討論函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)案例

1、討論函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)案例討論函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)案例歐陽(yáng)志文歐陽(yáng)志文摘要摘要:在各地高考試題中涉及“分類(lèi)討論”的問(wèn)題必不能少，因?yàn)檫@類(lèi)試題不僅考查我們的數(shù)學(xué)基本知識(shí)與方法，而且考查了我們思維的深刻性。本文主要以高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)“函數(shù)單調(diào)性的討論”為例，展示分類(lèi)討論思想在解題中的順其自然。需要分類(lèi)討論的題型通常是因?yàn)轭}設(shè)少了條件致使解答無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行，所以只能增加條件滿足解題的內(nèi)在需求，使解題可以繼續(xù)。關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞:分類(lèi)討論參數(shù)函數(shù)單調(diào)性二次不等

2、式每個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論都有其成立的條件，每一種數(shù)學(xué)方法的使用也往往有其適用范圍，在我們所遇到的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，有些問(wèn)題的結(jié)論不是唯一確定的，有些問(wèn)題的結(jié)論在解題中不能以統(tǒng)一的形式進(jìn)行研究，還有些問(wèn)題的已知量是用字母表示數(shù)的形式給出的，這樣字母的取值不同也會(huì)影響問(wèn)題的解決，由上述幾類(lèi)問(wèn)題可知，就其解題方法及轉(zhuǎn)化手段而言都是一致的，即把所有研究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類(lèi)，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決，這種按不同情況分類(lèi)，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)

3、思想，稱之為分類(lèi)討論思想。當(dāng)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的條件，結(jié)論不明確或題意中含參數(shù)或圖形不確定時(shí)，就應(yīng)分類(lèi)討論。當(dāng)我們所研究的各種對(duì)象之間過(guò)于復(fù)雜或涉及范圍比較廣泛時(shí)，我們大多采取分類(lèi)討論的方法進(jìn)行解決，即對(duì)問(wèn)題中的各種情況進(jìn)行分類(lèi)，或?qū)λ婕暗姆秶M(jìn)行分割，然后分別研究和求解。分類(lèi)討論解題的實(shí)質(zhì)就是解題時(shí)因?yàn)槿鄙倌承l件而無(wú)法進(jìn)行下去只能以增加題設(shè)條件來(lái)將整體問(wèn)題化為一個(gè)個(gè)小問(wèn)題來(lái)解決所以分類(lèi)討論需要全面考慮問(wèn)題的能力和周密?chē)?yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)教養(yǎng)。在各地

4、高考試題中涉及“分類(lèi)討論”的問(wèn)題必不能少，因?yàn)檫@類(lèi)試題不僅考查我們的數(shù)學(xué)基本知識(shí)與方法，而且考查了我們思維的深刻性。在解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，因考慮不周全導(dǎo)致失分的較多，究其原因主要是平時(shí)的學(xué)習(xí)中，尤其是在高考復(fù)習(xí)時(shí)，對(duì)“分類(lèi)討論”的數(shù)學(xué)思想滲透不夠。下面就以高考熱點(diǎn)和難點(diǎn)“函數(shù)單調(diào)性的討論”為例，展示分類(lèi)討論思想的順其自然。基礎(chǔ)基礎(chǔ)1：解二次不等式。2230xx???（必修5中詳細(xì)了這類(lèi)問(wèn)題的解題步驟）第一步：解方程，得到兩解2230xx??

5、?1231xx???第二步：畫(huà)函數(shù)的草圖。223yxx???第三步：由函數(shù)圖像寫(xiě)出不等式解集|13xxx???或可得增區(qū)間；解不等式可得減區(qū)間；(x0)2(1)0xaxa????(x0)接下來(lái)的解答就可以建立在基礎(chǔ)2的引申1上，在兼顧定義域的基礎(chǔ)上就可以得到如下答案：（1）當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為1a???01a??和（）a（1，）（2）當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為01a????01a??和（）a（，1）（3）當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為，減區(qū)間為0a?

6、1??（）0（，1）（4）當(dāng)時(shí)，增區(qū)間為=1a0??（，）基礎(chǔ)基礎(chǔ)3：解不等式。2(1)10axax????解題步驟：第一步：因?yàn)椴荒艽_定不等式是一次不等式還是二次不等式，所以首先需要確定形式，分兩類(lèi)：（1）；（2）0a?0a?第二步：若，解二次方程，得到兩解0a?2(1)10axax????1211xxa??第三步：畫(huà)函數(shù)的草圖。在這個(gè)步驟中首先遇到了一個(gè)基礎(chǔ)2()(1)1fxaxax????2沒(méi)有遇到的麻煩，圖像開(kāi)口方向不確定，所以

7、我們接下來(lái)需要自行增加條件（2.1）和（2.2）使開(kāi)口方向落實(shí)下來(lái)，接著在（2.1）的情景下又遇到與基礎(chǔ)0a?0a?0a?2相同的問(wèn)題：到底誰(shuí)大誰(shuí)小。在標(biāo)注圖形的零點(diǎn)時(shí)不能確定誰(shuí)左誰(shuí)右，如1211xxa??果要繼續(xù)解題，很自然的需要我們自己增加三種不同的條件：2.1.1；2.1.2；2.1.31a?01a??1a?在我們添加了這些不同的條件后，的圖形也就分別確定下來(lái)。2(1)1yaxax????第四步：根據(jù)在（1）（2.2）(2.1.1

8、)(2.1.2)(2.1.3)五種不同2(1)1yaxax????情況下的圖形，可以寫(xiě)出不等式的解集：2(1)10axax????（1）當(dāng)時(shí)，不等式解集為0a?|1xx?（2.2）當(dāng)時(shí)，不等式解集為0a?1|1xxa??（2.1.1）當(dāng)時(shí)，不等式解集為1a?1|1xxxa??或（2.1.2）當(dāng)時(shí)，不等式解集為01a??1|1xxxa??或（2.1.3）當(dāng)時(shí)，不等式解集為=1aR基礎(chǔ)基礎(chǔ)3的引申的引申1：討論函數(shù)的單調(diào)性。3211()(1