認(rèn)識(shí)一個(gè)客觀存在的隨機(jī)過(guò)程，而倒向隨機(jī)微分方程則主要關(guān)心在有隨機(jī)干擾的環(huán)境中如何使一個(gè)系統(tǒng)達(dá)到預(yù)期的目標(biāo)。
　　 在過(guò)去的十幾年里，許多學(xué)者做出了很大的努力，在BSDE數(shù)值解法的研究中取得了一系列的成果。這些數(shù)值方法按照其求解原理可以劃分為兩大類：第一類方法主要通過(guò)數(shù)值求解與BSDE相對(duì)應(yīng)的擬線性偏微分方程；另一類算法直接對(duì)隨機(jī)問(wèn)題按時(shí)間進(jìn)行倒向計(jì)算

5、。2006年，Zhao，Chen和Peng[89]提出了解BSDE的θ格式，該方法結(jié)合PDE數(shù)值解法的特點(diǎn)，使用隨機(jī)的思想來(lái)解釋高精度的差分方法，對(duì)BSDE進(jìn)行時(shí)間空間離散，用Monte Carlo方法結(jié)合插值近似計(jì)算條件數(shù)學(xué)期望，在數(shù)值實(shí)驗(yàn)中得到了較好的結(jié)果。
　　 本文主要研究了BSDE的幾種數(shù)值方法，在Zhao，Chen和Peng[89]的基礎(chǔ)上，離散BSDE時(shí)用Gauss-Hermite積分替代Monte Carlo方法

6、近似條件期望，并得到了θ格式的誤差估計(jì)；提出了一種新的Crank-Nicolson格式并進(jìn)行誤差估計(jì)；對(duì)一種更高階的Adams方法也提出了BSDE的離散格式且得到了格式的收斂誤差。下面我們列出本文的主要結(jié)果。
　　 第一章：簡(jiǎn)要介紹本文中所討論問(wèn)題的背景及總體思路，介紹了BSDE，F(xiàn)eynman-Kac公式的基本概念，對(duì)BSDEE有的數(shù)值解法進(jìn)行了簡(jiǎn)要的回顧總結(jié)。
　　 第二章：給出了BSDE(2-1)的θ格式的誤差估計(jì)

7、。證明了對(duì)一般的θ，格式一階收斂，特別當(dāng)θ=1/2時(shí)，格式二階收斂。當(dāng)θ=1時(shí)，我們得到θ格式對(duì)(2-1)的適應(yīng)解(yi,zi，)一階收斂。在θ=1/2的情形，我們還得到解zi，的誤差估計(jì)。
　　 我們稱下面兩個(gè)解(yn，zn)(n=N,N—1，…，O)的方程為離散BSDE(2-1)的θ格式：(公式略)
　　 對(duì)該格式的誤差估計(jì)主要有下面的定理。定理2.1.假設(shè)2.1成立，令yt和yn分別是BSDE(2-1)和θ格式(2

8、-12)的解，那么對(duì)足夠小的時(shí)間步長(zhǎng)△tn，我們有(公式略)其中C是一個(gè)正常數(shù)，它僅依賴于T，ψ和f導(dǎo)數(shù)的上界和(2-3)的解u(t，x)。定理2.3.假{殳2.7成立，令yn(n=N'…，o)是θ格式(2-12)在θ=1/2時(shí)的解，yt(0≤t≤T)是BSDE(2-1)的解，那么對(duì)足夠小的時(shí)間步長(zhǎng)Δtn，我們有(公式略)定理2.4.假設(shè)2.1成立，令(yn，zn)(n=N，…，0)是θ格式(2-12)和(2-13)θ=1/2時(shí)的解，(

9、yt，zi)(0≤t≤T)是BSDE(2-1)的真實(shí)解，那么對(duì)足夠小的時(shí)間步長(zhǎng)Δtn，我們有(公式略)
　　 全離散θ格式可以如下定義：給定隨機(jī)變量yNi，i∈z，尋找近似解(yni，zni)(n=N-l，…，O，i∈Z)滿足(公式略)
　　 全離散θ格式的誤差為：定理2.7.令(yt，zt)是BSDE(2-1)的解(yni，zni)是通過(guò)線性多項(xiàng)式插值計(jì)算方(y)n+1的全離散格式(2-70)和(2-71)的解，那么在

10、假設(shè)2.1下，對(duì)一般θ∈[O，l]的全離散θ格式有(公式略)特別的，對(duì)θ=1/2的全離散θ格式有(公式略)對(duì)θ=1的全離枷格式有(公式略)
　　 第三章：對(duì)一般的多維BSDE提出了一種新的Crank-Nicolson格式并進(jìn)行誤差估計(jì)，證明格式是二階收斂的。在本章最后對(duì)第二章以及本章的數(shù)值格式進(jìn)行了數(shù)值模擬。
　　 對(duì)，n=N，N-1，…，O和終端條件(公式略)稱下面兩個(gè)式子為BSDE(3-1)分量形式的Crank-Ni

11、colson格式，(公式略)這里(公式略)是矩陣(公式徊)的第j列。寫成矩陣形式為：(公式略)
　　 Crank-Nicolson格式的誤差估計(jì)有下面的定理。定理3.1.假發(fā)2.1成立，那么對(duì)足夠小的時(shí)間少長(zhǎng)△tn，我們有誤差估計(jì)(公式略)其中yt和yn曠分別是BSDE(3-1)和Crank-Nicolson格式(3-18)和(3-19)的解，C是一個(gè)僅依賴于T，ψ和／的導(dǎo)數(shù)的止界以及(3-4)的解u(t,x)的正常數(shù)。定理3.

12、2.令zt和zn分別是(3-15)和(3-21)的解，假設(shè)2.1成立，那么對(duì)足夠小的時(shí)問(wèn)步長(zhǎng)△tn我們有(公式略)
　　 BSDE(3-1)的時(shí)間空間全離散crank-Nicolson格式為：尋找(yni，ani)(n=N，N-l，…，o，i∈Zd)，使得(yni,ani)滿足(公式略)
　　 第四章：對(duì)一般形式的BSDE提出了Adams格式，對(duì)f不依賴于z的情形進(jìn)行了誤差估計(jì)，證明了Adams格式的高精度收斂。

13、　　 對(duì)(公式略)的Adams格式為：(公式略)終端值yN由BSDE(4-1)的終端條件給出。
　　 全離散Adams格式可以如下定義：給定隨機(jī)變量yNi，先用Runge-Kutta方法求出(yni,ani)，i∈z，n=N-l，…，N-m+l的值，然后尋找近似解(yni,ani)(n=N-m，…，0，i∈Z)滿足(公式略)對(duì)生成元不依賴于z的BSDE的Adams格式的誤差估計(jì)由下面兩定理給出。定理4.1.假設(shè)2.1成立并且假