淺談圓錐曲線在高考及競賽中的地位與作用-數(shù)學及應用數(shù)學畢業(yè)論文

1、<p>　　專業(yè)代碼：XXXXXX</p><p>　　學號：XXXXXXXX0</p><p>　　X X X X 大 學（本 科）</p><p>　　畢 業(yè) 論 文</p><p>　　題 目：淺談圓錐曲線在高考及競賽中的地位與作用</p><p>　　學 院：數(shù)學與計算機科學學院&l

2、t;/p><p>　　專 業(yè)：數(shù)學與應用數(shù)學</p><p>　　年 級：YYYY級</p><p>　　姓 名： ZZZZ</p><p>　　指導教師：XXXX（講師）</p><p>　　完成時間：2010年 月 日</p><p>　　淺談圓錐曲線在高考及競賽中的地位與

3、作用</p><p><b>　　XXX</b></p><p>　　摘要：本論文主要從高考解析幾何及競賽試題中圓錐曲線的定義、幾何性質、直線和圓錐曲線的位置關系這三個方面進行了探究。其中定義的探究主要是揭示圓錐曲線的本質特征，幾何性質的探究主要從方程的角度，將代數(shù)語言轉化為幾何語言去理解圓錐曲線的幾何性質，其目的在于說明圓錐曲線在中學數(shù)學中的地位與作用。</p

4、><p>　　關鍵詞：圓錐曲線;橢圓；雙曲線；拋物線;準線方程；焦點弦；離心率</p><p>　　Abstract：This thesis is mainly the definition of the curve of taper from analytic geometry of college entrance examination and examination question

5、of the contest, geometirc property, straight line, taper position relation 3 these of curve probe into. Define it probes into to be to announce taper essential characteristic of curve mainly among them, to probe into, in

6、 terms of equation, turn algebra language into geometirc language go, understand the geometirc properties of curve of taper mainly g</p><p>　　Keyword：Curve of taper; Oval; Hyperbola; Parabola; Directrix equa

7、tion; Focus string; At odds with the community or the leadership rate</p><p><b>　　引言 </b></p><p>　　圓錐曲線在生活或生產(chǎn)中被廣泛應用。是一種常見的曲線，主要是橢圓、雙曲線、拋物線，比如傾斜著的圓柱形水杯的水面的邊界線，電影放映機的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個

8、焦點上，影片門在另一個焦點上；利用兩個不同的觀測點測得同一炮彈爆炸的時間差，可以確定爆炸點所在的雙曲線方程，如果在增設一個觀測點還可以確定爆炸點的準確位置，這是雙曲線的一個重要應用；探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠鏡等都是利用拋物線的原理制成的。</p><p>　　圓錐曲線的定義及標準方程</p><p>　　橢圓的定義及標準方程</p><p&

9、gt;　　橢圓的第一定義：平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)（大于）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點的距離叫做焦距.</p><p>　　橢圓的第二定義;平面內點M(ｘ,ｙ)與一個定點F（c，0）的距離和它到定直線ｌ：x=的距離比試常數(shù)e=(a>c>0)的點M的軌跡是橢圓，定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準線，常數(shù)e是橢圓的離心率.</p><p&g

10、t;　　橢圓的標準方程：焦點在x軸上： (a>b>0)焦點 (-c,0)、（c，0）；焦點在y軸上:（a>b>0）焦點是（0，-c）、(0,c)</p><p>　　雙曲線的定義及標準方程</p><p>　　雙曲線的第一定義：平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于）的點的軌跡叫做雙曲線，這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做焦距.<

11、/p><p>　　雙曲線的第二定義：平面內點M(ｘ,ｙ)與一個定點F（c，0）的距離和它到定直線ｌ：x=的距離比試常數(shù)e= (c>a>0)的點M的軌跡是雙曲線，定點是雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.</p><p>　　雙曲線的標準方程：焦點在x軸上：（a>0，b>0）焦點（-c，0）、（c，0）；焦點在y軸上：（a>0，b>0

12、）焦點（0，-c）、（0， c）.</p><p>　　拋物線的定義及標準方程</p><p>　　拋物線的定義：平面內與一個定點F和一條定直線的距離相等的點的軌跡叫做拋物線.點F叫做拋物線的焦點.直線ｌ叫做拋物線的準線.</p><p>　　拋物線的標準方程：焦點在x軸上=2px(p>0)、F(，0)、x=-或=-2px（p>0）、F(-，0)、x=.

13、焦點在y軸上=2py（p>0）F(0，)、y=-或=-2py（p>0）、F(0，-)、y=.</p><p>　　2. 圓錐曲線的發(fā)展背景</p><p>　　解析幾何的產(chǎn)生：(主要是圓錐曲線)十六世紀以后，由于生產(chǎn)和科學技術的發(fā)展，天文、力學、航海等方面都對幾何學提出了新的需要。比如，德國天文學家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處在這個橢圓的一個焦點上；意大利

14、科學家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體試驗著拋物線運動的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應了，這就導致了解析幾何的出現(xiàn)。</p><p>　　具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個要點：第一，在平面建立坐標系，一點的坐標與一組有序的實數(shù)對相對應；第二，在平面上建立了坐標系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個變數(shù)的一個代數(shù)方程來表示了。從這里可以看到，運用坐標法不僅可以把幾何問題通過代

15、數(shù)的方法解決，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來。</p><p>　　解析幾何的產(chǎn)生并不是偶然的。在笛卡爾寫《幾何學》以前，就有許多學者研究過用兩條相交直線作為一種坐標系；也有人在研究天文、地理的時候，提出了一點位置可由兩個“坐標”（經(jīng)度和緯度）來確定。這些都對解析幾何的創(chuàng)建產(chǎn)生了很大的影響。</p><p>　　3. 圓錐曲線的意義：</p><p

16、>　　圓錐曲線的研究方面，高度綜合了二次方程，二次不等式和二次函數(shù)等的有關知識，將繁雜的問題簡單化，使問題輕松易快的得以解決，通過學習解析幾何知識，由于解析幾何在研究數(shù)學及其他自然科學時所具有的方法論意義上的重要性；同時對解決生活中的實際問題具有深遠意義。</p><p>　　3.1. 應用“圓錐曲線”思想方法，培養(yǎng)學生對數(shù)學知識的記憶能力</p><p>　　對圓錐曲線的“相伴”性

17、質的探索中，通過對圓的相關性質與橢圓聯(lián)系起來，仿照圓性質的相似性對橢圓的探索，定性分析任意離心率相等的圓錐曲線相似，如任意拋物線相似，任意圓相似等，按相似曲線的變換法定義猜測其圓錐曲線的相伴性，同時對一些其他的相似性質：正向變式（變更命題的結論，可以是縱向也可以是橫向）、逆向變式（即逆命題）、類比引申或拓展，通過對問題的反思、回顧、總結、概括與提煉，構建自己的知識體系，整理出一類通用模型，從而培養(yǎng)學生對數(shù)學知識的記憶能力</p&g

18、t;<p>　　3.2. 應用“圓錐曲線”思想方法，激發(fā)學生的學習興趣</p><p>　　興趣是最好的老師，在圓錐曲線的學習過程中，繁雜問題比較多，因此主要是將代數(shù)語言轉化為幾何語言，（無理不等式解方程、無理函數(shù)求最值、定點與動點求軌跡方程、焦點弦的長度、圖形面積等的求法）與圓錐曲線的聯(lián)系十分密切，解析幾何開創(chuàng)了形與數(shù)的對應結合的研究方法，要在教學中滲透數(shù)形結合思想，要讓學生重視數(shù)形互助，培養(yǎng)代數(shù)

19、結果與幾何意義互相轉化的能力，讓學生體會如何借助于坐標系用代數(shù)方法研究幾何問題，體會這種方法所體現(xiàn)的數(shù)形結合思想。使問題直觀、清晰、易懂、易行，這樣不僅激發(fā)學生的學習興趣，還能夠達到事半功倍的效果。</p><p>　　3.3. 應用“圓錐曲線”思想方法，提高學生的理解能力和創(chuàng)新思維能力。</p><p>　　由于在圓錐曲線的研究方面，高度綜合了二次方程，二次不等式和二次函數(shù)的有關知識。因

20、而在解析幾何教學中，特別是在解題過程中，當采用常規(guī)方法走不通或較繁時，如果引導學生采用一種易“變通”的方式，將一種語言“等價轉化”為另一種語言，來刻畫和展示命題的本質含義，就會找到更加巧妙的解題途徑，從而提高學生的理解能力和創(chuàng)新思維能力。</p><p>　　3.4. 應用“圓錐曲線”思想方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學素質</p><p>　　一個學生不僅要在學習成績上好，更重要的是在學科中具有良好

21、知識的素質，因此教師在教學中藥加強這方面的培養(yǎng)，尤其在復雜的圓錐曲線中更應注重這樣的教學，巧妙的構思，化“數(shù)”成“形”的思想直觀、清晰、易行，故我們在解題中要充分運用這種數(shù)學思想方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學素質是抽象問題具體化，這對解題能力、邏輯思維的提高有很大的幫助。</p><p>　　4. 中學數(shù)學中的圓錐曲線所涉及的問題</p><p>　　在中學數(shù)學中圓錐曲線所涉及的問題十分的廣泛：主要

22、研究的是橢圓、雙曲線、拋物線的軌跡方程、焦點坐標位置、準線方程位置、離心率的變化、焦點弦長的變化、直線與圓錐曲線的交點關系及直線斜率的變化情況、（相交、相切、相離）、過焦點弦的三角形或四邊形的周長面積的求及角度的變化求解問題、過焦點的一些定理的探討與研究。</p><p>　　5. 圓錐曲線思想方法的地位與作用</p><p>　　5.1. 圓錐曲線在函數(shù)中的地位與作用</p>

23、<p>　　5.1.1構造圓錐曲線解無理函數(shù)最值問題</p><p>　?。?）構造橢圓和拋物線求最值</p><p>　　例 求函數(shù)f（x）=－6x-的最大值和最小值.（2000年河北省高中數(shù)學競賽試題）</p><p>　　解析：令f（x）=t，則有－6x-t=，令C1：y=－6x-t，C2：y=，故y0，將C2兩邊平方后，化簡整理得 +y2=1,

24、如圖所示，C1表示對稱軸為x=3，開口向上的拋物線；C2表示橢圓在x軸上方的圖像，且C1與C2有公共點。</p><p>　　當C1過點（3，2）時t=-11；當C1過點（3，0）和（3+，0）時，t=-7.所以函數(shù)的最大值為-7，最小值為-11.</p><p>　?。?）構造雙曲線求最值</p><p>　　例 求函數(shù)f(x)=的最大值和最小值（第14屆2003

25、年“希望杯”高二）</p><p>　　分析：令m=，n=（m0，n=0），則m+n= f(x)=y</p><p>　　即;n=-m+y,2m2 －n2=2,建立m—O—n坐標系，則原題轉化為直線n=－m+y與雙曲線2m2 －n2=2在第一象限（含坐標軸）內有公共點時，直線在n軸上的截距.</p><p>　　如圖，根據(jù)數(shù)形結合，不難看出y只有最小值，而無最大值，

26、當直線過（1，0）時，y的最小值為y=1</p><p>　　故f(x)=的最小值為1</p><p>　　從以上幾個例題中，此類問題題型新穎，構思巧妙，具有極強的探索性和開放性，其目的在于考查學生的想象能力和創(chuàng)造能力，解決這類問題，重在對圖形的觀察、審視，并利用形象思維產(chǎn)生創(chuàng)意，總言之，構造圓錐曲線解決無理函數(shù)最值問題的關鍵在于：按照題設條件，正確選擇構造方法，其方法具有較強的靈活性和創(chuàng)

27、造性，是因為在解決過程中往往可以找到結論和條件的邏輯通道，使問題簡潔明快地獲得解決，運用這些方法加以引申、拓展能夠解決更多的難題，這一專題的內容進行探討研究，其最終目的在于說明圓錐曲線在高考及競賽中的重要地位與作用，故值得重視。</p><p>　　5.2. 圓錐曲線在三角形中的地位與作用 </p><p>　　5.2.1過圓錐曲線焦點弦的三角形的面積</p><p&g

28、t;　　例（08年寧夏）經(jīng)過橢圓的又焦點F作斜率為2的直</p><p>　　線交橢圓與A，B兩點，O是坐標原點，求△OAB的面積S</p><p>　　分析：因為a=，b=2，c=1，e=，ep=（p為焦點F到相應準線的距離）F（1，0），k=2，則ｌAB方程y=2（x－1），代入橢圓整理得（1+k2－e2）x2－2pe2x－e2p2=0由弦長公式知易得｜AB｜=，原點（0，0）到直線ｌ

29、AB方程y=2（x－1）的距離d=，所以△OAB的面積S=｜AB｜d,代入數(shù)據(jù)化簡得S=.</p><p>　　經(jīng)過圓錐曲線焦點被圓錐曲線截得的線段叫做焦點弦，是一個重要的幾何量，是各類考試的重點和熱點，?？疾凰ィ嵌乳L變，可謂考試中的常青樹，和三角形、四邊形在高考中的聯(lián)系十分的密切，根據(jù)不同的性質千變萬化，因此在高考中有重要的地位和作用。</p><p>　　5.3. 圓錐曲線在直線與圓

30、中的地位與作用</p><p>　　直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等.突出考查了數(shù)形結合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉化等數(shù)學思想方法，要求考生分析問題和解決問題的能力、計算能力較高，起到了拉開考生“檔次”，有利于選拔的功能.</p><p>　　例：已知橢圓的中心在坐標原點O，焦點在坐標軸上，

31、直線y=x+1與橢圓交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=，求橢圓方程.</p><p><b>　　案例探究</b></p><p>　　例：如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標為(5，0)，傾斜角為的直線l與線段OA相交(不經(jīng)過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求△AMN面積最大時直線l的方程，并求△AMN的最大面積.</p><p

32、>　　命題意圖：直線與圓錐曲線相交，一個重要的問題就是有關弦長的問題.本題考查處理直線與圓錐曲線相交問題的第一種方法——“韋達定理法”.</p><p>　　知識依托：弦長公式、三角形的面積公式、不等式法求最值、函數(shù)與方程的思想.</p><p>　　錯解分析：將直線方程代入拋物線方程后，沒有確定m的取值范圍.不等式法求最值忽略了適用的條件.</p><p>

33、　　技巧與方法：涉及弦長問題，應熟練地利用韋達定理設而不求計算弦長，涉及垂直關系往往也是利用韋達定理，設而不求簡化運算.</p><p>　　解：由題意，可設l的方程為y=x+m,－5＜m＜0.</p><p>　　由方程組,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①</p><p>　　∵直線l與拋物線有兩個不同交

34、點M、N，</p><p>　　∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,</p><p>　　解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)</p><p>　　設M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,</p><p><b>　　∴|MN|=4.<

35、/b></p><p>　　點A到直線l的距離為d=.</p><p>　　∴S△=2(5+m),從而S△2=4(1－m)(5+m)2</p><p>　　=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2()3=128.</p><p>　　∴S△≤8,當且僅當2－2m=5+m,即m=－1時取等號. </p><

36、p>　　故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為8.</p><p>　　5.4. 圓錐曲線在數(shù)列中的地位與作用</p><p>　　圓錐曲線在數(shù)列中的應用十分的廣范，最為多的是和圓錐曲線的焦點弦截得的線段長或與準線長的關系成等差或等比，常常正面解法比較困難，很難有成功的把握，因此轉換思路，從結論的反面入手，妙用定義或一些相似性質，借助補集的思想或反正法加以求解和論證，通過這

37、樣使得兩者結合緊密，圓錐曲線在數(shù)列中占據(jù)重要地位與作用。</p><p>　　5.5.圓錐曲線在向量中的地位與作用</p><p>　　例:(2005年·全國卷Ⅰ·理21文22)</p><p>　　已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在x軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點， 與共線。</p><p>　　

38、（I）：設M為橢圓上任意一點，且,證明：為定值。</p><p>　　解：（I）證明：由題目可得，所以橢圓可化為.</p><p><b>　　在橢圓上，</b></p><p><b>　　即 ①</b></p><p><b>　　由（I）知</b></p&g

39、t;<p><b>　　又又，代入①得 </b></p><p>　　故為定值，定值為1.</p><p>　　向量是數(shù)學中的重要概念之一，由于它具有幾何和代數(shù)的雙重身份，同時圓錐曲線也有相似的性質，都成為中學數(shù)學知識的一個交匯點，都成為聯(lián)系各種知識的媒體，兩者之間獨具匠心，向量客串與圓錐曲線，使得內容更為豐富，同時更能體現(xiàn)圓錐曲線在向量中的地位與作用

40、。</p><p>　　5.6.圓錐曲線在不等式中的地位與作用</p><p><b>　　例：解不等式</b></p><p>　　解析：不等式可化為，這時化靜為動，得到一個平面區(qū)域.這是一個a=5，c=3的橢圓內部區(qū)域 (代數(shù)語言劃歸為幾何語言)，再以動制靜，令y=2，則有，可得原不等式的解為.</p><p>　　

41、顯然該不等式以代數(shù)形式給出，但卻有明顯的幾何意義，將代數(shù)語言轉化為幾何語言可使問題變得直觀，易于解決，達到事半功倍的效果，在圓錐曲線中有重要的地位和作用</p><p><b>　　6. 綜述</b></p><p>　　解析幾何是高中數(shù)學新課程所必須的內容之一。新教材中的內容能很好地培養(yǎng)和發(fā)展學生的空間想象邏輯推理。教材中這一專題的滲透對發(fā)展學生的解題思路、尋找最佳

42、解題方法有著指導性的作用，可對問題進行正確的分析、比較、合理聯(lián)想，逐步形成正確的解題觀，還可在學習中引導學生對抽象概念給予形象化的理解和記憶，提高數(shù)學認知能力，并提升對現(xiàn)實世界的認識能力，從而提高數(shù)學素養(yǎng)，不斷完善自己。運用空間思維和一般思維的比較，使很多復雜問題簡單化，從而使問題得到解決。解析幾何在競賽及高考中的地位與作用是很重要的一部分 , 它的應用是非常廣泛的，主要是通過對題目的分析，注意題目中各個已知條件所體現(xiàn)的幾何意義 , 將

43、代數(shù)問題轉化為平面幾何、立體幾何以及解析幾何中的問題來解決，將解析幾何與數(shù)形結合思想的實質聯(lián)系起來，這樣兩者具有優(yōu)越性。當然這要求我們平時要注意總結一些常用的圖象、圖形和它們的表示，從而在具體的題目中得到應用，實現(xiàn)代數(shù)與幾何的相互轉化，進一步提高解題的能力。在平日的教學和學習中，要緊緊抓代數(shù)與幾何轉化的策略，溝通知識聯(lián)系，激發(fā)學生學習興趣，提高學生的空間思維邏輯思維的能力。 </p><p><b>　

44、　參考文獻：</b></p><p>　　[1] 徐有標，劉治平.用數(shù)學思想方法速解高考題[M].北京：中國青年出版社，2009. </p><p>　　[2] 丘維聲, 解析幾何, 北京：北京大學出版社，1988.</p><p>　　[3] 耿秉輝.應用圖形分析法解數(shù)學題[M].上海：上?？萍冀逃霭嫔? 1991.</p><p

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