保險(xiǎn)中帶約束的最優(yōu)分紅問題研究.pdf

1、古典風(fēng)險(xiǎn)理論主要處理破產(chǎn)概率和其它一些相關(guān)的精算量。然而，由于安全負(fù)荷條件，當(dāng)公司不破產(chǎn)時(shí)，從長(zhǎng)期看來盈余過程將會(huì)趨于無窮大。這顯然是不符合實(shí)際的。因此，De Finetti[27]在1957年提出了公司目標(biāo)為期望折現(xiàn)分紅最大這一更具有經(jīng)濟(jì)涵義的準(zhǔn)則。這個(gè)準(zhǔn)則與Gordon[42]模型是一致的。Gordon[42]用累加折現(xiàn)分紅來橫量公司的價(jià)值。由De Finetti的思想產(chǎn)生了最優(yōu)分紅這個(gè)問題。這個(gè)問題與數(shù)理金融中的投資消費(fèi)問題（見M

2、erton[67]的開創(chuàng)性著作）有著緊密聯(lián)系。在多數(shù)情形下，最優(yōu)分紅風(fēng)險(xiǎn)控制模型可以看作是線性效用下的消費(fèi)投資模型（見Taksar[75]）。從Shreve et al.[73]文中看出，最優(yōu)分紅問題與儲(chǔ)存或存貨問題亦有關(guān)聯(lián)。存儲(chǔ)模型中的提取和儲(chǔ)蓄可以分別看作是風(fēng)險(xiǎn)模型中的分紅和注資。
　　最優(yōu)分紅問題是最優(yōu)控制理論（由Pontryagin[70]帶領(lǐng)的研究小組建立）在保險(xiǎn)中的一個(gè)極其重要和典型的應(yīng)用。這個(gè)問題只取得了很少的進(jìn)展直

3、到最優(yōu)控制理論及其更高等的隨機(jī)最優(yōu)控制理論（見Fleming and Rishel[32]和Krylov[51]的專著）的出現(xiàn)。De Finetti[27]證明了在一個(gè)簡(jiǎn)單的離散時(shí)間隨機(jī)游走模型中，最優(yōu)分紅策略是邊界策略。Gerber[34]把模型擴(kuò)展到復(fù)合泊松情形，指出最優(yōu)分紅策略是帶狀的且對(duì)指數(shù)索賠這一特殊情形退化為邊界的。在二十世紀(jì)七十年代，只有很少文獻(xiàn)討論最大化期望折現(xiàn)分紅問題。然而，可以從這兩本專著Bühlmann[21]和G

4、erber[35]中找到有關(guān)古典風(fēng)險(xiǎn)模型下的分紅話題。
　　自上世紀(jì)九十年代，就有很多文獻(xiàn)用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理方法和Hamilton-Jacobi-Bellman方程來研究最優(yōu)分紅問題。其中大多數(shù)是建立在擴(kuò)散模型和古典風(fēng)險(xiǎn)模型基礎(chǔ)上。當(dāng)保險(xiǎn)公司的盈余過程服從帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，Jeanblanc-Picqué and Shiryaev[49]和Asmussenand Taksar[8]這兩篇經(jīng)典文獻(xiàn)研究了公司的最優(yōu)分紅問題。Gerber

5、 and Shiu[39]和Baiand Guo[16]找到了Cramér-Lundberg風(fēng)險(xiǎn)模型的最優(yōu)分紅策略。此外，保險(xiǎn)商可以采取諸如再保險(xiǎn)和投資這些工具來控制風(fēng)險(xiǎn)和獲利。H(φ)jgaard and Taksar[46]和Asmussenet al.[7]分別引入比例再保險(xiǎn)和超額損失再保險(xiǎn)來探究擴(kuò)散模型中的最大折現(xiàn)分紅。Choulli et al.[24，25]考慮了在公司有債務(wù)責(zé)任和其風(fēng)險(xiǎn)減少受到約束的情況下的最優(yōu)分紅。當(dāng)保險(xiǎn)

6、公司可以在Black-Scholes金融市場(chǎng)進(jìn)行投資時(shí)，H(φ)jgaard and Taksar[48]和Azcue and Muler[14]研究了其相應(yīng)的最優(yōu)分紅問題。對(duì)保險(xiǎn)公司盈余服從一般擴(kuò)散模型情形，Paulsen[68]和Bai and Paulsen[18]刻畫了帶固定交易費(fèi)用的最優(yōu)分紅策略。Avram et al.[12]和Loeffen[58，59]用譜負(fù)Lévy過程來描述保險(xiǎn)公司的動(dòng)態(tài)，并運(yùn)用波動(dòng)理論來處理最優(yōu)分紅問

7、題。更多關(guān)于風(fēng)險(xiǎn)理論中最優(yōu)分紅問題的背景和文獻(xiàn)知識(shí)，推薦讀者參考這兩篇綜述Avanzi[9]和Albrecher and Thonhauser[5]。
　　在上面提到的大多數(shù)文章中，邊界策略或者帶狀策略經(jīng)常作為最優(yōu)策略。這樣的話，保險(xiǎn)公司的破產(chǎn)概率通常為1。從現(xiàn)實(shí)的角度來講，這顯然不夠有趣。在實(shí)際操作中，也許是出于制度或者法治上的原因（比如公司是公共產(chǎn)業(yè)），保險(xiǎn)公司是受到監(jiān)管的。監(jiān)管委員會(huì)可能會(huì)約束公司的分紅政策，或者為了保護(hù)被保

8、險(xiǎn)人的利益要求臨近破產(chǎn)的公司注資?；谏鲜鲈?，博士論文主要致力于解決在這些約束條件下的最優(yōu)分紅問題。
　　在第2章中，研究可以通過購買再保險(xiǎn)來控制風(fēng)險(xiǎn)和通過注資以避免破產(chǎn)的保險(xiǎn)公司的最優(yōu)分紅問題。假設(shè)這些行為都會(huì)產(chǎn)生交易成本:再保險(xiǎn)公司會(huì)對(duì)從保險(xiǎn)公司轉(zhuǎn)出的風(fēng)險(xiǎn)收取更多的保費(fèi);紅利將被征稅;注資由于咨詢和商議的原因會(huì)產(chǎn)生固定成本。于是問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)控制中的一個(gè)混合正則-奇異-脈沖問題。目標(biāo)是找出值函數(shù)和使得分紅和注資的累加折現(xiàn)差達(dá)

9、到最大的最優(yōu)策略。
　　通過注資來救助一個(gè)瀕臨破產(chǎn)的保險(xiǎn)公司這個(gè)想法可以追溯到Borch[20，Chap.20]和Harrison and Taylor[44]。最近有關(guān)注資的文獻(xiàn)包括基于譜負(fù)Lévy風(fēng)險(xiǎn)模型的Avramet al.[12];基于擴(kuò)散模型的L(φ)kka and Zervos[64]，He and Liang[45]和Meng and Siu[66];基于對(duì)偶模型的Yao et al.[79];基于帶干擾的對(duì)偶模型

10、的Dai et al.[26]和Avanziet al.[10];以及基于Cramér-Lundberg模型的Kulenko and Schmidli[52]和Scheer andSchmidli[72]。讀者可以在Eisenberg[30]一文中找到有關(guān)最小化期望折現(xiàn)注資這個(gè)話題的詳細(xì)討論。下面首先與文獻(xiàn)比較該模型和結(jié)論，然后給出解決問題的思路。Meng and Siu[66]研究了超額損失再保險(xiǎn)下的最優(yōu)混合脈沖分紅-注資控制問題，而

11、在該型中固定成本由注資產(chǎn)生。因此由Taksar[74]給出的方法(Meng and Siu[66]正是運(yùn)用此法)，并不適用于該模型。He and Liang[45]研究了固定和比例交易費(fèi)用下的最優(yōu)融資和分紅控制問題。該模型采用的是非便宜再保險(xiǎn)，這使得求解相應(yīng)的HJB方程更難了。處理的過程如下。首先在2.3節(jié)得到一個(gè)結(jié)論，它表明最優(yōu)注資時(shí)間是等到盈余過程擊中零邊界的時(shí)候。這幫助降低了問題的難度。接著在2.5節(jié)考慮沒有再保險(xiǎn)這一特殊情形，它

12、將為一般問題的解決提供些啟示。最后通過解對(duì)應(yīng)的HJB方程，得到了值函數(shù)和包含風(fēng)險(xiǎn)控制和分紅方案的最優(yōu)策略。
　　第3章由兩節(jié)構(gòu)成，分別研究了在約束分紅政策和考慮破產(chǎn)的時(shí)間價(jià)值條件下有利率收入的保險(xiǎn)公司的最優(yōu)風(fēng)險(xiǎn)控制問題。
　　3.1節(jié)論述了是否有再保險(xiǎn)合約供保險(xiǎn)商選擇這兩種不同情形下的最優(yōu)（有界）分紅問題。有關(guān)有界分紅率的結(jié)果可見基于擴(kuò)散模型的H(φ)jgaard and Taksar[46]和Asmussenet al.[

13、7]。對(duì)于古典風(fēng)險(xiǎn)模型，見Gerber and Shiu[39]，Lin and Pavlova[57]和Azcueand Muler[15]。不同于這些文獻(xiàn)，在該模型中保險(xiǎn)公司有常利率收入。目標(biāo)是找到一個(gè)包含分紅和再保險(xiǎn)（如果有再保險(xiǎn)合約）的策略使得期望折現(xiàn)分紅最大化。Albrecherand Thonhauser[4]和Cai et al.[23]分別在古典模型和擴(kuò)散模型下考慮了常利率的最優(yōu)分紅問題，但是其分紅率是無界的且沒有包含再

14、保險(xiǎn)。公司的利率收入可看作是金融市場(chǎng)中的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)收益，這使得該模型類似于H(φ)jgaard and Taksar[47]。然而，當(dāng)對(duì)分紅率加上限制時(shí)，甚至可以計(jì)算在折現(xiàn)因子小于利率情形下的值函數(shù)（在此情形下有關(guān)無界分紅率的值函數(shù)是無窮的）。得到的最優(yōu)分紅策略是門檻策略，即只有當(dāng)盈余過程超過某一水平時(shí)，才以最大可允許的分紅率進(jìn)行分紅。當(dāng)模型中加入了再保險(xiǎn)時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)自留比例不再是風(fēng)險(xiǎn)余額的單增函數(shù)。它先隨著風(fēng)險(xiǎn)余額單調(diào)增加到某個(gè)可能

15、的最大值，如果這個(gè)最大值等于1，就在1這個(gè)水平停留一段時(shí)間，然后下降至零。還有一點(diǎn)使得研究區(qū)別于現(xiàn)有的文獻(xiàn)，直接分析值函數(shù)所滿足的方程，并非像文獻(xiàn)中常見的采用合流超幾何函數(shù)來處理帶利率的問題（例如，見Paulsen and Gjessing[69]，Cai et al.[23]和Fang and Wu[31]）。
　　3.2節(jié)研究在考慮破產(chǎn)的時(shí)間價(jià)值條件下，有利率收入的保險(xiǎn)公司的最優(yōu)控制問題。不同于3.1節(jié)，本節(jié)考慮的是無界分紅率

16、這一情形。對(duì)于一般擴(kuò)散模型和Cramér-Lundberg模型及其擴(kuò)散逼近，Shreve et al.[73]和Thonhauser and Albrecher[78]分別考慮了在破產(chǎn)時(shí)有終端支付的最優(yōu)分紅問題。Liang and Young[56]在擴(kuò)散模型的基礎(chǔ)上添加了再保險(xiǎn)。Meng[65]考慮一個(gè)同Thonhauser and Albrecher[78]相同的目標(biāo)函數(shù)，但增加了常利率收入。在這里需要再次提及這篇文章Taksar[

17、74]，作者指出，非零終端值的解可以通過平移零終端值的解得到。然而由于有利率收入，獨(dú)立變量出現(xiàn)在相應(yīng)的HJB方程中。因此Taksar[74]給出的方法不再適用于該模型。運(yùn)用同3.1節(jié)類似的方法以及微分方程解對(duì)初值的連續(xù)依賴性，找到了值函數(shù)和最優(yōu)策略。
　　在第4章中，計(jì)算了Omega模型下譜負(fù)Lévy過程的一些常見精算量。Omega模型首次由Albrecher et al.[3]提出，這個(gè)模型假設(shè)保險(xiǎn)公司即使在負(fù)盈余的情況下，也可

18、以繼續(xù)經(jīng)營直到破產(chǎn)發(fā)生。此時(shí)破產(chǎn)由破產(chǎn)率函數(shù)ω(x)量化，其中x表示負(fù)盈余的大小。特殊地，當(dāng)ω(x)等于某個(gè)常數(shù)時(shí)，在4.3節(jié)指出破產(chǎn)還有兩個(gè)等價(jià)定義。其一是在Albrecher et al.[1，2]研究的指數(shù)分布觀測(cè)區(qū)間的框架下的破產(chǎn)，其破產(chǎn)發(fā)生在當(dāng)盈余在某個(gè)觀測(cè)時(shí)刻為負(fù)值時(shí)。另一個(gè)是Landriault et al.[54]所考慮的指數(shù)分布延遲下破產(chǎn)（Parisian意義下破產(chǎn)的一種特殊情形）。
　　在第4章的第一部分，在O

19、mega模型下盈余過程為譜負(fù)Lévy過程時(shí)，對(duì)于固定罰金和依賴盈余的罰金兩種情形，分別計(jì)算了破產(chǎn)時(shí)的期望折現(xiàn)罰金。還找到了盈余過程負(fù)持續(xù)時(shí)間的概率分布，并且計(jì)算了負(fù)盈余的積分的數(shù)學(xué)期望。使用譜負(fù)Lévy過程的一些波動(dòng)性質(zhì)，用尺度函數(shù)和Laplace指數(shù)來表示結(jié)果。本章的第二部分描述了Omega模型中的一個(gè)分紅問題。在邊界分紅策略下，給出了直到破產(chǎn)的累加期望折現(xiàn)分紅與破產(chǎn)時(shí)折現(xiàn)罰金兩者差的顯示表達(dá)。
　　本文主要致力于解決帶約束的最

20、優(yōu)分紅問題。此外，還計(jì)算了Omega模型中有關(guān)譜負(fù)Lévy過程的折現(xiàn)罰金和期望折現(xiàn)分紅。本文的主要貢獻(xiàn)如下。
　　在注2.2.2中解釋了為什么研究強(qiáng)制要求保險(xiǎn)公司注資的問題，而不是研究保險(xiǎn)公司可以選擇清償資產(chǎn)并退出市場(chǎng)的問題。這個(gè)解釋亦適用于文獻(xiàn)中帶注資的最優(yōu)分紅問題。
　　在第3章中，用微分方程理論來處理常利率風(fēng)險(xiǎn)模型下最優(yōu)控制問題，而不是像文獻(xiàn)中通常引入合流超幾何函數(shù)的方法。
　　在3.1.4小節(jié)中，表明在分紅率有

21、界和沒有再保險(xiǎn)的情況下，最優(yōu)分紅策略是門檻策略。其所對(duì)應(yīng)的分紅邊界關(guān)于分紅率界是非降的，而且當(dāng)分紅率界大于某個(gè)正數(shù)時(shí)是非零的。
　　3.1.5小節(jié)給出的最優(yōu)再保險(xiǎn)策略也有點(diǎn)不同于文獻(xiàn)。在分紅率有界的條件下，風(fēng)險(xiǎn)的最優(yōu)自留比例不再是風(fēng)險(xiǎn)余額的單增函數(shù)。它先隨著風(fēng)險(xiǎn)余額單調(diào)增加到某個(gè)最大值，如果這個(gè)最大值等于1就在1這個(gè)水平停留一段時(shí)間，最后下降至零。
　　在3.2節(jié)中，引入一種新方法來研究在考慮破產(chǎn)的時(shí)間價(jià)值條件下的最優(yōu)分紅問

22、題。這種方法用到了微分方程解對(duì)初值的連續(xù)依賴性。證明的過程和有關(guān)值函數(shù)的結(jié)果都增加了技術(shù)上的難度。
　　在Omega模型中，當(dāng)破產(chǎn)率為常值時(shí)，在4.3節(jié)表明這種情形下的破產(chǎn)可與隨機(jī)觀測(cè)下的破產(chǎn)以及Parisian意義下的破產(chǎn)相聯(lián)系?；谶@些聯(lián)系，對(duì)于固定罰金和依賴盈余的罰金兩種情形，分別計(jì)算了破產(chǎn)時(shí)的期望折現(xiàn)罰金。
　　在4.3.1小節(jié)中，首次給出了譜負(fù)Lévy過程負(fù)持續(xù)時(shí)間的概率分布，用尺度函數(shù)和盈余過程的分布來表示。