第4章 偏微分方程的數(shù)值方法

1、第4章偏微分方程的數(shù)偏微分方程的數(shù)值方法方法在自然科學(xué)和工程技在自然科學(xué)和工程技術(shù)中的中的許多物理多物理問題問題，都可以用微分方程來(lái)描述。，都可以用微分方程來(lái)描述。雖然大學(xué)的高等數(shù)學(xué)大學(xué)的高等數(shù)學(xué)課程里研究了一些特殊常微分方程的解析求解，但是在程里研究了一些特殊常微分方程的解析求解，但是在實(shí)際應(yīng)實(shí)際應(yīng)用中大量的微分方程是無(wú)法確定其解析解的。本章和下一章將介用中大量的微分方程是無(wú)法確定其解析解的。本章和下一章將介紹常微分方程常微分方程的數(shù)

2、的數(shù)值方法、偏微分方程數(shù)方法、偏微分方程數(shù)值求解的思想。求解的思想。3.1微分方程數(shù)微分方程數(shù)值方法的有關(guān)概念方法的有關(guān)概念首先介首先介紹微分方程的定微分方程的定義與分與分類：含有自含有自變量、未知函數(shù)及其量、未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)（微分或偏數(shù)（微分或偏導(dǎo)數(shù)）的方程稱數(shù)）的方程稱為微分方程；微分方程；如果未知函數(shù)只含有一個(gè)如果未知函數(shù)只含有一個(gè)變量，量，則稱為常微分方程；如果未知函數(shù)含有若干常微分方程；如果未知函數(shù)含有若干個(gè)變量，量，則稱為偏

3、微分方程。微分方程中未知函數(shù)的偏微分方程。微分方程中未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或偏數(shù)或偏導(dǎo)數(shù)的最高數(shù)的最高階次稱次稱為微分方程的微分方程的階。例如：微分方程例如：微分方程（3.1.1）()dyabytdt??是一是一階常微分方程，而常微分方程，而（3.1.2）22222()()uxtuxtatx?????是二是二階偏微分方程。偏微分方程。所有使微分方程成所有使微分方程成為等式的函數(shù)，都是微分方程的解；在等式的函數(shù)，都是微分方程的解；在n階微分方程中

4、，微分方程中，將微分方將微分方程的具有程的具有n個(gè)任意常數(shù)的解稱個(gè)任意常數(shù)的解稱為該為該微分方程的通解。微分方程的通解。為確定微分確定微分方程通解中的任意常數(shù)而列出的條件稱方程通解中的任意常數(shù)而列出的條件稱為定解條件；定解條件可以分定解條件；定解條件可以分為初始條件初始條件和邊界條件兩界條件兩類。由微分方程和定解。由微分方程和定解條件一起構(gòu)成的條件一起構(gòu)成的問題問題稱為微分方程定微分方程定解問題問題。微分方程離散后得到的微分方程離散后得

5、到的遞推關(guān)系式，需要推關(guān)系式，需要給定若干個(gè)初定若干個(gè)初值才能啟才能啟動(dòng)。如果。如果遞推式是一個(gè)推式是一個(gè)線性方程性方程組，一般它所含的方程個(gè)數(shù)要少于未知量的個(gè)數(shù)，必，一般它所含的方程個(gè)數(shù)要少于未知量的個(gè)數(shù)，必須補(bǔ)須補(bǔ)充若干個(gè)方程充若干個(gè)方程后才可求后才可求解。解。這些方程可以通些方程可以通過將微分方程的初始條件或?qū)⑽⒎址匠痰某跏紬l件或邊界條件離散后界條件離散后獲得，得，這一過程稱為初始或初始或邊界條件的離散。界條件的離散。經(jīng)過經(jīng)過上面

6、的三個(gè)離散化上面的三個(gè)離散化過程，原來(lái)的微分方程定解程，原來(lái)的微分方程定解問題問題就變?yōu)樽優(yōu)殡x散系離散系統(tǒng)的求解求解問題問題。在。在求解之前需要求解之前需要討論討論離散系離散系統(tǒng)解的存在唯一性解的存在唯一性問題問題；離散系；離散系統(tǒng)與微分方程與微分方程問題問題之間的差異，即的差異，即解的收解的收斂性問題問題；還需要研究解的收需要研究解的收斂速度和速度和計(jì)算的算的穩(wěn)定性等定性等問題問題。最后最后進(jìn)行實(shí)際計(jì)實(shí)際計(jì)算，通算，通過求解離散系求解

7、離散系統(tǒng)問題統(tǒng)問題，得到微分方程定解，得到微分方程定解問題問題的數(shù)的數(shù)值解。解。應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題實(shí)際問題可以分可以分為兩個(gè)兩個(gè)階段，一是段，一是對(duì)實(shí)際問題進(jìn)對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析，行分析，假設(shè)，并建，并建立數(shù)學(xué)模型；二是根據(jù)數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)，立數(shù)學(xué)模型；二是根據(jù)數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)，選擇選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)適當(dāng)?shù)臄?shù)值方法，確定模型的解。數(shù)方法，確定模型的解。數(shù)值方法的方法的誤差主要有以下四個(gè)來(lái)源。差主要有以下四個(gè)來(lái)源。①模型模型誤差將