數(shù)學(xué)分析中的幾個(gè)定理的探討

1、<p>　　數(shù)學(xué)分析中的幾個(gè)定理的探討2</p><p>　　摘要：本文對(duì)數(shù)學(xué)分析中的幾個(gè)定理作了進(jìn)一步的探討，有的放寬了條件，有的通過(guò)類比某些定理得到了新的定理。</p><p>　　關(guān)鍵詞：拓廣、萊布尼茲判別法、狄義希萊判別法、阿貝爾判別法</p><p>　　數(shù)學(xué)分析自從牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立以來(lái)，在許多數(shù)學(xué)大師的努力之下日趨完善，建立起了完整的體系，并

2、為其它學(xué)科的發(fā)展奠定了知識(shí)與方法論的基礎(chǔ)。筆者通過(guò)學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)分析中的幾個(gè)定理有待于進(jìn)一步改進(jìn)。</p><p>　?。ㄒ唬┤R布尼茲判別法</p><p>　　萊布尼茲判別法：對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù) ,若（1）對(duì)任意自然數(shù)n≥1,有u≥u;</p><p>　　(2)limu＝零,則交錯(cuò)級(jí)數(shù)u收斂。</p><p><b>　　n→∞<

3、;/b></p><p>　　萊布尼茲判別法是判定交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂的一個(gè)重要的判定定理，而級(jí)數(shù)的收斂散性與前面的有限項(xiàng)無(wú)關(guān)，因此可以去掉前面的有限項(xiàng)，可改進(jìn)如下：</p><p>　　萊布尼茲判別法：對(duì)于交錯(cuò)級(jí)數(shù) ,若（1）存在自然數(shù)N時(shí)，當(dāng)n≥N時(shí)，有u≥u。</p><p>　?。?）limu ＝零。則交錯(cuò)級(jí)數(shù)

4、 收斂。</p><p><b>　　n→∞</b></p><p>　　顯然當(dāng)N=1時(shí)，便與前面的萊布尼茲判別法，這樣便將條件放寬了，使用范圍更廣了，其證明非常簡(jiǎn)單，在此從略。</p><p>　?、婧瘮?shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的M判別法</p><p>　　函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)與含參變量廣義積分具有許多

5、相似的性質(zhì)，尤其是它們收斂性的判別法從某種意義上講可以認(rèn)為它們是相同的，但有一點(diǎn)略微存在差異，這就是它們的——M判別法，下面列出國(guó)內(nèi)出版的數(shù)學(xué)分析教材的一般敘述：</p><p>　　函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的維爾斯特拉斯判別法：設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的一般項(xiàng)在某區(qū)域x上滿足：| u(x)|≤M (x∈X,n=1,2,……),而收斂，則級(jí)數(shù)在X上絕對(duì)一致收斂。</p><p>　　含參變量廣義積分的維爾斯特拉

6、斯判別法：設(shè)對(duì)任意x∈X,y≥a,有|f(x,y)|≤g(x,y),而g(x,y)dy一致收斂，則g(x,y)dy對(duì)x∈X絕對(duì)一致收斂。</p><p>　　通過(guò)比較，可以看出上面的兩個(gè)定理極其相似，只是有一點(diǎn)區(qū)別：前面通過(guò)判定收斂數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)來(lái)判定函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一致收斂性，后者通過(guò)判定已知含參變量的廣義積分的一致收斂性來(lái)判定所求的含參變量廣義積分的已知收斂性；顯然后者比前者更具有一般性，因?yàn)橛蒑的收斂性可以推出M(

7、x)的一致收斂性，但由 g(x,y)dy一致收斂得不到 g(y)dy收斂。為了使函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的判別法更具有一般性以及將函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、含參變量廣義積分一致收斂的判別法統(tǒng)一起來(lái)，筆者建議做如下修改：</p><p>　　函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的維爾斯特拉斯判別法：設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) 的一般項(xiàng)在某區(qū)域x上滿足：|u(x)|≤M(x) (x∈X,n=1,2,……),而 在x上一致收斂，則

8、 在x上一致收斂。</p><p>　　證明：由于 一致收斂，因此對(duì)于任意的ε＞0，存在N，對(duì)于任意x∈X,對(duì)任意的自然數(shù)p,成立 ＜ε。于是，當(dāng)n＞N時(shí)，不等式|</p><p>　?。﹟≤ ≤ ＜ε,對(duì)任意自然數(shù)p及任意x∈X成立。</p><p><b>　　證畢</b></p>

9、<p>　　另外，由于級(jí)數(shù)的收斂性與前有限項(xiàng)無(wú)關(guān)，因此我們可以進(jìn)一步改造如下：</p><p>　　函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的維爾斯特拉斯判別法 ：設(shè)函數(shù)項(xiàng)級(jí) 的一般項(xiàng)在某區(qū)域X上滿足：存在N，當(dāng)n＞N時(shí)，成立|u(x) |≤M(x), (x∈X,n=1,2,……)而 一致收斂，則級(jí)數(shù) 在x上一致收斂。</p><p>　　[注] 該判別法也可推廣

10、至復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)。</p><p>　　含參變量廣義積分的維爾特拉斯判別法：設(shè)對(duì)任意x∈X,存在β≥α ，當(dāng)y≥β時(shí)，有|f(x,y)|≤g(x,y),且 g(x,y)dy一致收斂，則 g(x,y)dy對(duì)x∈X一致收斂。</p><p><b>　?、绲伊x希萊判別法</b></p><p>　　先討論數(shù)值級(jí)數(shù)收斂的狄義希萊判別法：設(shè)級(jí)

11、數(shù)部分和B=是有界的，即|B|≤M(n=1,2,……),又a是單調(diào)序列，lima=0,則收斂。</p><p><b>　　n→∞</b></p><p>　　狄義希萊判別法：設(shè)級(jí)數(shù) 的部分和B= 是有界的，即|B|≤M</p><p>　　(n=1,2,……),lima=0,則級(jí)數(shù) 收斂，若滿足下列條件之一：⑴a是

12、單調(diào)</p><p><b>　　n→∞</b></p><p>　　序列 ⑵a、b均不變號(hào)。</p><p>　　證明：⑴當(dāng)a是單調(diào)序列時(shí)，命題成立已知。</p><p>　?、迫鬭、b均不變號(hào)，∵b不變號(hào)，|B|≤M，∴對(duì)于任意自然數(shù)</p><p><b>　　n→∞</b&

13、gt;</p><p><b>　　n, |b|≤M。</b></p><p>　　又∵lima=0 ,∴對(duì)于任意ε＞0，任取自然數(shù)p,存在N，</p><p><b>　　n→∞</b></p><p>　　當(dāng)n＞N時(shí)，對(duì)上述ε＞0與自然數(shù)p，當(dāng)n＞N時(shí)，</p><p>

14、　　||≤ =M＜Mp×=ε</p><p>　　∴級(jí)數(shù) 收斂。</p><p>　　因?yàn)閿?shù)值級(jí)數(shù)與無(wú)窮積分非常類似，所以也可以得到無(wú)窮積分的狄義希萊判別法（證明略）：對(duì)于無(wú)窮積分g(x)dx,有A＞c,| g(x)dx |≤M,</p><p>　　limf(x)=0,則無(wú)窮積分 g(x)dx收斂，若滿足下列條件之一：</

15、p><p><b>　　x→∞</b></p><p><b>　?、?f(x)單調(diào)；</b></p><p>　?、苀(x),g(x)均不變號(hào)。</p><p>　　再討論函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的 狄義希萊判別法：設(shè)在X上一致有界，其界為M，對(duì)每一x∈M是單調(diào)序列并一致趨向于零，則 在X上一致收斂。<

16、;/p><p>　　與數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的狄義希萊判別法相比，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)只是加了一致性，即對(duì)任意x∈Z這一條件，因此也可作如下修改（證明類似，在此從略）。</p><p>　　狄義希萊判別法：設(shè)在Z上一致有界，其界為M，a(x)對(duì)每一x∈X一致趨向于零，則 在X上一致收斂，若滿足下列條件之一：</p><p>　　⑴對(duì)每一x∈X,a(x)是單調(diào)序列</

17、p><p>　?、茖?duì)每一x∈X，a(x)、b(x)均不變號(hào)。</p><p>　　類似于函數(shù)項(xiàng)既是也可以寫出含參變量廣義積分一致收斂的狄義希萊判別法：設(shè)⑴存在正常數(shù)M，對(duì)任意x∈X,A≥a,有| f(x,y)dy|≤M</p><p>　?、?y→∞時(shí)，g(x,y)對(duì)x∈X一致趨于零，則積分g(x,y)dy對(duì)x∈X 一致收斂</p><p>　　

18、若滿足下列條件之一：</p><p>　　⑴對(duì)任意固定的x∈X,g(x,y)是y的單調(diào)函數(shù)；</p><p>　?、茖?duì)任意固定的x∈X,f(x,y)dy, g(x,y)dy均不變號(hào)。</p><p><b>　?、璋⒇悹柵袆e法</b></p><p>　　先討論數(shù)值級(jí)數(shù)的阿貝爾判別法：設(shè)級(jí)數(shù)收斂，又a單調(diào)有界，|a

19、|＜L(n=1,2,3,……),則級(jí)數(shù)收斂。</p><p>　　阿貝爾判別法是判定數(shù)值級(jí)數(shù)收斂的一種重要方法，不過(guò)它要求a單調(diào)，然而有時(shí)某些級(jí)數(shù)中a不單調(diào)，但級(jí)數(shù) 絕對(duì)一致收斂，我們也可以證明級(jí)</p><p>　　數(shù) 收斂，鑒于此可以將阿貝爾判別法作如下修正：</p><p>　　阿貝爾判別法：設(shè)a有界，即|a|＜L（n=1,2,3,……）,