DG方法求解對流擴散方程的超收斂和一致收斂性.pdf

1、1973年Reed和Hill[72]在求解中子輸運方程（一階雙曲型方程）時提出了間斷有限元方法（the discontinuous Galerkin finite element method，簡記為DG）．自此之后，用間斷有限元求解雙曲問題和橢圓問題的研究幾乎同時得到了快速的發(fā)展．1997年，Bassi和Rebay[11]設計了一種間斷有限元方法求解Navier—Stokes方程，并且獲得了穩(wěn)定的高階收斂格式．受Bassi和Rebay

2、數(shù)值實驗結果的啟發(fā)，Cockburn和Shu[36]提出了局部間斷有限元法（簡記為LDG），同時Baumann和Oden[8]也發(fā)展了一種新的DG方法．現(xiàn)在DG方法已經被廣泛應用于求解雙曲守恒律組、橢圓方程、對流擴散方程、Hamilton—Jacobia方程，以及KdV方程等．關于DG方法的全面綜述及其應用參看[31]． 用間斷有限元方法求解對流擴散問題是近年來的熱門研究課題。受DG方法求解雙曲型方程巨大成功的啟發(fā)，本文用DG方

3、法求解對流擴散方程．證明了一大類間斷有限元方法求解定常對流擴散問題的存在唯一性，并且得到u和q=u'的離散誤差的一個漸進展開表達式．對md—LDG方法，間斷有限元解U和其導數(shù)Q的離散誤差的主項分別與每個單元的p+1階右Radau和左Radau多項式成比例．事實上，單元內部的p+1階右Radau點和左Radau點分別是U和Q的p+2階超收斂點．對其它滿足相容性和守恒性的DG方法，在一定的假設條件下，其間斷有限元解U和其導數(shù)Q的離散誤差的主

4、項都與p階Legendre多項式成比例．因此間斷有限元解的導數(shù)Q在Gauss點有p+1階超收斂．基于這些超收斂性質，我們得到了一個后驗誤差估計。數(shù)值例子證實了理論證明的可靠性． 當擴散系數(shù)ε趨向于零時，一般的數(shù)值方法在均勻網格下求解奇異攝動對流擴散問題，不能得到一致收斂的格式．本文在兩種局部加密網格（即Shishkin網格和改進的等級網格）下，用LDG方法求解一維和二維奇異攝動對流擴散問題．數(shù)值結果表明，對任意小的ε，即使在均勻

5、網格下，對一維和二維情形，LDG方法都不會產生任何非物理震蕩。在Shishkin網格和改進的等級網格下，數(shù)值通量有2p+1階一致超收斂。改進的等級網格不但保持了Shishkin網格原有的優(yōu)點，而且更有效更穩(wěn)定。值得指出的是，一致收斂性的理論證明非常困難，有待進一步研究。 最后本文設計了一種新的DG方法求解對流擴散方程，隨后對解的存在唯一性給出了證明。在節(jié)點處數(shù)值流通量有2p+1階超收斂，在改進的等級網格下，DG解還具有一致的收斂