數(shù)學(xué)分析中的幾個定理的探討

1、<p>　　數(shù)學(xué)分析中的幾個定理的探討2</p><p>　　摘要：本文對數(shù)學(xué)分析中的幾個定理作了進一步的探討，有的放寬了條件，有的通過類比某些定理得到了新的定理。</p><p>　　關(guān)鍵詞：拓廣、萊布尼茲判別法、狄義希萊判別法、阿貝爾判別法</p><p>　　數(shù)學(xué)分析自從牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立以來，在許多數(shù)學(xué)大師的努力之下日趨完善，建立起了完整的體系，并

2、為其它學(xué)科的發(fā)展奠定了知識與方法論的基礎(chǔ)。筆者通過學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)分析中的幾個定理有待于進一步改進。</p><p>　　（一）萊布尼茲判別法</p><p>　　萊布尼茲判別法：對于交錯級數(shù) ,若（1）對任意自然數(shù)n≥1,有u≥u;</p><p>　　(2)limu＝零,則交錯級數(shù)u收斂。</p><p><b>　　n→∞<

3、;/b></p><p>　　萊布尼茲判別法是判定交錯級數(shù)收斂的一個重要的判定定理，而級數(shù)的收斂散性與前面的有限項無關(guān)，因此可以去掉前面的有限項，可改進如下：</p><p>　　萊布尼茲判別法：對于交錯級數(shù) ,若（1）存在自然數(shù)N時，當(dāng)n≥N時，有u≥u。</p><p>　?。?）limu ＝零。則交錯級數(shù)

4、 收斂。</p><p><b>　　n→∞</b></p><p>　　顯然當(dāng)N=1時，便與前面的萊布尼茲判別法，這樣便將條件放寬了，使用范圍更廣了，其證明非常簡單，在此從略。</p><p>　?、婧瘮?shù)項級數(shù)的M判別法</p><p>　　函數(shù)項級數(shù)與含參變量廣義積分具有許多

5、相似的性質(zhì)，尤其是它們收斂性的判別法從某種意義上講可以認(rèn)為它們是相同的，但有一點略微存在差異，這就是它們的——M判別法，下面列出國內(nèi)出版的數(shù)學(xué)分析教材的一般敘述：</p><p>　　函數(shù)項級數(shù)的維爾斯特拉斯判別法：設(shè)函數(shù)項級數(shù) 的一般項在某區(qū)域x上滿足：| u(x)|≤M (x∈X,n=1,2,……),而收斂，則級數(shù)在X上絕對一致收斂。</p><p>　　含參變量廣義積分的維爾斯特拉

6、斯判別法：設(shè)對任意x∈X,y≥a,有|f(x,y)|≤g(x,y),而g(x,y)dy一致收斂，則g(x,y)dy對x∈X絕對一致收斂。</p><p>　　通過比較，可以看出上面的兩個定理極其相似，只是有一點區(qū)別：前面通過判定收斂數(shù)項級數(shù)來判定函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性，后者通過判定已知含參變量的廣義積分的一致收斂性來判定所求的含參變量廣義積分的已知收斂性；顯然后者比前者更具有一般性，因為由M的收斂性可以推出M(

7、x)的一致收斂性，但由 g(x,y)dy一致收斂得不到 g(y)dy收斂。為了使函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法更具有一般性以及將函數(shù)項級數(shù)、含參變量廣義積分一致收斂的判別法統(tǒng)一起來，筆者建議做如下修改：</p><p>　　函數(shù)項級數(shù)的維爾斯特拉斯判別法：設(shè)函數(shù)項級數(shù) 的一般項在某區(qū)域x上滿足：|u(x)|≤M(x) (x∈X,n=1,2,……),而 在x上一致收斂，則

8、 在x上一致收斂。</p><p>　　證明：由于 一致收斂，因此對于任意的ε＞0，存在N，對于任意x∈X,對任意的自然數(shù)p,成立 ＜ε。于是，當(dāng)n＞N時，不等式|</p><p>　?。﹟≤ ≤ ＜ε,對任意自然數(shù)p及任意x∈X成立。</p><p><b>　　證畢</b></p>

9、<p>　　另外，由于級數(shù)的收斂性與前有限項無關(guān)，因此我們可以進一步改造如下：</p><p>　　函數(shù)項級數(shù)的維爾斯特拉斯判別法 ：設(shè)函數(shù)項級 的一般項在某區(qū)域X上滿足：存在N，當(dāng)n＞N時，成立|u(x) |≤M(x), (x∈X,n=1,2,……)而 一致收斂，則級數(shù) 在x上一致收斂。</p><p>　　[注] 該判別法也可推廣

10、至復(fù)函數(shù)項級數(shù)。</p><p>　　含參變量廣義積分的維爾特拉斯判別法：設(shè)對任意x∈X,存在β≥α ，當(dāng)y≥β時，有|f(x,y)|≤g(x,y),且 g(x,y)dy一致收斂，則 g(x,y)dy對x∈X一致收斂。</p><p><b>　?、绲伊x希萊判別法</b></p><p>　　先討論數(shù)值級數(shù)收斂的狄義希萊判別法：設(shè)級

11、數(shù)部分和B=是有界的，即|B|≤M(n=1,2,……),又a是單調(diào)序列，lima=0,則收斂。</p><p><b>　　n→∞</b></p><p>　　狄義希萊判別法：設(shè)級數(shù) 的部分和B= 是有界的，即|B|≤M</p><p>　　(n=1,2,……),lima=0,則級數(shù) 收斂，若滿足下列條件之一：⑴a是

12、單調(diào)</p><p><b>　　n→∞</b></p><p>　　序列 ⑵a、b均不變號。</p><p>　　證明：⑴當(dāng)a是單調(diào)序列時，命題成立已知。</p><p>　?、迫鬭、b均不變號，∵b不變號，|B|≤M，∴對于任意自然數(shù)</p><p><b>　　n→∞</b&

13、gt;</p><p><b>　　n, |b|≤M。</b></p><p>　　又∵lima=0 ,∴對于任意ε＞0，任取自然數(shù)p,存在N，</p><p><b>　　n→∞</b></p><p>　　當(dāng)n＞N時，對上述ε＞0與自然數(shù)p，當(dāng)n＞N時，</p><p>

14、　　||≤ =M＜Mp×=ε</p><p>　　∴級數(shù) 收斂。</p><p>　　因為數(shù)值級數(shù)與無窮積分非常類似，所以也可以得到無窮積分的狄義希萊判別法（證明略）：對于無窮積分g(x)dx,有A＞c,| g(x)dx |≤M,</p><p>　　limf(x)=0,則無窮積分 g(x)dx收斂，若滿足下列條件之一：</

15、p><p><b>　　x→∞</b></p><p><b>　?、?f(x)單調(diào)；</b></p><p>　?、苀(x),g(x)均不變號。</p><p>　　再討論函數(shù)項級數(shù)一致收斂的 狄義希萊判別法：設(shè)在X上一致有界，其界為M，對每一x∈M是單調(diào)序列并一致趨向于零，則 在X上一致收斂。<

16、;/p><p>　　與數(shù)項級數(shù)的狄義希萊判別法相比，函數(shù)項級數(shù)只是加了一致性，即對任意x∈Z這一條件，因此也可作如下修改（證明類似，在此從略）。</p><p>　　狄義希萊判別法：設(shè)在Z上一致有界，其界為M，a(x)對每一x∈X一致趨向于零，則 在X上一致收斂，若滿足下列條件之一：</p><p>　?、艑γ恳粁∈X,a(x)是單調(diào)序列</

17、p><p>　?、茖γ恳粁∈X，a(x)、b(x)均不變號。</p><p>　　類似于函數(shù)項既是也可以寫出含參變量廣義積分一致收斂的狄義希萊判別法：設(shè)⑴存在正常數(shù)M，對任意x∈X,A≥a,有| f(x,y)dy|≤M</p><p>　?、?y→∞時，g(x,y)對x∈X一致趨于零，則積分g(x,y)dy對x∈X 一致收斂</p><p>　　

18、若滿足下列條件之一：</p><p>　?、艑θ我夤潭ǖ膞∈X,g(x,y)是y的單調(diào)函數(shù)；</p><p>　?、茖θ我夤潭ǖ膞∈X,f(x,y)dy, g(x,y)dy均不變號。</p><p><b>　?、璋⒇悹柵袆e法</b></p><p>　　先討論數(shù)值級數(shù)的阿貝爾判別法：設(shè)級數(shù)收斂，又a單調(diào)有界，|a

19、|＜L(n=1,2,3,……),則級數(shù)收斂。</p><p>　　阿貝爾判別法是判定數(shù)值級數(shù)收斂的一種重要方法，不過它要求a單調(diào)，然而有時某些級數(shù)中a不單調(diào)，但級數(shù) 絕對一致收斂，我們也可以證明級</p><p>　　數(shù) 收斂，鑒于此可以將阿貝爾判別法作如下修正：</p><p>　　阿貝爾判別法：設(shè)a有界，即|a|＜L（n=1,2,3,……）,