計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型中非參數(shù)M估計(jì)的漸近理論.pdf

1、在過去的幾十年中,越來越多的研究者用非參數(shù)方法來對(duì)統(tǒng)計(jì)模型中的回歸函數(shù)進(jìn)行估計(jì).很多估計(jì)方法以及估計(jì)量都已經(jīng)被提出并得到了發(fā)展,如核估計(jì),樣條估計(jì),局部回歸估計(jì)以及正交序列估計(jì)方法等.非參數(shù)估計(jì)的理論以及實(shí)際應(yīng)用都已經(jīng)得到了系統(tǒng)的研究.至今,非參數(shù)估計(jì)仍然是統(tǒng)計(jì)中的一個(gè)熱門與活躍的領(lǐng)域.在本文中我們將研究一類穩(wěn)健的非參數(shù)估計(jì):M估計(jì).與其他類型的非參數(shù)估計(jì)量(如非參數(shù)最小二乘估計(jì)量)相比較,M估計(jì)量有以下的優(yōu)點(diǎn)：它們對(duì)于異常點(diǎn)是穩(wěn)健的,

2、并且即使當(dāng)觀測(cè)值被污染或者殘差是重尾分布時(shí),它們?nèi)匀挥泻芎玫男再|(zhì)。 M估計(jì)是由Huber在1964年提出并用于位置參數(shù)的估計(jì).M估計(jì)是一類穩(wěn)健的估計(jì)。并且如Huber在1973所指出,當(dāng)涉及到漸近理論時(shí),M估計(jì)比其他的穩(wěn)健估計(jì)(如L估計(jì)以及R估計(jì))更容易處理.自從被提出以來,M估計(jì)的方法不論是在參數(shù)情形還是在非參數(shù)情形中都得到了深入的研究.不僅如此,一些學(xué)者還提出了改良化的M估計(jì)量.這些改良化的M估計(jì)量不僅繼承了M估計(jì)量本身的優(yōu)

3、點(diǎn),而且還具備了其他一些估計(jì)量的良好性質(zhì)。例如,局部M估計(jì)量就是將局部線性光滑化方法與M估計(jì)的方法相結(jié)合后所產(chǎn)生的.因此,局部M估計(jì)量繼承了局部多項(xiàng)式估計(jì)的優(yōu)點(diǎn)并且克服了其非穩(wěn)健性的缺點(diǎn).我們將在第二章中研究相依空間過程的非參數(shù)回歸函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的局部M估計(jì)。 過去對(duì)非參數(shù)M估計(jì)的研究大多針對(duì)于時(shí)間序列。對(duì)空間數(shù)據(jù)(或隨機(jī)場(chǎng))的穩(wěn)健估計(jì)的研究相對(duì)比較少.然而在近幾年中,越來越多的人開始關(guān)注空間數(shù)據(jù)的建模.這是因?yàn)榭臻g數(shù)據(jù)在很多領(lǐng)域

4、中都有廣泛的應(yīng)用,如經(jīng)濟(jì)學(xué),流行病學(xué),環(huán)境科學(xué),圖像分析以及海洋學(xué)等.因此在本文中,我們首先探討一些相依空間數(shù)據(jù)的非參數(shù)M回歸估計(jì)的漸近理論.在§2.1.中,我們得到了相伴隨機(jī)場(chǎng)非參數(shù)回歸函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的局部M估計(jì)量的弱相合性以及漸近正態(tài)分布.在本節(jié)中,由于我們需要運(yùn)用Bulinski引理來計(jì)算一些相伴隨機(jī)場(chǎng)變量的非線性函數(shù)的協(xié)方差,所以我們對(duì)損失函數(shù)的導(dǎo)數(shù)ψ加了相對(duì)較強(qiáng)的限制條件.在§2.2中,我們建立了一個(gè)空間固定設(shè)計(jì)模型中回歸函數(shù)及

5、其導(dǎo)數(shù)的局部M估計(jì)量的弱相合性,強(qiáng)相合性以及漸近分布.該節(jié)中的空間過程滿足一定的混合條件.由于§2.1以及之前一些文獻(xiàn)中的損失函數(shù)ρ及其導(dǎo)數(shù)ψ都需要滿足一些較為苛刻的條件,這使得一些重要的特殊例子都被排除在外.而我們?cè)凇?.2中所使用的方法則使得ρ與ψ的條件大為減弱.我們所考慮的ρ函數(shù)涵蓋了此前的大部分作者所考慮的ρ-在§2.3中,我們建立了混合空間過程的非參數(shù)回歸函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的局部M估計(jì)量的強(qiáng)Bahadur表示式.由此表示式,我們可以

6、得到該局部M估計(jì)量的強(qiáng)相合性以及漸近正態(tài)分布.在§2.4中,我們用Monte-Carlo試驗(yàn)來說明第二章中所研究的局部M估計(jì)量的表現(xiàn).由于我們一般不能通過定義局部M估計(jì)量的估計(jì)方程直接得到該估計(jì)量的明確表達(dá)式,所以我們采取了一個(gè)迭代的過程來推導(dǎo)該估計(jì)量.模擬結(jié)果顯示,我們的估計(jì)方法在處理被污染或者重尾殘差時(shí)的效果比NW(Nadaraya-Watson)估計(jì)量要好得多。隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,數(shù)據(jù)收集與測(cè)量的手段和方法也在不斷進(jìn)步,因此在實(shí)際

7、應(yīng)用中我們經(jīng)常需要處理泛函型數(shù)據(jù)(如隨機(jī)曲線).泛函數(shù)據(jù)分析在很多領(lǐng)域,如犯罪學(xué),經(jīng)濟(jì)學(xué)以及神經(jīng)生理學(xué),都有重要的應(yīng)用.因此在最近幾年中,越來越多的研究者開始關(guān)注泛函數(shù)據(jù)的建模與分析.在第三章中,我們將考慮混合泛函型數(shù)據(jù)的非參數(shù)回歸函數(shù)的M估計(jì).此章中我們所考慮的回歸變量取值于某一抽象的半度量空間(例如Rd空間,Banach空間以及Hilbert空間),而響應(yīng)變量則為實(shí)值隨機(jī)變量.我們提出用非參數(shù)M估計(jì)的方法來對(duì)定義于抽象泛函空間的回歸

8、函數(shù)進(jìn)行估計(jì).我們建立了該M估計(jì)量的漸近相合性以及漸近分布.我們所要求的關(guān)于損失函數(shù)ρ及其導(dǎo)數(shù)ψ的條件在此類問題的研究是比較弱的,這使得我們的結(jié)果包括了一些重要的估計(jì)量,如最小絕對(duì)距離估計(jì)量,混合最小二乘與最小絕對(duì)距離估計(jì)量.另外我們還給出了兩個(gè)滿足第三章中混合條件的泛函序列的例子.最后,我們用Monte-Cario模擬來說明我們的方法能很好地處理重尾殘差。 在第四章中,我們考慮一個(gè)固定設(shè)計(jì)回歸模型.在這個(gè)模型中,殘差為一個(gè)長(zhǎng)程

9、相依的線性過程.我們用非參數(shù)M估計(jì)量來對(duì)模型中的回歸函數(shù)進(jìn)行估計(jì),并得到了該M估計(jì)量的漸近一階以及漸近二階展開.我們將所得到的結(jié)果與NW估計(jì)量進(jìn)行了比較,通過比較我們發(fā)現(xiàn)：非參數(shù)M估計(jì)量與NW估計(jì)量是漸近一階等價(jià)的,這表明M估計(jì)量與NW估計(jì)量有相同的漸近分布.另外我們還證明了非參數(shù)M估計(jì)量與NW估計(jì)量之差在適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)化后存在著極限分布,這一極限分布與長(zhǎng)程相依的參數(shù)α有關(guān).我們通過一個(gè)模擬試驗(yàn)來比較非參數(shù)M估計(jì)量與NW估計(jì)量的有限樣本性質(zhì)

10、.我們通過兩個(gè)殘差為長(zhǎng)程相依線性過程的固定設(shè)計(jì)模型來比較這兩個(gè)估計(jì)量的均方誤差.此外,我們還畫出了這兩個(gè)估計(jì)量的軌跡.從模擬結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),與NW估計(jì)量相比較,非參數(shù)M估計(jì)量對(duì)污染數(shù)據(jù)是穩(wěn)健的。 在本文第二至第四章中所涉及的隨機(jī)樣本都被假設(shè)為是平穩(wěn)的.然而由于在計(jì)量經(jīng)濟(jì)以及金融中存在著很多的非平穩(wěn)數(shù)據(jù),例如價(jià)格以及匯率,所以在第五章中我們研究一類非平穩(wěn)變量的非參數(shù)回歸估計(jì).單位根過程是一類在計(jì)量經(jīng)濟(jì)中有重要應(yīng)用的非平穩(wěn)過程,所以在

11、此章中我們考慮共變量是單位根過程的一個(gè)非線性共積分模型.我們建立了該非線性共積分模型的回歸函數(shù)的M估計(jì)量的弱相合性以及漸近分布.該漸近分布是混合正態(tài)的,并且不同于平穩(wěn)時(shí)間序列的相關(guān)結(jié)果.從我們所得到的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn),第五章中所考慮的非平穩(wěn)時(shí)間序列的非參數(shù)M估計(jì)量的收斂速度比平穩(wěn)時(shí)間序列的收斂速度要慢,而這也正是我們所預(yù)期的,因?yàn)榉瞧椒€(wěn)隨機(jī)樣本落在某一固定點(diǎn)的鄰域中的觀測(cè)值比平穩(wěn)時(shí)間序列要少.在§5.3的模擬中,我們依然用迭代方法來推導(dǎo)非平