保險風險理論中的破產和分紅問題.pdf

1、計算破產概率等相關的精算量是經(jīng)典風險理論中最為關心的問題之一。從Lundberg時期至今，它一直都是一個很活躍的研究領域。此外，破產理論在其他應用概率領域具有廣泛的應用，例如排隊論和數(shù)理金融（障礙期權、信用產品的定價等）。因此，破產理論在現(xiàn)代風險理論中仍然具有非常重要的作用。分紅作為另一個重要的準則首先由DeFinetti[19]提出。在該文中，他主要考慮一個簡單離散模型下的直到破產前的期望折現(xiàn)累計分紅量，并發(fā)現(xiàn)最優(yōu)的分紅策略是一個邊界

2、策略。從此，一大批學者開始研究各種更加一般和更加實際的模型下的（帶有一個常數(shù)邊界的）分紅問題。我的博士論文也致力于研究某些風險模型下的破產和分紅問題。它主要包含兩類問題:一類是連續(xù)時間模型下的某些與破產和分紅相關的最優(yōu)隨機控制問題（見第2和3章），另一類是某些離散時間模型下的破產和分紅問題（見第4-6章）。
　　動態(tài)隨機優(yōu)化起源于具有不確定性的決策問題，它在保險、金融、經(jīng)濟和管理領域具有廣泛的應用。隨機優(yōu)化問題的目標一般是為了尋找

3、最優(yōu)的控制（決策）過程和相應的最優(yōu)目標函數(shù)。保險學和隨機控制理論相結合的文獻經(jīng)歷了很長一段時間才得以出現(xiàn)，最初的文獻為AsmussenandTaksar[5]和Browne[8]。從此以后，有一系列的文獻利用動態(tài)規(guī)劃原理和HJB方程的方法來解決保險中的最優(yōu)控制問題。這個領域的核心問題包括保險公司的最優(yōu)再保險、最優(yōu)投資和最優(yōu)分紅問題。其中，大部分都是考慮擴散模型和經(jīng)典風險模型。
　　為了降低自身的風險，保險公司通常會購買適量的再保險

4、。為了數(shù)學上的方便，大多數(shù)文獻都假定保費是按照期望值原理來收取的。但是，均值相同的兩個風險之間的差異可能很大，那么對它們所收取的保費也應該不同。因此，期望值原理有時未必合理。另一方面，被稱為零效用準則的指數(shù)保費原理在保險數(shù)學和精算實務中都發(fā)揮著重要作用。它具有很多好的性質并且被廣泛應用于數(shù)理金融中的保險產品定價，見MusielaandZariphopoulou[62],YoungandZariphopoulou[85],Young[84

5、]和MooreandYoung[61]。因此，我們也對指數(shù)保費原理下的某些最優(yōu)控制問題感興趣，見第2和3章。在指數(shù)保費原理下，保險公司的風險控制是非線性的，它使得所考慮的問題比期望值原理下的相應問題更復雜。為了簡單起見，本文假設保險公司購買的是比例再保險。
　　在第2章中，我們考慮一個擴散模型下的最優(yōu)分紅問題。該控制的擴散模型是通過對具有比例再保險的經(jīng)典風險模型擴散逼近得到的，其中再保險的保費是按照指數(shù)保費原理來計算的。Zhoua

6、ndYuen[90]在方差保費原理下考慮了類似的最優(yōu)分紅問題。他們得到了一些與L(o)kkaandZervos[55]（其中再保險保費按照期望值原理來計算）中不一樣的結果。我們所考慮的問題是比ZhouandYuen[90]中更復雜的非線性隨機控制問題。此外，ZhouandYuen[90]中只考慮了便宜再保險，而我們同時考慮了非便宜再保險和便宜再保險兩種情形。本章的目標是最大化直到破產前的期望折現(xiàn)分紅量。對分紅率有界和無界兩種情形，我們都

7、得到了值函數(shù)和相應的最優(yōu)策略的解析表達式。對無界分紅率情形（非便宜再保險和便宜再保險），最優(yōu)分紅策略是一個邊界策略，并且最優(yōu)再保險和最優(yōu)分紅策略具有相同的閥值。這些結果與ZhouandYuen[90]中的類似。但是，對分紅率為有界（界為M）的情形，本文中非便宜再保險情形下的結果與ZhouandYuen[90]中有所不同。ZhouandYuen[90]指出最優(yōu)分紅策略總是門檻分紅策略，且當盈余達到該門檻之后保險公司的自留水平保持不變（即使

8、盈余不斷增加）。但是在本文中，該情況只對充分大的M才成立，具體的見2.4.1小節(jié)。而對比較小的M，本文的結果表明，最優(yōu)的分紅策略是始終按最大分紅率進行分紅，且最優(yōu)的再保險比例始終是一個常數(shù)。最后，我們在第2.5節(jié)給出了一個數(shù)值例子，它闡釋了a（再保險公司的風險厭惡）對最優(yōu)值函數(shù)和保險公司自留水平的影響。我們從中發(fā)現(xiàn)，隨著a的增大，它對值函數(shù)的影響越來越小;當盈余較小時，自留水平隨a的增大而增大，然而當盈余較大時情況卻比較復雜。
　

9、　在第3章中，我們考慮保險公司的最優(yōu)投資和比例再保險問題，其中保險公司的業(yè)務由一帶擴散擾動的經(jīng)典風險過程來刻畫。對經(jīng)典風險模型，破產概率的解析表達式通常無法得到。然而，由Cramér-Lundberg漸進公式和Lundberg不等式知道，破產概率與調節(jié)系數(shù)密切相關。因此，在帶擴散擾動的經(jīng)典風險模型下，我們也著重考慮再保險對調節(jié)系數(shù)的影響。我們假設資產可以被投資于一個風險資產和一個無風險瓷產。除了投資，我們允許保險公司購買適當?shù)脑俦ｋU以減

10、少自身的風險。值得一提的是，對于最大化調節(jié)系數(shù)，我們并沒有將策略集限制于常數(shù)策略類，這與絕大多數(shù)文獻都不同，例如LiangandGuo[51],Centeno[10],HaldandSchmidli[32],CentenoandGuerra[11]和GuerraandCenteno[30]。我們首先研究最大化終端財富指數(shù)效用的問題，然后將所得的結果應用于最大化調節(jié)系數(shù)的問題中。對上述的兩個問題，通過解相應的HJB方程，我們都得到了最優(yōu)值

11、函數(shù)和相應最優(yōu)策略的解析表達式。此外，我們證明了最大的調節(jié)系數(shù)及其相應的最優(yōu)策略都是α（再保險公司的風險厭惡）和β（保險公司的不確定因素）的嚴格單調函數(shù)。在第3.4節(jié)中，我們還給出了破產概率的一個上界。此外，我們應該注意的是，HaldandSchmidli[32]中的方法對本文不適用。然而，用我們的方法卻可以得到HaldandSchmidli[32]中的定理1。
　　馬氏調節(jié)風險模型，由于其盈余過程受一環(huán)境馬氏鏈的影響，它能更好的

12、捕捉保單依賴于環(huán)境的特征，例如受天氣、經(jīng)濟和政治等環(huán)境的影響。因為它比經(jīng)典風險模型更加貼近現(xiàn)實，近年來受到越來越多的關注。
　　在馬氏調節(jié)風險模型中，保費、索賠額大小和索賠數(shù)過程在給定環(huán)境馬氏鏈下通常都假定是（條件）獨立的，即它們都只依賴于馬氏鏈的當前狀態(tài)。然而，在某些應用中這種（條件）獨立的假設有點太強了。JanssenandReinhard[41]首先提出了一種半馬氏相依結構，其中索賠額大小和索賠時間間隔不僅依賴于環(huán)境馬氏鏈的

13、當前狀態(tài)還依賴于下一步要轉移到的狀態(tài)。接著，ReinhardandSnoussi[65，66]研究了一個離散時間的半馬氏風險模型，其中假定索賠額大小之間是自相關的且受一有限狀態(tài)馬氏鏈的影響。在該文中，他們對索賠額的分布做了一個嚴格限制，并在此情形下得到了破產前盈余和破產赤字的聯(lián)合分布的遞推公式。然而，如果我們把這個嚴格限制去掉的話將會出現(xiàn)怎樣的情況呢？我們發(fā)現(xiàn)，如果對索賠額的分布不加限制，所研究的離散時間半馬氏模型包含了多個已有的風險模

14、型，如（帶時間相依索賠的）復合二項模型和（帶時間相依索賠的）復合馬氏二項模型。
　　在第4章中，我們研究了離散時間半馬氏風險模型下的期望折現(xiàn)分紅問題。在第4.3節(jié)中，我們首先考慮了ReinhardandSnoussi[65，66]中所描述的那種特殊情況。借助ReinhardandSnoussi[65，66]的方法，并充分利用邊界分紅策略的邊界條件，我們得到了m個狀態(tài)模型下的直到破產前期望折現(xiàn)分紅的矩陣形式的表達式。接著，在第4.4

15、節(jié)中，我們在一般模型（即索賠額分布不加任何假設）下考慮了同樣的問題。由于4.3節(jié)中所用的方法不適用于一般情形，我們在第4.4節(jié)中采用了一個新的方法。利用生成函數(shù)的方法，并結合差分方程理論以及邊界分紅策略的邊界條件，我們在2個和3個狀態(tài)模型下也都給出了直到破產前期望折現(xiàn)分紅的矩陣形式的表達式。我們的方法可以適用于包含任意個狀態(tài)的模型，然而，這樣的推廣將會使得推導過程變得極其復雜和冗長。在本章的結尾，我們給出了一個數(shù)值例子（滿足4.3節(jié)中的

16、限制條件），從中證實了利用兩種不同方法所得的結果是一致的。通過這個例子，我們也注意到使得期望折現(xiàn)分紅量Vi（u,b），i=1，2，達到最大的最優(yōu)分紅邊界b*不僅依賴于初始狀態(tài)i，還依賴于初始盈余u和折現(xiàn)因子v。
　　在第5章中，我們在第4章所敘述的模型下考慮了保險公司的生存概率。為了保證保險公司不會必然破產，在這一章里我們假設正安全負荷條件成立。即使對m=2的情形，ReinhardandSnoussi[65，66]中所采用的方法對

17、本文也無法適用，所以我們也必須采用一個新的方法。利用生成函數(shù)的方法，我們得到了兩狀態(tài)模型下生存概率φi(u)的遞推公式，它根據(jù)索賠額分布的情況分為兩種情形。得到φi(u)的遞推公式后，我們還必須確定兩個初始值φi(0)，i=1，2。只有這樣，我們才能利用之前所得到的遞推公式進行計算。在第4章中，我們充分利用了邊界策略的邊界條件得到了期望折現(xiàn)分紅的初始值。然而，這個方法在本章已不再適用。為了得到φ1(0)和φ2(0)，我們必須想方設法找到

18、兩個與他們相關的方程，見第5.3節(jié)。另一方面，由于我們所考慮的模型包含了多個已有的離散時間模型，如（帶時間相依索賠的）復合二項模型和（帶時間相依索賠的）復合馬氏二項模型，本章的結果推廣了這些模型下破產概率的研究，具體的見第5.4節(jié)。最后，我們給出了幾個數(shù)值例子來說明我們的結果。
　　在第6章中，我們研究了一個離散時間的NCD風險模型，它包含了汽車保險業(yè)中著名的無賠款優(yōu)待折扣系統(tǒng)（或獎懲系統(tǒng)）。該系統(tǒng)通過收取附加費懲罰出事故的投保人

19、，而對無索賠的投保人給予優(yōu)待折扣。為了簡單起見，我們假設保費只按兩個層次收取，并得到了最終破產概率的遞推公式。然后通過幾個數(shù)值例子來考察NCD系統(tǒng)對破產概率的影響。最后，我們還考慮了最終破產和破產赤字的聯(lián)合分布。對于具有非整數(shù)且不規(guī)則保費（或盈余）的離散風險模型，如何建立一個有效的遞推公式仍然是尚待解決的問題。本文雖然不是對一般情形進行的嘗試，但部分解決了該問題并對一般情形下問題的解決具有啟發(fā)作用。
　　作為這部分的結尾，我們介紹

20、一下這篇博士論文的主要貢獻，具體如下。
　　第2章研究了具有非線性正則-奇異隨機控制的最優(yōu)分紅問題。我們假定保費按指數(shù)保費原理計算，從而風險控制是非線性的，它比期望值（或方差）保費原理下的相應問題更難以解決。我們的結果展示了一些與期望值保費原理和方差保費原理都不一樣的方面。此外，我們同時考慮了便宜和非便宜再保險，而大多數(shù)文獻都只考慮了其中一種。
　　第3章考慮了跳擴散模型下的最優(yōu)投資和再保險問題。在研究最大化調節(jié)系數(shù)時，我們

21、并沒有將策略集限制于常數(shù)策略類，這與絕大多數(shù)文獻都不同。此外，用我們的方法可以得到HaldandSchmidli[32]中的定理1。然而，HaldandSchmidli[32]中的方法對本文卻不適用，因為我們所考慮的問題是非線性的。
　　第4和5章考慮了離散半馬氏風險模型下的破產和分紅問題。該模型的古典精算量的計算問題僅在較強的條件下得到部分解決，見文獻ReinhardandSnoussi[65，66]。本文去掉了強加在模型上的限