數學史選講 (1)

1、《數學史選講》解讀,第一講 早期的算術與幾何 第二講 古希臘數學第三講 中國古代數學瑰寶第四講 平面解析幾何的產生 第五講 微積分的誕生第六講 近代數學兩巨星第七講 千古謎題第八講 對無窮的深入思考,,數學史選講補充材料浙江師范大學教師教育學院 徐元根13867958716xuyuangen@zjnu.cn,第一講 早期的算術與幾何,埃及和巴比倫的數學中國的早期數學,紙草書,紙草書是研究古埃及數學的主要

2、來源 萊因德紙草書：最初發(fā)現于埃及底比斯古都廢墟，1858年為蘇格蘭收藏家萊因德購得，現藏于倫敦大英博物館．又稱阿姆士紙草書，阿姆士在公元前1650年左右用僧侶文抄錄了這部紙草書，據他加的前言知，所抄錄的是一部已經流傳了兩個世紀的著作．含84個數學問題．莫斯科紙草書：又稱戈列尼雪夫紙草書，1893年由俄國貴族戈列尼雪夫在埃及購得，現存于莫斯科博物館．產生于公元前1850年前后，含有25個數學問題．,,古埃及的計算技術具有迭加的特征，

3、乘除法運算，往往用連續(xù)加倍來完成．由于方法較為繁復，古埃及算術難以發(fā)展到更高的水平．相對于算術，古埃及的幾何具有更高的成就．古代埃及人留下了許多氣勢宏偉的建筑，可以說明古埃及幾何學的發(fā)達．,埃及幾何,埃及幾何產生于土地測量，是一種實用幾何．對面積、體積的計算，他們給出了一些計算的法則，有準確的也有粗略的．在莫斯科紙草書中有一個正四棱臺體積的計算所用的公式，用現在的符號表示是 這是埃及幾何中最出色的成就之一．,巴比倫的數學

4、,六十進制位值制記數法。長于計算，編制了許多數表：乘法表、倒數表、平方表、立方表、平方根表、立方根表、甚至有特殊的指數（對數）表。能解二次方程。,中國的早期數學,中國古代數學的起源可以上溯到公元前數千年．《史記》中記載，夏禹治水，“左規(guī)矩，右準繩”．這可以看作是中國古代幾何學的起源．在殷商甲骨文中已經使用了完整的十進制記數法，春秋戰(zhàn)國時代又出現了十進位值制籌算記數法．而戰(zhàn)國時代的《考工記》、《墨經》、《莊子》等著作中則探討了許多抽象

5、的數學概念，并記載了大量實用幾何知識．,《周易》中的數學,《周易》是中國古代專講卜筮的書，也可以看作是古人探索自然的樸素的哲學著作，約成書于殷商時期?！吨芤住酚伞兑捉洝泛汀兑讉鳌穬刹糠纸M成，先有《易經》，后有《易傳》，兩部分成書的時間相距七八百年?！兑捉洝钒ü糯疾返呢赞o及爻辭，《易傳》由《系辭》、《說卦》等十篇文章組成，是對《易經》中卦辭及爻辭的解釋。,,卜筮是原始人類共有的社會現象。中國古代常用龜甲和獸骨作為占卜工具，以決定事情的

6、吉兇。筮，是按一定的規(guī)則得到特定的數字，并用它來預測事情的吉兇。《周禮》稱：“凡國之大事，先筮后卜?！薄妒酚?#183;龜策列傳》則說：“王者決定諸疑，參與卜筮，斷以蓍龜，不易之道也?！?筮的工具起初是竹棍（以后出現的籌算數碼則形成了中國古代用竹棍表示數字的傳統），后來改用蓍草----一種有鋸齒的草本植物。,,在中國古代眾多的儒、道典籍中，《周易》是包含數學內容最豐富的著作，因而對中國古代數學家產生了極大的影響。比如，劉徽在《九章算術注

7、》的序中就寫道：“昔伏羲氏始作八卦，以通神明之德，以類萬物之情。作九九之數，以合六爻之變?！睂嶋H上就把數學方法與《周易》中的六爻、八卦等內容聯系起來了。,八卦,— — — — 乾 — 巽 — 離 - - 艮 - - — - - — - - -

8、- - - - - - - 坤 - - 震 - - 坎— 兌— - - — - - —,,計算機的發(fā)明與《周易》中的八卦有著十分密切的聯系。眾所周知，現代電子計算機最基本的數學基礎是二進制數。二進制符號是德國數學家萊布尼茨（Leibniz，1646—1716）發(fā)

9、明的。萊布尼茨于1679年撰寫了《二進制算術》，闡述了二進制理論。萊布尼茨自稱，他之所以會想到二進制數，就是因為受到了八卦符號的啟發(fā)。他還說：“可以讓我加入中國籍了吧”。,太極圖,《周易》中的另一重要概念是太極。《周易》中寫道：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦?！碧珮O即太一，這段話講的是八卦產生的原理，也試圖解釋天地造分，化成萬物的原理。后經宋代陳摶的發(fā)展，便有了太極圖。,,《周易》中另一個與數學相關的內容是“河圖

10、洛書”。《周易》中有“河出圖，洛出書，圣人則之”的記載。以后，孔安國等人又把河圖洛書與八卦及九數聯系起來?？装矅J為：“河圖者，伏羲氏王天下，龍馬出河，遂則其文以畫八卦。洛書者，禹治水時，神龜負文，而列于背，有數至九，禹遂因而第之，以成九類?！币簿褪钦f，在古人看來，八卦與九數實出于河圖洛書。,宋代陳摶所作的“洛書圖”（九宮圖）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,數的概念的

11、產生,數和形是數學最早的研究對象，考古研究發(fā)現，人類在5萬年前就已經有了一些計數的方法?，F代人的研究認為，人類數的概念的發(fā)展過程是，先有原始的數感，再形成一一對應的計數方法，最后通過集合的等價關系建立抽象的數的概念。,記數符號的產生,《易·系辭》中載：“上古結繩而治，后世圣人易之以書契”。結繩記數，是指在繩子上打一個結表示一個數或一件事，繩結的多少，根據事物多少而定。而所謂的“書契”，就是刻劃，“書”是劃痕，“契”是刻痕。古人

12、常常在各種動物骨頭、金屬、泥版上刻痕記數。如中國殷商時期常將文字刻劃在牛的肩胛骨或龜甲上，故稱甲骨文。,,從刻劃記數，人類很自然地過渡到刻出數的符號，并進而創(chuàng)造出第一批數字。古代中國、古埃及、巴比倫等民族，均在公元前5000年前后就有了記數符號。由于古人用手指作為計數的參照物十分方便，因而許多民族都不約而同地使用了十進制計數法。當然也存在著少量的其它進位制，如5進制、12進制、16進制、20進制、60進制等。,,公元前500年左右的戰(zhàn)國

13、時代，中國人創(chuàng)造了具有十進位值制特征的籌算數碼。 籌算數字的擺放方法規(guī)定，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，萬位又用縱式，如此縱橫相間，以免發(fā)生誤會。并規(guī)定用空位表示零。 到了13世紀，中國數學家又明確地用“ ”表示零，從而使中國記數法完全位值化。,,拉普拉斯對十進位值制的評價,這是一個深遠而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以致我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的

14、算術在一切有用的發(fā)明中列在首位；而當我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼奧斯的天才思想的關注時，我們更感到這成就的偉大。,第二講 古希臘數學,希臘數學一般指從公元前600年至公元600年間，活動于希臘半島、愛琴海區(qū)域、馬其頓與色雷斯地區(qū)、意大利半島、小亞細亞以及非洲北部的數學家們所創(chuàng)造的數學。希臘早期文明中心在雅典；公元前338年希臘諸幫被馬其頓控制，文明中心轉到亞歷山大城（埃及）；公元前30年左右，羅馬帝國完全控

15、制希臘各國，文明中心轉到羅馬（意大利）。公元640年前后，阿拉伯民族征服東羅馬，希臘文明落下帷幕。,古希臘數學與哲學的交織,古希臘早期的自然科學往往是與哲學交織在一起的，古希臘的自然哲學乃是古代自然科學的一種特殊形態(tài)，雖然有許多錯誤的東西，但也有不少合理的知識和包含著合理成分的猜測．恩格斯說：“在希臘哲學的多種多樣的形式中，差不多可以找到以后各種觀點的胚胎、萌芽．因此，如果理論自然科學想要追溯自己今天的一般原理發(fā)生和發(fā)展的歷史，它就不得

16、不回到希臘人那里去．”,,古希臘數學表現出很強的理性精神，追求哲學意義上的真理．在公元前3、4百年的時候，他們的數學思想中就已經涉及到了無限性、連續(xù)性等深刻的概念．經過古埃及和巴比倫人長期積累數學知識的萌芽時期以后，古希臘人把數學推進到了一個嶄新的時代．古希臘數學不僅有十分輝煌的研究成果，而且提出了數學的基本觀點，建立數學理論的方法，給以后的數學發(fā)展提供了堅實的基礎．,泰勒斯確定了幾條最早的幾何定理,等腰三角形兩底角相等 如果兩個三

17、角形有一邊及這邊上的兩個角對應相等，那么這兩個三角形全等 直角彼此相等 兩條直線相交時，對頂角相等 圓的直徑平分圓周,萬物皆數,畢達哥拉斯學派認為世界萬物都是數，最重要的數是1、2、3、4，而10則是理想的數；相應地，自然界由點（一元）、線（二元）、面（三元）和立體（四元）組成。他們認為自然界中的一切都服從于一定的比例數，天體的運動受數學關系的支配，形成天體的和諧。,理論算術（數論的雛形）,完全數、過剩數（盈數）、不足數（虧數）分

18、別表現為其因數之和等于、大于、小于該數本身（規(guī)定因數包括1但不包括該數自身）。他們發(fā)現的前幾個完全數是6=1+2+3，28=1+2+4+7+14，496。而220和284則是一對親和數，因為前者的因數和等于284，后者的因數和等于220。,,后來，在數學中尋找完全數就成為一項任務來研究.在前八千多正整數中只有4個完全數,6、28、496、8128,第五個完全數在1538年才找到:33550336,50年后發(fā)現第六個完全數:858986

19、9056.2005年發(fā)現第42個梅審素數，從而有了第42個完全數。,幾何成就,使幾何學從經驗上升到理論的關鍵性貢獻應歸功于畢達哥拉斯學派。他們基本上建立了所有的直線形理論，包括三角形全等定理、平行線理論、三角形的內角和定理、相似理論等。,正多邊形和正多面體,畢達哥拉斯學派掌握了正多邊形和正多面體的一些性質。他們發(fā)現，同名正多邊形覆蓋平面的情況只有三種：正三角形、正方形、正六邊形，而且這些正多邊形個數之比為6：4：3，邊數之比則為3：4：

20、6。 畢達哥拉斯學派的另一項幾何成就是正多面體作圖，他們稱正多面體為“宇宙形”。三維空間中僅有五種正多面體：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。,正五邊形與五角星,在五種正多面體中，除正十二面體外，每個正多面體的界面都是三角形或正方形，而正十二面體的界面則是正五邊形。正五邊形作圖與著名的“黃金分割”有關。五條對角線中每一條均以特殊的方式被對角線的交點分割。據說畢達哥拉斯學派就是以五角星作為自己學派的標志的。,勾股數

21、,畢達哥拉斯數：一般形式之一：,無理數的發(fā)現,畢達哥拉斯學派的信條是“萬物皆數”，這里的數實際上是指正的有理數。傳說，畢達哥拉斯學派成員希帕蘇斯（Hippasus，公元前470年左右）發(fā)現了“不可公度比”的現象，并在一次航海時公布了他的想法，結果被恐慌的畢達哥拉斯學派的其他成員拋進了大海。項武義教授的一項研究認為，希帕蘇斯首先發(fā)現的是正五邊形邊長與對角線長不可公度。,第一次數學危機,不可公度比的發(fā)現使畢達哥拉斯學派對許多定理的證

22、明都不能成立。 例：如果兩個三角形的高相同，則它們的面積之比等于兩底邊之比。,,,,A,B,C,D,E,新比例論,100多年后，歐多克斯（Eudoxus,408-355）提出了“新比例論”，才用回避的方法暫時消除了“第一次危機”。新比例定義：設A、B、C、D是任意四個量，其中A和B同類（即均為線段、角或面積），C和D同類，若對任意兩個（正）整數m和n，mA與nB的大小關系，取決于mC與nD的大小，則稱A：B=C：D。,柏拉圖學園,柏

23、拉圖（Plato，公元前427-347年）是當時最著名的希臘哲學家之一，雖然他不是數學家，但熱心于數學科學，在柏拉圖學園的門口掛著牌子：“不懂幾何者免進”。值得注意的是，公元前四世紀的重要數學工作幾乎都是柏拉圖的朋友和學生做的。與柏拉圖學園有聯系的歐多克斯（Eudoxus，公元前408-355年）是這一時期最大的數學家，他在幾何學上的研究成果，后來有些收入了歐幾里得的《幾何原本》。,亞里士多德,亞里士多德（Aristotle，公元前38

24、4-322年）是柏拉圖的學生和同事，相處達20年之久，公元前335年成立了自己的學派，以后曾是馬其頓王亞列山大的老師。他是古典希臘時期最偉大的思想家，他的一些思想在數學史上影響很大。,形式邏輯的建立,亞里士多德不象柏拉圖那樣只崇尚思辨，而是重視觀察、分析和實驗性的活動（如解剖）。亞里士多德是古希臘學者中最博學的人，是古代百科全書式的自然科學家，也是對近代自然科學影響最大的古代學者。他的著作甚多，在自然科學方面主要有《物理學》、《論產生和

25、消滅》、《天論》、《氣象學》、《動物的歷史》、《論動物的結構》等。,形式邏輯的建立,亞里士多德創(chuàng)立了以三段論為中心的形式邏輯系統。他認為科學需要歸納，由特殊的事例過渡到一般命題，更需要用邏輯的推理由前提演繹出它的推論。亞里士多德的邏輯學著作后來被匯編為《工具論》，對阿基米德、歐幾里得等人的研究有重要影響。古典希臘時期的希臘人已經掌握了大量初等幾何性質，加上亞里士多德建立了形式邏輯，這些都為形成一門獨立的初等幾何的理論科學作好了充分的準

26、備。,亞歷山大時期的數學,從公元前330年左右到公元前30年左右，希臘數學的中心從雅典轉移到了埃及的亞歷山大城。亞歷山大帝國一分為三后，托勒密帝國統治希臘埃及，其首都亞歷山大城成為希臘文化的中心。 托勒密一世曾經是亞里士多德的學生，他在執(zhí)政后修建了繆斯藝術宮，這實際上是一個大博物館，收藏的圖書和手稿據說有50—70萬卷。當時的許多著名學者都被請到亞歷山大里亞，用國家經費供養(yǎng)著。,,這一時期思辯猜測已不盛行，觀察、計算及定量分析的方法開

27、始流行。天文學家阿利斯塔克（公元前310—230），通過對日、月、地的體積和相對距離的觀測和計算作出了日心說的猜測。他通過測量角度推算出太陽直徑比地球大六、七倍，并斷定小天體（地球等）應圍繞大天體（太陽）旋轉。盡管他的計算很不精確，但思維方式是重要的。著名天文地理學家、數學家埃拉托色尼（約公元前284—192）根據太陽在兩個地方投影角之差，計算出地球的周長是24662英里（現在算出的通過地球南北極的周長為24819英里），他繪制了世界地

28、圖，并標明了經緯線以及寒帶、熱帶和溫帶。,歐幾里得與《幾何原本》,歐幾里得（約公元前330—260），應托勒密一世之邀到亞歷山大，成為亞歷山大學派的奠基人。歐幾里得系統地整理了以往的幾何學成就，寫出了13卷《原本》，歐幾里得的工作不僅為幾何學的研究和教學提供了藍本，而且對整個自然科學的發(fā)展有深遠的影響。愛因斯坦說：“西方科學的發(fā)展是以兩個偉大的成就為基礎的，那就是：希臘哲學家發(fā)明形式邏輯體系（在歐幾里得幾何學中），以及通過系統的實驗發(fā)現

29、有可能找到因果關系（在文藝復興時期）。”,公理化方法,公理化方法：從一些基本的概念和公理出發(fā)，利用純邏輯推理的方法，把一門學科建立成演繹系統的方法。后來的許多著作都仿照這種格式寫成，如牛頓的《自然哲學的數學原理》等。,《幾何原本》的影響,《幾何原本》對后來數學思想有重要影響。其一：公理化思想；其二：幾何直觀與嚴格邏輯推理的結合使歐幾里得幾何長期被認為是最正宗的數學知識，笛卡兒在發(fā)明了解析幾何后仍堅持對每一個幾何作圖給出綜合證明，牛頓在第

30、一次公開他的微積分發(fā)明時也要對這一算法作出幾何解釋；其三：導致非歐幾何的誕生。,阿基米德的數學成就,阿基米德（Archimedes，公元前287-212）出生于西西里島的敘拉古，曾在亞歷山大跟歐幾里得的學生學習過，離開亞歷山大后仍與那里的師友保持聯系，他的許多成果都是通過與亞歷山大學者的通信而保存下來的。因此，阿基米德通常被看成是亞歷山大學派的成員。阿基米德的著作很多，內容涉及數學、力學及天文學等。,“窮竭法”與“平衡法”,窮竭法是安

31、蒂豐首先使用，并被古希臘數學家普遍用來證明面積和體積的方法。窮竭法可以用來嚴格證明已經猜想出來的命題，但不能用來發(fā)現新的結果。阿基米德發(fā)明了求面積和體積的“平衡法”，求出面積或體積后再用“窮竭法”加以證明。阿基米德“平衡法”與“窮竭法”的結合是嚴格證明與創(chuàng)造技巧相結合的典范。,球的體積,阿基米德用“平衡法”推導了球體積公式。刻在阿基米德墓碑上的幾何圖形代表了他所證明的一條數學定理：以球的直徑為底和高的圓柱，其體積是球體積的3/2，其表

32、面積是球面積的3/2。,,阿基米德的“平衡法”，將需要求積的量分成一些微小單元，再與另一組微小單元進行比較，而后一組的總和比較容易計算。因此，“平衡法”實際上體現了近代積分法的基本思想，是阿基米德數學研究的最大功績。但是，“平衡法”本身必須以極限論為基礎，阿基米德意識到了他的方法在嚴密性上的不足，所以他用平衡法求出一個面積或體積后，必再用窮竭法加以嚴格的證明。,用平衡法求球的體積,球切片體積錐切片體積柱切片體積左力矩=

33、 右力矩=左力矩=4×右力矩,,,,,P,,球錐的切片,,x,N,用平衡法求球的體積,將球、圓錐、圓柱均完全分割成厚度為△x的薄片，并將所有球與圓錐的薄片都掛到P點，圓柱薄片都留在原處。左力矩和=（球體積+錐體積）×2R 右力矩和=柱體積×R（球體積+錐體積）×2R=4×柱體積×R球體積=2×柱體積－錐體積,,與

34、歐幾里得相比，阿基米德可以說是一位應用數學家。在《論浮體》中論述了浮力原理、在《論平面圖形的平衡或其重心》中論述了杠桿原理。曾設計了一組復雜的滑車裝置，使敘拉古國王親手移動了一只巨大的三桅貨船，他說：“給我一個支點，我可以移動地球”。在保衛(wèi)敘拉古的戰(zhàn)斗中發(fā)明了許多軍械如石炮、火鏡等。后被羅馬士兵殺害，死時75歲。傳說曾下令不要殺死阿基米德的羅馬主將馬塞呂斯事后特意為阿基米德建墓。,阿波羅尼奧斯與《圓錐曲線論》,阿波羅尼奧斯（Apollo

35、nius，公元前262-190）出生于小亞細亞（今土爾其一帶），年輕時曾在亞歷山大城跟隨歐幾里得的學生學習，后到小亞細亞西岸的帕加蒙王國居住與工作，晚年又回到亞歷山大。阿波羅尼奧斯的主要數學成就是在前人工作的基礎上創(chuàng)立了相當完美的圓錐曲線理論，編著《圓錐曲線論》。,《圓錐曲線論》,全書共8卷，含487個命題。在阿波羅尼奧斯之前，希臘人用三種不同圓錐面導出圓錐曲線，阿波羅尼奧斯則第一次從一個對頂圓錐得到所有的圓錐曲線，并給它們以正式的名

36、稱：虧曲線、齊曲線、盈曲線（李善蘭翻譯時取意譯名橢圓、拋物線、雙曲線）?！秷A錐曲線論》可以說是希臘演繹幾何的最高成就。幾何學的新發(fā)展要到17世紀笛卡兒等人的解析方法出現后才得以來臨。,,阿波羅尼奧斯用統一的方式引出三種圓錐曲線后，便展開了對它們性質的廣泛討論，內容涉及圓錐曲線的直徑、公軛直徑、切線、中心、雙曲線的漸進線、橢圓與雙曲線的焦點以及處在不同位置上的圓錐曲線的交點數等。《圓錐曲線論》中包含了許多即使按今天的眼光看也是很深奧的問

37、題。第5卷中關于定點到圓錐曲線的最長和最短線段的探討，實質上提出了圓錐曲線的法線包絡即漸屈線的概念，它們是近代微分幾何的課題。第3、4卷中關于圓錐曲線的極點與極線的調和性質的論述，則包含了射影幾何學的萌芽思想。,羅馬時期的數學成就,海倫（Heron，前1世紀—公元1世紀）推導出求三角形面積的海倫公式。托勒密（Ptolemy約100—170）的地球中心學說。托勒密利用大量的觀察資料，進行浩繁的計算，寫出八卷本的《大綜合論》，詳細論述了太

38、陽系和宇宙以地球為中心的學說。在托勒密的地心說中，行星是繞著一種數學上的點（本輪中心）運動的，而這些點又位于均輪上圍繞地球運轉。托勒密的地心說雖然不反映宇宙的實際結構，但是依據上述的數學圖解卻比較完滿地解釋了當時所觀測到的行星運動情況。,,托勒密將圓周分成360度，角的度量采用60進制，還應用托勒密定理（圓內接四邊形中，兩條對角線長的乘積等于兩對對邊長乘積之和）造出了一張正弦表。梅涅勞斯（Menelaus，約公元1世紀）的《球面學》是

39、球面三角學的開山之作。,,該時期希臘數學的一個重要特征是突破了以幾何學為中心的傳統，使算術和代數成為獨立的學科。丟番圖（Diophantus）的《算術》用純分析的途徑處理數論與代數問題（包括不定方程），可以看作是希臘算術與代數的最高成就。,丟番圖的墓志銘,關于丟番圖的生平沒有什么記載，大約公元250年前后活動于亞歷山大城，他活了84歲則可以從他的墓志銘中算出：丟番圖的童年占一生的1/6，此后過了一生的1/12開始長胡子，再過一生的1/7

40、后結婚，婚后5年生了個孩子，孩子活到父親一半的年齡，孩子死后4年父親也去世了。,《數學匯編》,該時期的最后一位重要數學家是帕波斯（Pappus，約公元300-350），著作《數學匯編》是一部總結前人成果的典型著作，在數學史上有特殊的意義，有許多古代希臘數學的寶貴資料就是因為有《數學匯編》的記載才得以保存下來。,《周髀算經》是我國最早的天文著作，系統地記載了周秦以來適應天文需要而逐步積累的科技成果。該書的主要內容是周代傳下來的有關測天量地

41、的理論和方法?！吨荀滤憬洝芬彩侵袊罟诺乃銜?，成書確切年代沒有定論，一般認為在公元前2、3世紀。李約瑟認為：“最妥善的辦法是把《周髀算經》看作具有周代的骨架加上漢代的皮肉?！?第三講 中國古代數學瑰寶,《周髀算經》中的勾股定理,周公問商高關于計算的問題，商高答曰：“數之法出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩，以為勾廣三，股修四，徑隅五?！?榮方與陳子的一段對話中，則包含了勾股定理的一般形式。陳子曰：“若求邪至日者，

42、以日下為勾，日高為股。勾、股各自乘，并而開方除之，得邪至日，…”,,《周髀算經》還記載了商高的用矩之法：“平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環(huán)矩以為圓，合矩以為方?！?九章算術,《九章算術》成書于公元前后，是我國最重要、影響最深遠的一本數學著作。后世不少人，如劉徽、祖沖之、李淳風等人均對《九章算術》作過注。特別是劉徽的注，加進了不少自己的精辟見解，闡述了重要的數學理論?！毒耪滤阈g注》是《九章算術》得以流芳百世的重要補充和媒

43、介。,對《九章算術》的評價,日本數學家小蒼金之助把《九章算術》說成是中國的《幾何原本》。吳文俊教授也認為，《九章算術》和劉徽的《九章算術注》，在數學的發(fā)展歷史中具有崇高的地位，足可與希臘的《幾何原本》東西輝映，各具特色。1968年德國沃格爾（Vogel）把《九章算術》譯成德文出版時加的評論認為：“在古代算術中，包含如此豐富的246個算題，現存的埃及和巴比倫算題與之相比，真望塵莫及。以希臘而論，所保存的古算題為我們所熟知者，也屬于希臘化

44、時代?！?,第一章“方田”講述有關平面圖形（土地田畝）面積的計算方法，包括分數算法，38個問題。 [一]今有田廣十五步，從十六步，問為田幾何？答曰：一畝。 [二]又有田廣十二步，從十四步，問為田幾何？答曰：一百六十八步。 方田術曰：廣從步數相乘得積步，以畝法二百四十步除之，即畝數，百畝為一傾。,,[五]今有十八分之十二，問約之得幾何？答曰：三分之二。 [六]又有九十一分之四十九，問約之得幾何？答曰：十三分之七。約分術

45、曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之數，以少減多，更相減損，求其等也，以等數約之。,,第二章“粟米”講述有關糧食交換中的比例問題。書中的“今有術”給出比例式中已知三數求第四數的方法，歐洲遲至15世紀才出現。第三章“衰分”講述配分比例和等差、等比等問題。 第四章“少廣”講述由田畝面積求邊長，由球體積求經長的算法，這是世界上最早的多位數開平方、開立方法則的記載。,開方術,今有積五萬五千二百二十五步，問為方幾何？答曰：二百三十五步。開方

46、術曰：置積為實，借一算步之，超一等。議所得，以一乘所借一算為法，而以除，除已，倍法為定法。其復除，折法而下。復置借算步之如初，以復議一乘之。所得副之，以加定法，以除，以所得副從定法。復除折下如前。,,第五章“商功”講述各種土木工程中的體積計算。我國自遠古以來，對筑城、挖溝、修渠等土建工程積累了豐富的經驗，創(chuàng)造了許多有關土方體積計算和估算的方法，本章即為經驗和方法的理論總結，諸如長方體、臺體、圓柱體、錐體等體積的計算公式都與現在一致，只是

47、圓周率取3，誤差較大。,,第六章“均輸”講述納稅和運輸方面的計算問題，實際上是比較復雜的比例計算問題。第七章“盈不足”講述算術中盈虧問題的解法。盈不足術實際上是一種線性插值法。該方法通過絲綢之路傳入阿拉伯國家，受到特別重視，被稱為“契丹算法”。后來傳入歐洲，13世紀意大利數學家斐波那契的《算經》一書中專門有一章講“契丹算法”。,,第八章“方程”講述線性方程組的解法，還論及正負數概念及運算方法。中算的方程，本意是指多元一次方程組（線性

48、方程組）。劉徽在《九章算術注》中指出：“程，課程也。群物總雜，各列有數，總言其實。令每行為率，二物者再程，三物者三程，皆如物數程之，并列為行，故謂之方程?！?方程術例題,今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗；問上、中、下禾實一秉各幾何？,正負術,李文林在《數學史教程》中指出：“對負數的認識是人類數系擴充的重大步驟。如果說古希臘無理量是演繹思維的發(fā)

49、現，那么中算負數則是算法思維的產物。中算家們心安理得地接受并使用了這一概念，并沒有引起震撼和迷惑?！?國外首先承認負數的是7世紀印度數學家婆羅門及多，歐洲16世紀時韋達等數學家的著作還回避使用負數。,勾股術,第九章“勾股”在《周髀算經》中勾股定理的基礎上，形成了應用問題的“勾股術”，從此它成了中算中重要的傳統內容之一。 今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？答曰：水深一丈二尺；葭長一丈三尺。

50、術曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，減之。余，倍出水除之，即得水深。加出水數，得葭長。,劉徽的數學成就,劉徽的《九章算術注》包含了他本人的許多創(chuàng)造，其中最突出的成就是“割圓術”和求積理論。若設圓面積為 ，內接正n邊形邊長為 ，面積為則,,,O,A,B,C,D,,,,,圓周率,劉徽用“割圓術”從圓內接正六邊形出發(fā)，算到圓內接正192=6×25邊形，得到 “徽率”3.14。 推測祖沖之可能也是沿用了“割圓

51、術”，計算到圓內接正24576=6×212邊形，即可得祖沖之的結果。,劉徽的求積理論,劉徽的面積、體積理論建立在一條簡單而又基本的原理之上，這就是“出入相補原理”。劉徽用這條原理成功地證明了《九章算術》中的許多面積公式。劉徽在推證《九章算術》中的一些體積公式時，靈活地使用了兩種無限小方法：極限方法與不可分量方法。比如，“陽馬” 體積公式便是用極限方法推導出來的，而球體積公式的推導則使用了不可分量方法。 為計算球體積，劉徽提

52、出“牟合方蓋”。,算經十書,出于官方數學教育的需要，唐高宗親自下令對以前的數學著作進行整理。公元656年由李淳風負責編定了算經十書：《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《張邱建算經》、《夏侯陽算經》、《緝古算經》、《海島算經》、《五經算術》和《綴術》，后因《綴術》失傳，而以《數術記遺》替代。,孫子算經,[雞兔同籠]今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足。問雉、兔各幾何？答曰：雉二十三，兔一十二。 術曰：上置頭，下

53、置足，半其足，以頭除足，以足除頭，即得。 [物不知數]今有物，不知其數。三三數之，剩二；五五數之剩三；七七數之，剩二。問物幾何？答曰：二十三。,孫子歌,明代數學家程大位的《算法統宗》中所載的“孫子歌”以詩歌形式介紹了物不知數問題的解法：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓整半月，除百零五便得知?！?這一問題的解法后經秦九韶推廣到一般情形，被稱為“孫子定理”，又稱為“中國剩余定理”。,宋元數學,宋元時期（960-1368）的杰出

54、數學家秦九韶、楊輝、李冶、朱世杰被稱為“宋元四大家”。 宋元時期的數學代表著作有《數書九章》（秦九韶）、《詳解九章算法》（楊輝）、《益古演段》（李冶）和《四元玉鑒》（朱世杰）等,大衍總數術,問題：求滿足 的最小自然數N?！粼O ， 求乘率 使 則總數,中國剩余定理,秦九韶的算法非常嚴密，但他并沒有對這一算法給出證明。到18、19世紀歐拉（1743）和高斯（18

55、01）分別對一次同余式組進行了詳細研究，重新獨立地獲得了與秦九韶“大衍術”相同的定理，并對模數兩兩互素的情形給出了嚴格證明。高斯的成果是最完整的，他還解決了模不是兩兩互素時的情形。1876年德國人馬蒂生首先指出秦九韶的算法與高斯的算法是一致的，因此關于這一算法被稱作“中國剩余定理”。,第四講 平面解析幾何的產生,16世紀之前的數學基本上是常量數學，而近代數學的本質卻是變量數學。16世紀，對運動與變化的研究已經變成自然科學的中心問題，這就

56、需要有一種新的數學工具，從而導致了變量數學也就是近代數學的誕生。變量數學的第一個里程碑是解析幾何的發(fā)明，然后就是微積分的發(fā)明。,笛卡兒的解析幾何,笛卡兒于1637年發(fā)表了著名的哲學著作《更好地指導推理和尋求科學真理的方法論》，該書有三個附錄《幾何學》、《屈光學》、《氣象學》，解析幾何的發(fā)明包含在《幾何學》這篇附錄中。笛卡兒在另一部較早的哲學著作《指導思維的法則》中了一般某種一般方法，其思路是： 任何問題→數學問題→代數問題→方程

57、問題。,笛卡兒創(chuàng)立解析幾何的傳說,一個傳說講，笛卡兒終身保持著在耶酥會學校讀書時養(yǎng)成的“晨思”習慣，在一次晨思時，看見一只蒼蠅正在天花板上爬，他突然想到，如果知道了蒼蠅與相鄰兩個墻壁的距離之間的關系，就能描述它的路線，這使他頭腦中產生了關于解析幾何的最初閃念。另一個傳說是，1619年冬天，笛卡兒隨軍隊駐扎在多瑙河畔的一個村莊，在圣馬丁節(jié)的前夕（11月10日），他作了三個連貫的夢，從而揭示解析幾何的發(fā)現。,笛卡兒,笛卡兒出生于法國的貴族

58、家庭，早年受教于耶酥會學校，曾于1617年和1619年兩次從軍，離開軍營后，旅行于歐洲，他的學術研究是在軍旅和旅行中作出的。笛卡兒對許多學科領域都有重要貢獻。《古今數學思想》對笛卡兒有這樣一個評價：“他是第一個杰出的近代哲學家，是近代生物學的奠基人，是第一流的物理學家，但只偶然是個數學家?！?費馬猜想,費馬大定理： 時，方程 沒有正整數解。費馬小定理：p為素數， ，則,第五講 微積

59、分的誕生,17世紀最偉大的數學成就是微積分的發(fā)明。微積分是描述運動過程的數學，它的產生為力學、天文學以及后來的電磁學等提供了必不可少的工具。微積分產生的前提有兩個：幾何坐標和函數概念。而這兩個方面由于笛卡兒和費馬等人的工作，其基礎已基本具備。,現代科技的推動力,對微積分的發(fā)明起了直接推動作用的是現代科技的發(fā)展。17世紀，開普勒提出行星運行定律，從數學上推證這些定律成了當時自然科學的中心課題，伽利略的自由落體定律、動量定律、拋物體運動性質

60、等也激起了人們用數學方法研究動力學的熱情。凡此一切都歸結為如下一些基本問題：確定非勻速運動物體的速度和加速度需要研究瞬時變化率問題；望遠鏡的設計需要確定透鏡曲面上任一點的法線因而需要研究曲線的切線問題；確定炮彈的最大射程等需要研究最大、最小值；確定行星運行的路程、向徑掃過的面積等又需要計算曲線長、曲邊圖形的面積等。這一切都需要有一種新的計算工具的誕生。,牛頓、萊布尼茨之前的微積分方法,微積分理論的建立聚集了許許多多數學家的努力，如：開

61、普勒的求積術卡瓦列里不可分量原理笛卡兒求切線方程的“圓法”費馬求極大、極小值的方法巴羅的“微分三角形”沃利斯的“無窮算術”,流數術解決的基本問題,牛頓在《流數簡論》中提出并解決了如下基本問題：（1）設有兩個或更多個物體在同一時間內描畫線段x，y，z，…，已知表示這些線段關系的方程，求它們的速度p，q，r，…。 （2）已知表示線段x和運動速度之比p/q的關系方程式，求另一線段y。,微積分基本定理,這兩個問題實際上是對微積分可

62、解決的一些特殊問題的一般化，如求瞬時速度、切線斜率就可歸結為第一問題，而第二問題明顯是第一問題的逆運算。牛頓把他問題（2）看成問題（1）的逆運算，并給出了標準解法?！读鲾岛喺摗酚懻摿巳绾谓柚谀孢\算來求面積，從而建立了“微積分基本定理”。,牛頓的誕生,伽利略去世的那一年，牛頓誕生了。牛頓（1643—1727）的時代，正是科學在英國興起的時代。1662年，英國皇家學會成立，以其為中心出現了一大批熱心科學研究和技術發(fā)明的人，他們的許多新發(fā)

63、現和發(fā)明使英國成了當時歐洲科學技術的中心。,牛頓的學習生涯,牛頓出生在一個中等農戶家庭，是個遺腹子，而且早產，出生后勉強活了下來。中學時學習成績并不突出，但十分喜歡做機械玩具和模型。17歲時，他母親把他從當時就讀的中學召回田莊務農，但牛頓不喜歡干農活。在牛頓的舅舅和格蘭瑟姆中學校長的竭力勸說下，他母親才在九個月后允許牛頓返校學習。當時史托克斯校長對牛頓的母親說：“在繁雜的農活中埋沒這樣一位天才，對世界來說將是多么巨大的損失。”后來牛頓在

64、他舅舅的支持下就讀于劍橋大學三一學院 。,牛頓成為盧卡斯教授,1665-1666年，牛頓為躲避倫敦的瘟疫而回到家鄉(xiāng)愛爾索普。這期間他發(fā)現了二項式定理和流數法，進行了顏色的試驗，并開始思考萬有引力問題。1667年回到劍橋被選為三一學院的研究員，1669年接替巴羅成為數學盧卡斯教授。1670年起，在劍橋大學正式開課，但由于過于艱深，他的講課沒能受到學生的歡迎。,從光學研究到引力的研究,1670年起，牛頓主要研究光學，制造反射望遠鏡，發(fā)現了太

65、陽光的合成性質，并被選為皇家學會會員。正是在光學領域中發(fā)生了他與胡克（R.Hooke，1635—1703）的爭吵，既影響了科學研究的氣氛，也影響了牛頓的健康。經過近十年的中斷，1679年底牛頓的注意力重新集中于引力的研究，并于80年代上半期全力寫成了《自然哲學的數學原理》。,《自然哲學的數學原理》,1687年，哈雷（天文學家，皇家學會會員，發(fā)現了著名的哈雷彗星，約76年出現一次，是太陽系的一個成員）用自己的錢資助，出版了牛頓的著作《自然

66、哲學的數學原理》。這本書被公認為科學史上最偉大的著作（愛因斯坦稱贊為“無比輝煌的演繹成就”）。它成了理論力學、天文學、宇宙學的可以補充但不可超越的理論基石。全書的核心是力學三定律（慣性定律、加速度定律、作用與反作用定律）和萬有引力定律。,對宇宙的認識,波蘭青年哥白尼（1473—1543）于1496年到意大利波倫亞大學求學。在意大利游學了10年后，哥白尼回到了波蘭，一邊行醫(yī)、一邊擔負著教會的一些工作，同時開始構思和撰寫天文學著作《天體運行

67、論》。這本書從開始寫作到修改定稿共用了36年的時間，直到1543年，作者在彌留之際才將其付印出版，哥白尼在見到自己的著作后不久便與世長辭了。但這本書卻引起了一場巨大的學術革命，使人類開始重新認識宇宙、地球以及物體的運動。,哥白尼的天文學體系,哥白尼的天文學體系在數學形式方面比托勒密體系要簡單得多，他第一次正確地描述了水星、金星、地球和月亮、火星、土星、木星軌道實際相對于太陽的順序位置，指出它們的軌道大致在一個平面上，公轉方向也是一致的，

68、月球是地球的衛(wèi)星，和地球一起繞太陽旋轉。,布魯諾,意大利哲學家布魯諾（1548—1600）大力宣傳哥白尼學說，而且比哥白尼更激進，他認為太陽不是宇宙的中心，無垠的宇宙沒有中心。他最先在巴黎大學、牛津大學講學時宣傳空間無限大和地動說，批判亞里士多德和托勒密學說，新教和天主教會均不能接受他的觀點。1592年他回到意大利，被宗教裁判所監(jiān)禁。如果他放棄自己的觀點就可以被釋放，但他卻選擇了堅持自己的觀點。1600年，布魯諾被燒死在羅馬鮮花廣場。,