中學(xué)數(shù)學(xué)史杭州演講

1、數(shù)學(xué)史與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),余志成江西科技師大數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院 2013-3-4,數(shù)學(xué)史與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),一座寶藏 一條進(jìn)路 一縷書香 一種視角 一個(gè)領(lǐng)域,數(shù)學(xué)史與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),全日制義務(wù)教育《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》： 在教學(xué)活動(dòng)中，教師……要?jiǎng)?chuàng)造性地使用教材，積極開(kāi)發(fā)、利用各種教學(xué)資源，為學(xué)生提供豐富多彩的學(xué)習(xí)素材。,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,案例 1

2、相似三角形的應(yīng)用,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,隧道全長(zhǎng) 1036米，寬1.8米，高1.8米。設(shè)計(jì)者：歐帕里諾斯,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,薩莫斯島上的穿山隧道(前530年),案例 1 相似三角形的應(yīng)用,泰勒斯是如何測(cè)量金字塔高度的？,Thales (about 624 BC - about 547 BC),案例 1 相似三角形的應(yīng)用,泰勒斯是如何測(cè)量輪船離海岸距離的？,案例 1

3、相似三角形的應(yīng)用,《周髀算經(jīng)》卷上： 取竹空徑一寸，長(zhǎng)八尺，捕影而視之，空正掩日，而日應(yīng)空之孔。由此觀之，率八十寸而得徑一寸。故以勾為首，以髀為股。從髀之日下六萬(wàn)里而髀無(wú)影，從此以上至日則八萬(wàn)里。若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開(kāi)方除之，得邪至日。從髀所旁至日所十萬(wàn)里。以率率之，八十里得徑一里。十萬(wàn)里得徑千二百五十里。故曰日晷徑千二百五十里。,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,劉徽《九章算術(shù)》序：

4、 以徑寸之筒南望日，日滿筒空，則定筒之長(zhǎng)短以為股率，以筒徑為勾率，日去人之?dāng)?shù)為大股，大股之勾即日徑也。,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,《周髀算經(jīng)》測(cè)日徑法,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,《九章算術(shù)》勾股章：今有句五步、股十二步，問(wèn)：句中容方幾何？,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,《九章算術(shù)》勾股章（17）：今有邑方二百步，各開(kāi)中門。出東門一十五步有木。問(wèn)：出南門幾何步而見(jiàn)木？,案例 1 相似三角形的

5、應(yīng)用,《九章算術(shù)》勾股章（18）：今有邑，東西七里，南北九里，各開(kāi)中門。出東門一十五里有木。問(wèn)：出南門幾何步而見(jiàn)木？,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,《九章算術(shù)》勾股章（19）：今有邑方不知大小，各開(kāi)中門。出北門三十步有木。出西門七百五十步見(jiàn)木。問(wèn)：邑方幾何？,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,《九章算術(shù)》勾股章（22）：今有木去人不知遠(yuǎn)近。立四表，相去各一丈。另左兩表與所望參相直。從后右表望之，入前右表三寸。問(wèn)：木去人幾何

6、？,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,《九章算術(shù)》勾股章（23）：今有山居木西，不知其高。山去木五十三里，木高九丈五尺。人立木東三里，望木末適與山峰斜平。人目高七尺，問(wèn)：山高幾何？,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,《九章算術(shù)》勾股章（24）：今有井徑五尺，不知其深。立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸。問(wèn)：井深幾何？,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,巴比倫泥版文獻(xiàn)（巴格達(dá)博物館藏）：已知直角三角形ABC中，AB =75，BC

7、 = 60，CA = 45。S(ΔACD)= 8, 6；S(CDE) = 5, 11; 2, 24；S(ΔDEF) = 3, 19; 3, 56, 9, 36； S(ΔEFB)= 5, 53; 53, 39, 50, 24。求AD、CD、BD、CE、DE、EF、DF、BE、BF。答案：AD = 27；CD =36；BD = 48；CE =21; 36。,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,案例 1 相似三角形的應(yīng)用,16世紀(jì)的測(cè)量方法,

8、案例 2 全等三角形的應(yīng)用,古代的水準(zhǔn)儀 在古代埃及和巴比倫，一些測(cè)量工具和基本的幾何圖形，往往被看作神圣的符號(hào)而被用作護(hù)身符。下圖是埃及古墓中出土的測(cè)量工具形狀的護(hù)身符，其中第二種顯然是測(cè)水準(zhǔn)的工具。,,,,案例 2 全等三角形的應(yīng)用,古代的水準(zhǔn)儀由一個(gè)等腰三角形以及懸掛在頂點(diǎn)處的鉛垂線組成。測(cè)量時(shí)，調(diào)整底邊的位置，如果鉛垂線經(jīng)過(guò)底邊中點(diǎn)，就表明底邊垂直于鉛垂線，即底邊是水平的。這就是“邊邊邊”定理的應(yīng)

9、用。,案例 2 全等三角形的應(yīng)用,我們有理由相信，埃及人在建造金字塔時(shí)必用到這種測(cè)量工具。,案例 2 全等三角形的應(yīng)用,在古羅馬土地丈量員的墓碑上，我們也看到了這種水平儀。中世紀(jì)和文藝復(fù)興時(shí)代，這種工具仍被廣泛使用。,案例 2 全等三角形的應(yīng)用,17世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家Pomodoro的《實(shí)用幾何》一書中給出的利用水準(zhǔn)儀測(cè)量山坡高度的方法,案例 2 全等三角形的應(yīng)用,角邊角 希臘幾何學(xué)的鼻祖泰勒斯（Thale

10、s, 前6世紀(jì)）發(fā)現(xiàn)了角邊角定理。普羅克拉斯（Proclus, 5世紀(jì)）告訴我們：“歐得姆斯在其《幾何史》中將該定理歸于泰勒斯。因?yàn)樗f(shuō)，泰勒斯證明了如何求出海上輪船到海岸的距離，其方法中必須用到該定理。”,案例 2 全等三角形的應(yīng)用,坦納里（P. Tannery, 1843～1904）認(rèn)為，泰勒斯應(yīng)該是用右圖所示的方法來(lái)求船到海岸的距離的：設(shè)A為海岸上的觀察點(diǎn)，作線段AC垂直于AB，取AC的中點(diǎn)D，過(guò)C作AC的垂線，在垂線上取點(diǎn)E

11、，使得B、D和E三點(diǎn)共線。利用角邊角定理，CE的長(zhǎng)度即為所求的距離。這種方法為后來(lái)的羅馬土地丈量員所普遍采用。,案例 2 全等三角形的應(yīng)用,希思（T. L. Heath, 1861-1940）提出了另一種猜測(cè)：如圖，泰勒斯在海邊的塔或高丘上利用一種簡(jiǎn)單的工具進(jìn)行測(cè)量。直竿 EF 垂直于地面，在其上有一固定釘子A，另一橫桿可以繞 A 轉(zhuǎn)動(dòng)，但可以固定在任一位置上。將該細(xì)竿調(diào)準(zhǔn)到指向船的位置，然后轉(zhuǎn)動(dòng)EF（保持與底面垂

12、直），將細(xì)竿對(duì)準(zhǔn)岸上的某一點(diǎn)C。則根據(jù)角邊角定理，DC = DB。,案例 2 全等三角形的應(yīng)用,上述測(cè)量方法廣泛使用于文藝復(fù)興時(shí)期。右圖是16世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家貝里（S. Belli, ?～1575）出版于1565年的測(cè)量著作中的插圖，圖中所示的方法與泰勒斯所用方法相同。,有一個(gè)故事說(shuō)，拿破侖軍隊(duì)在行軍途中為一河流所阻，一名隨軍工程師用運(yùn)用泰勒斯的方法迅速測(cè)得河流的寬度，因而受到拿破侖的嘉獎(jiǎng)。因此，從古希臘開(kāi)始，角邊角定理在

13、測(cè)量中一直扮演者重要角色。,案例3 三角比,日晷（古埃及、巴比倫、古希臘Anaximander）,案例3 三角比,Aristarchus（310 B.C.-230B.C.）,案例 4 從巴比倫祭司到達(dá)芬奇,古代兩河流域的陶碗（圖1）以及中國(guó)仰韶文化陶盆（圖2）上的花瓣紋則表明，新石器時(shí)代的人們已經(jīng)知道用圓弧來(lái)構(gòu)造若干對(duì)稱圖形了。,案例 4 從巴比倫祭司到達(dá)芬奇,大英博物館所藏古巴比倫時(shí)期（公元前1800年-公元前1600年）的數(shù)

14、學(xué)泥版BM 15285（殘缺不全）上，我們看到很多圓弧或圓弧與線段所圍圖形的面積問(wèn)題，這些問(wèn)題很可能是當(dāng)時(shí)祭司編制的學(xué)校數(shù)學(xué)練習(xí)題。,案例 4 從巴比倫祭司到達(dá)芬奇,案例 4 從巴比倫祭司到達(dá)芬奇,案例 4 從巴比倫祭司到達(dá)芬奇,公元前5世紀(jì)，希波克拉底在研究化圓為方問(wèn)題時(shí)，求得了某些特殊弓月形的面積。在圖17中，希波克拉底發(fā)現(xiàn)，等腰直角三角形斜邊上的半圓與以直角頂點(diǎn)為圓心、直角邊為半徑的四分之一圓弧所圍成的弓月形面積與等腰直角三

15、角形的面積相等。在圖18中，希波克拉底發(fā)現(xiàn)，大圓內(nèi)接正六邊形相鄰三邊上的小半圓與大圓所圍成的三個(gè)弓月形連同其中一個(gè)小半圓的面積與等腰梯形面積相等。,案例 4 從巴比倫祭司到達(dá)芬奇,“鹽窖”形,“鞋匠刀”形,阿基米德發(fā)現(xiàn)，鞋匠刀形的面積恰好等于以圖中大圓的半弦為直徑的圓面積。鹽窖形的面積恰好等于以大半圓直徑中垂線介于大半圓和中間小半圓之間的線段為直徑的圓面積。,案例 4 從巴比倫祭司到達(dá)芬奇,達(dá)芬奇筆記本中的數(shù)學(xué)問(wèn)題,案例 4 從巴

16、比倫祭司到達(dá)芬奇,達(dá)芬奇筆記本中的數(shù)學(xué)問(wèn)題,案例 4 從巴比倫祭司到達(dá)芬奇,,拿破侖遠(yuǎn)征埃及途中提出的數(shù)學(xué)問(wèn)題——用圓將一個(gè)圓四等分,案例 4 從巴比倫祭司到達(dá)芬奇,Reuleaux三角形,“海豚形”,案例 4 從巴比倫祭司到達(dá)芬奇,,,“蘑菇”形,“海豚形”,Reuleaux三角形,案例 5 一元二次方程求根公式,巴比論：泥版數(shù)學(xué)文獻(xiàn) 泥版數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中含有三種類型的一元二次方程： x2 + bx = c

17、；x2 = bx + c ；x2 + c = bx 巴比倫人已經(jīng)分別知道求根公式,,案例 5 一元二次方程求根公式,巴比倫泥版問(wèn)題1：“【正方形】面積與邊長(zhǎng)之和為3/4，【求邊長(zhǎng)?！俊?解法：“置投影（projection）1，半之，得1/2。1/2和1/2相乘，得1/4。將1/4與3/4相加，得1，從中減去1/2，即得邊長(zhǎng)為1/2。”,案例 5 一元二次方程求根公式,H?yrup之解釋：,,案例 5 一元二次

18、方程求根公式,巴比倫泥版問(wèn)題：一個(gè)正方形面積減去它的邊長(zhǎng)，差為870。求邊長(zhǎng)。相當(dāng)于求解 。 解法： “取1的一半，得1/2，以1/2乘1/2，得1/4；將1/4加到870，得870 1/4。這是29 1/2的平方。把1/2加到29 1/2，結(jié)果得30，即為正方形的邊長(zhǎng)?！?,,案例 5 一元二次方程求根公式,《幾何原本》在長(zhǎng)度為b的線段AB的延 長(zhǎng)線上求一點(diǎn)D，使 AD（b+ x）與BD（x）構(gòu)成的矩形面積為c。,歐幾

19、里得的作圖法,b/2,b/2,b/2,x,x,,案例 5 一元二次方程求根公式,,釋律佗羅 (Sridhara,10世紀(jì)) 方程ax2 + bx = c的解法： 方程兩邊乘以 4 倍的二次項(xiàng)系數(shù)，再加上一次項(xiàng)系數(shù)的平方。(然后開(kāi)方。),案例 5 一元二次方程求根公式,,Al-Kitāb al-mukhta Jar fī Hisāb al-jabr wa-l-muqābala,Al-Khwarizmi (780?

20、-850?),,,案例 5 一元二次方程求根公式,花拉子米《代數(shù)學(xué)》,案例 5 一元二次方程求根公式,韋達(dá) x2+ax=b (令 x = u+ z ) ? u2+(2z+a) u+(z2+az+b)=0 (令2z + a =0) ? u2-1/4 (a2-4b)=0 ? ?

21、,F. Viète （1540-1603）,案例 6 等比數(shù)列求和公式,泥版MS 1844（約公元前2050年）上記載如下問(wèn)題的解法：七兄弟分財(cái)產(chǎn)，最小的得2，后一個(gè)比前一個(gè)多得1/6，問(wèn)所分財(cái)產(chǎn)共有多少？七兄弟所得構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為2、公比為7/6、項(xiàng)數(shù)為6的等比數(shù)列。,案例 6 等比數(shù)列求和公式,泥版M 7857（古巴比倫時(shí)期）上，人們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)等比數(shù)列問(wèn)題。正面是一個(gè)首項(xiàng)為99、公比為9的等比數(shù)列：99，891，8019

22、，72171，649539。反面是： 649539 大麥 72171 麥穗 8019 螞蟻 891 鳥(niǎo) 99 人,案例 6 等比數(shù)列求和公式,萊因得紙草書（約公元前1650年）,萊因得紙草上的等比數(shù)列問(wèn)題,,,案例 6 等比數(shù)列求和公式,埃及乘法12?7,,案例 6 等比數(shù)列求和公式,《幾何原

23、本》第 9 卷命題 35,,案例 6 等比數(shù)列求和公式,References[1] T. L. Heath (1921). A History of Greek Mathematics. London: Oxford University Press.[2] C. S. Roero (1994). Egyptian Mathematics. In I. Grattan-Guiness ed., Encyclopaedia of t

24、he History and Philosophy of Mathematical Sciences. London: Rourledge. 30-45 [3] 汪曉勤, 韓祥臨 (2002). 中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史, 北京: 科學(xué)出版社[4] 汪曉勤等 (2003). HPM視角下的等比數(shù)列教學(xué)，中學(xué)教研（數(shù)學(xué)）, (7)[5] 汪曉勤(2006). 幾何視角下的等比數(shù)列求和公式. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考, (2),,案例 7 橢圓

25、的方程,,N. Guisnée《代數(shù)在幾何上的應(yīng)用》 (1705年),,,,案例 7 橢圓的方程,,《圓錐曲線解析》(1707),M. de L’Hospital 1661-1704,,案例 7 橢圓的方程,,斯蒂爾《圓錐曲線論》(1745),,案例 7 橢圓的方程,,賴特（J. M. F. Wright）《圓錐曲線之代數(shù)體系》（1836）,，,,案例 7 橢圓的方程,,羅賓遜（H. N. Robinson, 1806

26、-1867）《圓錐曲線與解析幾何》 （1862）,,案例 7 橢圓的方程,,查爾斯·戴維斯（C. Davies, 1798-1876）《解析幾何基礎(chǔ)》（1867）,，,,案例 7 橢圓的方程,,查理·斯密（C. Smith, 1844-1916）《圓錐曲線初論》（1890）,,，,案例 7 橢圓的方程,References[1] Guisnée, N. Application de l'A

27、lgebre à la Geometrie. J. Boudot et J. Quillau, 1705. 71-72[2] L’Hospital, M. de. Traité Analytique des Sections Coniques. Paris: Montalant, 1720. 22-25[3] Robinson, H. N. Conic Sections & Analytical Geom

28、etry. New York: Ivison, Phinney & Co., 1862. 140-141[4] Steell, R. A Treatise of Conic Sections. London: St John’s Gate, 1745. 17[5] Wright, J. M. F. An Algebraic System of Conic Sections & Other Curves. London

29、: Black & Amstrong, 1836. 94-95[6] Davies, C. Elements of Analytic Geometry. New York: A. S. Barnes & Co., 1867. 95-96[7] Smith, C. An Elementary Treatise on Conic Sections. London: Macmillan & Co., 1890. 1

30、12-113,案例8 和角公式,托勒密（2世紀(jì)）,案例8 和角公式,托勒密（2世紀(jì)）,案例8 和角公式,帕普斯（Pappus, 3世紀(jì)末）《數(shù)學(xué)匯編》,案例8 和角公式,帕普斯（Pappus, 3世紀(jì)末）《數(shù)學(xué)匯編》,,案例8 和角公式,阿布·韋發(fā)(Abu’l-Wefa, 940-998),,案例8 和角公式,克拉維斯（C. Clavius, 1537-1612）《星盤》(1593),案例8 和角公式,阿布

31、83;韋發(fā)的啟示,案例8 和角公式,阿布·韋發(fā)的啟示,案例8 和角公式,面積變換法之一,案例8 和角公式,面積變換法之二,1,1,數(shù)學(xué)史與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),一座寶藏 一條進(jìn)路 一縷書香 一種視角 一個(gè)領(lǐng)域,2 一條進(jìn)路,在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們總是在不斷地回答“為什么”。為什么等腰三角形兩底角相等？（驢橋定理）為什么 是無(wú)理數(shù)？（不可公度量的發(fā)現(xiàn)）為什么 ？（均值不等式）為什

32、么正整數(shù)和（正）偶數(shù)是一樣多的？（實(shí)無(wú)窮）為什么函數(shù) 是奇函數(shù)？,2 一條進(jìn)路,為什么要將圓周分成360度？（即，為什么在角度制里，要將圓周的1/360作為度量角的單位？）為什么 ？為什么平面直角坐標(biāo)系將平面所分成的四個(gè)部分叫“象限”？為什么將冪指數(shù)稱為“對(duì)數(shù)”？為什么某些函數(shù)被稱為“奇函數(shù)”和“偶函數(shù)”？為什么稱未知數(shù)為“元”？,2 一條進(jìn)路,為什么要將圓周分成36

33、0度？1年＝360天； 60 進(jìn)制迦勒底人將黃道圓分成12宮，每一宮分成30等分。,2 一條進(jìn)路,古希臘天文學(xué)家Hypsicles (c. 180 B.C.) 將黃道圓分成360等分托勒密（Ptolemy, 125 A.D.）在《天文大成》中使用60進(jìn)小數(shù)，將圓周分成360度，每1度分成60小部分（分），每一小部分再分為60個(gè)小部分（秒），等等。,,2 一條進(jìn)路,,,2 一條進(jìn)路,為什么巴比倫人選擇60進(jìn)制（以60為底）？

34、 Theon（4世紀(jì)）：60是能被1、2、3、4、5整除 的最小正整數(shù)。諾伊格鮑爾（O. Neugebauer, 1899-1990）：可以將度量三 等分?？低校喊捅葌惾酥酪荒暧?360天；,2 一條進(jìn)路,60是一年中的月數(shù)與行星（金、木、水、火、土）個(gè)數(shù)的乘積；蘇美爾人將等邊三角形看作是基本幾何圖形，而等邊三角形內(nèi)角為60度，因此若將60十等分，則就成為基本的角度單位，圓周含60個(gè)角度單位，故巴

35、比倫人選擇60為底；人除左手拇指為2節(jié)外，另四指各有3節(jié)，共12節(jié)；分別用右手五指數(shù)這12部分，得60。蘇美爾文明融合了兩種文明，其中一個(gè)文明采用12進(jìn)制，另一文明采用5進(jìn)制。,2 一條進(jìn)路,許凱（N. Chuquet, 1445～1488）《算學(xué)三部》 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 … 1048576 0 1 2 3 4

36、 5 6 7 8 9 … 204對(duì)應(yīng)的數(shù)16自乘，等于8對(duì)應(yīng)的256；7對(duì)應(yīng)的128乘以9對(duì)應(yīng)的512，等于16對(duì)應(yīng)的65536。,2 一條進(jìn)路,施雷伯（H. Schreyber, 1495～1525）《藝術(shù)新作》（1521） 0 1 2 3 4 5 … 16 1 2

37、 4 8 16 32 … 65536第二個(gè)數(shù)列中兩數(shù)的乘積對(duì)應(yīng)于第一個(gè)數(shù)列中兩數(shù)的和。第二個(gè)數(shù)列中三數(shù)的乘積對(duì)應(yīng)于第一個(gè)數(shù)列中三數(shù)的和。第二個(gè)數(shù)列中平方數(shù)的開(kāi)方對(duì)應(yīng)于第一個(gè)數(shù)列中偶數(shù)除以2。第二個(gè)數(shù)列中某數(shù)開(kāi)立方對(duì)應(yīng)于第一個(gè)數(shù)列中某數(shù)除以3。,2 一條進(jìn)路,斯蒂菲爾（M. Stifel, 1487～1567）《整數(shù)算術(shù)》（1544） 0 1 2

38、 3 4 5 6 7 8 … 1 2 4 8 16 32 64 128 256 …等差數(shù)列中的加法對(duì)應(yīng)于等比數(shù)列中的乘法；等差數(shù)列中的減法對(duì)應(yīng)于等比數(shù)列中的除法；等差數(shù)列中的簡(jiǎn)單乘法對(duì)應(yīng)于等比數(shù)列中的乘方；等差數(shù)列中的除法對(duì)應(yīng)于等比數(shù)列中的開(kāi)方。,2 一條進(jìn)路,克拉維斯(C. Cl

39、avius, 1538-1612)《實(shí)用算術(shù)概論》(1583) 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 … 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …32自乘，得10上面的1024，而10等于32下面的5的兩倍；

40、8乘以256等于11上面的2048，而11等于8和256下面3和8之和。,2 一條進(jìn)路,納皮爾（J. Napier, 1550～1617）,2 一條進(jìn)路,薛鳳祚（?～1680）《比例對(duì)數(shù)表》(1653),《數(shù)理精蘊(yùn)》：“對(duì)數(shù)比例，乃西士若往·訥白爾所作。以借數(shù)與真數(shù)對(duì)列成表，故名對(duì)數(shù)表?！浞ㄒ约哟耍詼p代除，以加倍代自乘，故折半即開(kāi)平方。以三因代再乘，故三歸即開(kāi)立方。推之至于諸乘方，莫不皆以假數(shù)相乘而得真數(shù)。蓋為乘

41、除之?dāng)?shù)甚繁，而以假數(shù)代之甚易也。”,數(shù)學(xué)史與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),一座寶藏 一條進(jìn)路 一縷書香 一種視角 一個(gè)領(lǐng)域,3 一縷書香,薩頓 Isis (1913)《科學(xué)史引論》(1927-1947)《數(shù)學(xué)史研究》 (1936)《科學(xué)史研究》（1936）《科學(xué)史與新人文主義》（19??）,G. Sarton（1884-1956）,3 一縷書香,薩頓 在科學(xué)和人文之間只有一座橋梁，那就是科學(xué)史。建造這座橋梁是我們這個(gè)時(shí)代的

42、主要文化需要。,3 一縷書香,同樣，在數(shù)學(xué)和人文之間也只有一座橋梁，那就是數(shù)學(xué)史。,3 一縷書香,“人生之意義在于研究日、月、天?！?放棄財(cái)產(chǎn)、追求真理、身陷囹圄、鐵窗下仍在研究化圓為方問(wèn)題的古希臘數(shù)學(xué)家阿那克薩哥拉,Anaxagoras (499B.C.-428B.C.),16世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家拉繆斯，少時(shí)家貧，祖父是燒炭的，父親是個(gè)卑微的農(nóng)夫。12歲時(shí)，拉繆斯作為一位富家子弟的仆人進(jìn)入巴黎的Navarre學(xué)院，白天伺候主人，黑夜

43、挑燈苦學(xué)，9年后竟獲碩士學(xué)位！他的碩士論文是《亞里士多德所說(shuō)的一切都是錯(cuò)的》！,3 一縷書香,Peter Ramus （1515-1572）,3 一縷書香,每天只花4小時(shí)睡覺(jué)、2小時(shí)吃飯休息、18小時(shí)學(xué)習(xí)學(xué)習(xí)、做研究的16世紀(jì)英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·第,John Dee（1527 – 1609）,3 一縷書香,為了研究數(shù)學(xué)，常常三天三夜不出房門的韋達(dá),F. Viète (1540- 1603),3 一縷書香,吾先正有

44、言：“一物不知，儒者之恥?！苯翊艘患乙咽鳎瑸槠鋵W(xué)者，皆暗中摸索耳。既遇此書，又遇子不驕不吝，欲相指授，豈可畏勞玩日，當(dāng)吾世而失之！嗚呼，吾避難，難自長(zhǎng)大；吾迎難，難自消微。必成之。,,Matteo Ricci (1552-1610)Seu Kuang-ke (1562-1633),3 一縷書香,在墨水結(jié)冰的冬夜，依然勤學(xué)不怠的索菲· 熱爾曼,Sophie Germain（1776-1831）,3 一縷書香,如果你要成為

45、一名真正的追求真理的人，那么你在一生中必須對(duì)一切事情至少都懷疑一次。 ——笛卡兒《方法論》,3 一縷書香,華里司 人活著既然注定要含辛茹苦，那么，我希望用求知的快樂(lè)給人生的酒杯加點(diǎn)糖。,W. Wallace (1768-1843),3 一縷書香,法布爾:牛頓二項(xiàng)式定理,J. H. Fabre (1823-1915),3 一縷書香,“自任國(guó)會(huì)議員以來(lái)，他學(xué)習(xí)并幾乎精通了《幾何原本》前6卷。他開(kāi)始學(xué)習(xí)這門

46、嚴(yán)密的學(xué)科，為的是提高他的能力，特別是邏輯和語(yǔ)言的能力。因此他酷愛(ài)《幾何原本》，每次巡行，他總是隨身攜帶它；直到能夠輕而易舉地證明前六卷中的所有命題為止。他常常學(xué)到深更半夜，枕邊燭光搖曳，而同事們的鼾聲卻已此起彼伏、不絕于耳?！?(1860年總統(tǒng)候選人簡(jiǎn)介),A. Lincohn (1809-1865),3 一縷書香,托馬斯·霍布斯 （Thomas Hobbes, 1588～1679） 40歲時(shí)才開(kāi)

47、始學(xué)習(xí) 幾何。,3 一縷書香,美國(guó)著名爵士樂(lè)作曲家和演奏家亞提蕭（Artie Shaw） 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以某種奇怪的方式給了我所知道的唯一實(shí)實(shí)在在的安全感，所以我感受到了在我整個(gè)生命里從未曾有過(guò)的那種精神上的快樂(lè)。,數(shù)學(xué)史與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),一座寶藏 一條進(jìn)路 一縷書香 一種視角 一個(gè)領(lǐng)域,4 一種視角,Furinghetti: 將數(shù)學(xué)史用于數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程,4 一種視角,設(shè)計(jì)發(fā)生教學(xué)法時(shí)影考慮的因素：學(xué)生的學(xué)習(xí)（心理學(xué)

48、領(lǐng)域）概念的歷史（數(shù)學(xué)史領(lǐng)域）數(shù)學(xué)教材課程標(biāo)準(zhǔn),案例1 一元二次方程的概念,案例1 一元二次方程的概念,例 1 矩形面積為12，寬為長(zhǎng)的3/4。問(wèn)該矩形的長(zhǎng)、寬各為多少？（埃及紙草書）例 2 已知矩形面積為60，長(zhǎng)比寬多7。問(wèn)該矩形的長(zhǎng)為多少？列出矩形的長(zhǎng)所滿足的方程。例 3 已知矩形面積為60，長(zhǎng)比寬多7。長(zhǎng)寬之和為17，問(wèn)該矩形的長(zhǎng)為多少？列出矩形的長(zhǎng)所滿足的方程。 （巴比倫泥版 ）,案例1 一元二次方程的

49、概念,案例1 一元二次方程的概念,例 4 長(zhǎng)為30英尺的梯子豎直靠在墻上，當(dāng)梯子的頂端沿墻向下滑動(dòng)6英尺時(shí)，底端離墻滑動(dòng)多遠(yuǎn)？例 5 在例 3 中，如果梯子的頂端沿墻再一次向下滑動(dòng)6英尺，那么底端將再一次滑動(dòng)多遠(yuǎn)？試列出底端再一次滑動(dòng)的距離所滿足的方程。,案例1 一元二次方程的概念,例 6 如圖，有一所正方形的學(xué)校，南門和北門各開(kāi)在南、北面圍墻的正中間。在北門的正北方20米處有一顆大榕樹(shù)。一個(gè)學(xué)生從南門出來(lái)，朝正南方

50、走14米，然后轉(zhuǎn)向西走1775米，恰好見(jiàn)到學(xué)校北面的大榕樹(shù)。問(wèn)這所學(xué)校每一面圍墻的長(zhǎng)度是多少？試列出方程。,案例1 一元二次方程的概念,案例1 一元二次方程的概念,（展示圖片）現(xiàn)在大家看到的是 中世紀(jì)歐洲最偉大的一位數(shù)學(xué)家， 他叫斐波納契。他在1225年寫成 一本書，叫《花朵》（聽(tīng)起來(lái)不 像數(shù)學(xué)書名）。在該書中，斐波 納契提出了如下問(wèn)題——,斐波納契,案例1 一元二次方程的概念,例7、如圖2，在等

51、腰三角形ABC中，已知AB=AC=10，BC=12。AD是底邊BC上的高。在AB、AC上各求一點(diǎn) E、F，在BC上求兩點(diǎn)G和H，使AEGHF是等邊五邊形。,案例1 一元二次方程的概念,在教師的引導(dǎo)下，基于已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生從例2、3、5、6、7中分別得到各不相同的一元二次方程，如下表所示。,案例1 一元二次方程的概念,,,,,,,,,,,,,,案例1 一元二次方程的概念,練習(xí)1、兩個(gè)正方形面積之和為1000。

52、一個(gè)正方形邊長(zhǎng)是另一正方形邊長(zhǎng)的減去10。求這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)。（巴比倫泥版上的問(wèn)題） 練習(xí)2、在某公園內(nèi)一塊邊長(zhǎng)為50米的正方形空地上建造一個(gè)正方形魚(yú)池，要求水池旁邊有供人觀賞行走的通道，且水池占地面積為空地面積的60%。請(qǐng)完成你的設(shè)計(jì)。,案例1 一元二次方程的概念,案例1 一元二次方程的概念,本教學(xué)設(shè)計(jì)在以下幾個(gè)方面貫徹了新課程的思想、理念、目標(biāo)和要求。 1、包含濃郁的歷史文化氣息，體現(xiàn)數(shù)學(xué)是人類的一種文化。

53、讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的悠久歷史，數(shù)學(xué)與人類文明的密切相關(guān)性，數(shù)學(xué)文化的多元性。 2、教學(xué)活動(dòng)建立在學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，在引出新知識(shí)的同時(shí)也鞏固了舊知識(shí)（如開(kāi)平方、軸對(duì)稱、勾股定理、圖形的相似性等）。,案例1 一元二次方程的概念,本教學(xué)設(shè)計(jì)在以下幾個(gè)方面貫徹了新課程的思想、理念、目標(biāo)和要求。3、增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。4、使學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題中建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，感受一元二次方程作為一種數(shù)學(xué)模

54、型的重要性。5、使學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程。,案例1 一元二次方程的概念,6、利用背景知識(shí)以及古人的問(wèn)題情境，激發(fā)學(xué)生的好奇心與學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)。7、使學(xué)生體會(huì)到不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的密切聯(lián)系。8、創(chuàng)造學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，為后面一元二次方程解法的教學(xué)埋下了伏筆。,案例2 相似三角形的應(yīng)用,例 1、古塔測(cè)高 如圖所示，有一座落在平地上的古塔，不知高度，測(cè)得影長(zhǎng)為11.3米。 現(xiàn)將一長(zhǎng)為0.8米的竹竿直立，使其影

55、子的末端與塔影的末端重合，測(cè)得竹竿的影長(zhǎng)為0.2米。求塔高。,案例2 相似三角形的應(yīng)用,這個(gè)例子根據(jù)古希臘哲學(xué)家泰勒斯測(cè)量金字塔高度的傳說(shuō)以及歐幾里得《光學(xué)》中測(cè)量物體高度問(wèn)題改編而成，原型為杭州西湖北岸寶石山上的保俶塔。教師在講完這個(gè)例子后，可向?qū)W生介紹泰勒斯測(cè)量金字塔高度的故事，讓學(xué)生明白，歷史上人們對(duì)相似三角形性質(zhì)的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用很早，我們今天的方法早在兩千五百多年前就以經(jīng)為泰勒斯所用。真是“太陽(yáng)底下沒(méi)有新鮮事”！,案例2 相似三

56、角形的應(yīng)用,例2、隔河測(cè)距 如圖所示，在A和B兩點(diǎn)之間有一條河。在BA延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C，作BC的垂線AD和CE，點(diǎn)D位于BE上。測(cè)得AC = 5米，CE = 3.3米，AD = 3米。求A、B之間的距離。,案例2 相似三角形的應(yīng)用,這個(gè)問(wèn)題根據(jù)海倫《Dioptra》中的間接測(cè)量問(wèn)題改編而成。比古塔測(cè)高問(wèn)題稍為復(fù)雜一些，因?yàn)?，根?jù)相似三角形性質(zhì)所得到的比例中，有兩項(xiàng)含有未知數(shù)，不能直接求得AB。意大利HPM學(xué)者Chung Ip

57、Fung等曾將與上述問(wèn)題類似的問(wèn)題與中國(guó)劉徽（3世紀(jì)）的海島測(cè)高問(wèn)題同用于教學(xué)設(shè)計(jì)，目的是讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)文化的多元性。,案例2 相似三角形的應(yīng)用,例3、校園占地 如圖，有一所正方形的學(xué)校，西門和北門各開(kāi)在西、北面圍墻的正中間。在北門的正北方30米處有一顆大榕樹(shù)。一個(gè)學(xué)生從西門出來(lái)，朝正西方走750米，恰好見(jiàn)到學(xué)校北面的大榕樹(shù)。問(wèn)這所學(xué)校占地多少？,案例2 相似三角形的應(yīng)用,這個(gè)問(wèn)題是根據(jù)《九章算術(shù)》勾股章中的“邑方”問(wèn)題改編

58、而成的，原題為：“今有邑方不知大小，各開(kāi)中門。出北門三十步有木。出西門七百五十步見(jiàn)木。問(wèn)：邑方幾何？”本問(wèn)題比前面兩個(gè)問(wèn)題稍難，需通過(guò)開(kāi)方求解。教師告訴學(xué)生，中國(guó)在漢代就有這類問(wèn)題，漢代的測(cè)量技術(shù)已十分高超；中國(guó)古代的幾何學(xué)與測(cè)量密切相關(guān)。,案例2 相似三角形的應(yīng)用,例4、勾股定理的推廣（分組討論，合作探究） 我們知道，在直角三角形ABC三邊上作三個(gè)正方形，則兩直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形面積，這就是勾股定理。現(xiàn)

59、在直角三角形ABC三邊上任作兩兩相似的三個(gè)三角形BCD、ACE和ABF，如圖所示。關(guān)于這三個(gè)三角形的面積，你能得到什么結(jié)論？給出你的證明。,案例2 相似三角形的應(yīng)用,案例2 相似三角形的應(yīng)用,這個(gè)問(wèn)題要用到相似三角形的另一個(gè)性質(zhì)，即面積之比等于相似比的平方。事實(shí)上，古代巴比倫人已經(jīng)知道這個(gè)性質(zhì)；而對(duì)于畢達(dá)哥拉斯是如何發(fā)現(xiàn)勾股定理的，西方數(shù)學(xué)史家的其中一種推測(cè)也是基于這個(gè)性質(zhì)：過(guò)直角三角形直角頂點(diǎn)向斜邊引高線，得大小三個(gè)兩兩相似的直角

60、三角形，它們的面積之比等于各自斜邊平方之比，但兩個(gè)小直角三角形面積之和等于大直角三角形面積，故它們的斜邊平方之和等于大直角三角形斜邊的平方。,案例2 相似三角形的應(yīng)用,例5、愛(ài)琴文明的遺跡 古希臘歷史學(xué)家希羅多德（Herodotus, 前5世紀(jì)）描述了畢 達(dá)哥拉斯的故鄉(xiāng)、薩莫斯島上的一條約建于公元前530年、用于從愛(ài)琴海引水的穿山隧道，設(shè)計(jì)者為工程師歐帕里諾斯（Eupalinos）。這個(gè)隧道后來(lái)被人遺忘，直到19世

61、紀(jì)末，它才被考古工作者重新發(fā)現(xiàn)。20世紀(jì)70年代，考古工作者對(duì)隧道進(jìn)行了全面的發(fā)掘。隧道全長(zhǎng)1036米，寬1.8米，高1.8米。兩個(gè)工程隊(duì)從山的南北兩側(cè)同時(shí)往里挖掘，最后在山底某處會(huì)合，考古發(fā)現(xiàn)，會(huì)合處誤差極小。當(dāng)時(shí)人們挖隧道所用的標(biāo)準(zhǔn)方法是在挖掘過(guò)程中在山的表面向下挖若干通風(fēng)井，以確定所抵達(dá)的位置，并校正挖掘的方向。然而，令考古學(xué)家驚訝的是，該隧道挖掘過(guò)程中并未使用這一方法！人們不禁要問(wèn)：歐帕里諾斯到底是用什么方法來(lái)確保兩個(gè)工程隊(duì)在彼

62、此看不到的情況下沿同一條直線向里挖的？,案例2 相似三角形的應(yīng)用,在歐帕里諾斯600年后，希臘數(shù)學(xué)家海倫在一本介紹測(cè)量方法的小書《Dioptra》中給出一種在山兩側(cè)的兩個(gè)已知出口之間挖掘直線隧道的方法，人們相信：這正是歐帕里諾斯當(dāng)年用過(guò)的方法。,案例2 相似三角形的應(yīng)用,練習(xí)題1、如圖，過(guò)直角頂點(diǎn)C向斜邊AB引垂線，D為垂足。于是直角三角形ADC、BDC、和ABC兩兩相似。你能利用相似三角形的性質(zhì)證明勾股定理嗎？,案例2 相似三

63、角形的應(yīng)用,2、解《九章算術(shù)》問(wèn)題：“今有井徑五尺，不知其深。立五尺木于井上，從木末望水岸，入徑四寸。問(wèn)：井深幾何？”,案例2 相似三角形的應(yīng)用,3、在一個(gè)勾5米，股12米的直角三角形空地上，要建一個(gè)正方形花壇，要求花壇的面積盡量大。請(qǐng)給出你的設(shè)計(jì)方法。（改編自《九章算術(shù)》勾股章“勾股容方”問(wèn)題）,案例3 等比數(shù)列前 n 項(xiàng)和,上海市楊浦高級(jí)中學(xué)方耀華老師,等比數(shù)列的定義：,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：,通項(xiàng)公式的推廣：,設(shè)等比數(shù)列

64、 ，首項(xiàng) ，公比為 ，,【知識(shí)回顧】,【問(wèn)題】,“一個(gè)窮人到富人那里去借錢，原以為富人會(huì)不愿意，哪知富人一口應(yīng)承了下來(lái)，但提出了如下條件：,借錢第一天，窮人還1分錢；第二天，還2分錢，……以后每天所還的錢數(shù)都是前一天的2倍，30天后，互不相欠。,在30天中，第一天借給窮人1萬(wàn)元，第二天借給窮人2萬(wàn)元，第三天借給窮人3萬(wàn)元，……，以后每一天多借給窮人1萬(wàn)元。,能不能答應(yīng)富人以上的條件?,【問(wèn)題解析】,窮人還錢總數(shù)－富人借錢總

65、數(shù) ＝ ？,富人借錢總數(shù)＝,窮人還錢總數(shù)＝,小組討論,班級(jí)交流,【問(wèn)題解析】,窮人還錢總數(shù)－富人借錢總數(shù) ＝ ？,富人借錢總數(shù),窮人還錢總數(shù),【問(wèn)題解析】,窮人還錢總數(shù)－富人借錢總數(shù),富人借錢總數(shù),窮人還錢總數(shù),答：不能答應(yīng)富人的條件。,【問(wèn)題小結(jié)】,求等比數(shù)列 前30項(xiàng)和,等比數(shù)列前 項(xiàng)和,【公式探究】,設(shè)等比數(shù)列 ，首項(xiàng) ，公比為 ，其前,對(duì)于一般的等比數(shù)列，它的前 項(xiàng)和公式是什么？,項(xiàng)和,

66、【公式探究】,萊因得紙草書（1650B.C.）,【公式探究】,萊因得紙草書（1650B.C.）,【公式探究】,設(shè)等比數(shù)列 ，首項(xiàng) ，公比為 ，其前,項(xiàng)和,方程法：,【公式探究】,如果 是等比數(shù)列，,幾何原本,Euclid(325B.C.~265B.C.),【公式探究】,設(shè)等比數(shù)列 ，首項(xiàng) ，公比為 ，其前,項(xiàng)和,合比定理：,【公式探究】,設(shè)等比數(shù)列 ，首項(xiàng) ，公比

67、為 ，其前,項(xiàng)和,錯(cuò)位相減法：,—）,,,,,,,個(gè),構(gòu)造常數(shù)列,【例題舉隅】,例 1 兩河流域泥版MS 1844（約公元前2050年）上的問(wèn)題：七兄弟分財(cái)產(chǎn)，最小的得2，后一個(gè)比前一個(gè)多得1/6，問(wèn)所分財(cái)產(chǎn)共有多少？例 2. 求等比數(shù)列1，2，4，… 第5項(xiàng)到第16項(xiàng)的和。,例 3. 求 的值.,(a 為常數(shù)),一個(gè)中心:,兩個(gè)基本點(diǎn)：,(1) 重要的求

68、和方法：方程法；比例法；錯(cuò)位相 減法；(2) 重要的思想方法：特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化、 分類討論的思想方法.,等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及運(yùn)用。,【課堂小結(jié)】,數(shù)學(xué)史與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué),一座寶藏 一條進(jìn)路 一縷書香 一種視角 一個(gè)領(lǐng)域,5 一個(gè)領(lǐng)域,1859年，達(dá)爾文發(fā)表進(jìn)化論。在此基礎(chǔ)上，海克爾提出一個(gè)生物發(fā)生學(xué)定律：“個(gè)體發(fā)育史重蹈種族發(fā)展史”，并將該定律運(yùn)用于心理學(xué)領(lǐng)域，指出“兒童的心理發(fā)展不過(guò)是種