模糊數學2009-4分布函數、貼近度

1、吉林大學計算機科學與技術學院,1,模糊數學 第四講,孫舒楊Email. sysun@jlu.edu.cn,吉林大學計算機科學與技術學院,2,設U={1,2,3,4,5,6}，H是集值映射，且滿足下式，試由H求出相應的模糊集A, Aλ,Aλ . ?λ ∈[0,1],吉林大學計算機科學與技術學院,3,答案,吉林大學計算機科學與技術學院,4,A＝1{5,6} ∪0.8{2,5,6} ∪0.6{2,4,5,6} ∪0.5{1,2,4,

2、5,6} ∪0.2{1,2,3,4,5,6}},吉林大學計算機科學與技術學院,5,隸屬函數確定方法之二,模糊分布,吉林大學計算機科學與技術學院,6,什么是模糊分布？,最常見的論域實數集R實數集R上的模糊集合的隸屬函數稱為模糊分布,吉林大學計算機科學與技術學院,7,模糊分布法的步驟,先假設要建立的隸屬函數服從一個分布（帶參數）然后設法去確定其中參數參數確定，則隸屬函數確定,吉林大學計算機科學與技術學院,8,模糊分布的三種類型,偏小

3、型：小、冷、年輕偏大型：大、熱、年老中間型：中、暖、中年,吉林大學計算機科學與技術學院,9,偏小型模糊分布,偏向小的一方的模糊現象小、冷、年輕隸屬函數的一般形式如下，其中a為常數，f (x)為非遞增函數,吉林大學計算機科學與技術學院,10,偏大型模糊分布,偏向大的一方的模糊現象大、熱、年老隸屬函數的一般形式如下，其中a為常數，f (x)為非遞減函數,吉林大學計算機科學與技術學院,11,中間型模糊分布,處于中間狀態(tài)的模糊

4、現象中、暖、中年隸屬函數的一般形式如下，其中a,b為常數,吉林大學計算機科學與技術學院,12,1-10 常用的模糊分布,吉林大學計算機科學與技術學院,13,常用的分布類型,矩形梯形K次拋物型正態(tài)分布柯西分布（也稱為哥西分布，Cauchy）嶺形分布,吉林大學計算機科學與技術學院,14,1.矩形分布（曲線）,,吉林大學計算機科學與技術學院,15,1. 矩形分布（隸屬函數）,,吉林大學計算機科學與技術學院,16,2. 梯形分布

5、,,吉林大學計算機科學與技術學院,17,2. 偏小型梯形分布,,吉林大學計算機科學與技術學院,18,2. 偏大型梯形分布,,吉林大學計算機科學與技術學院,19,2.中間型梯形分布,請寫出中間型的隸屬函數,吉林大學計算機科學與技術學院,20,3. 拋物型,,吉林大學計算機科學與技術學院,21,3. 拋物型（偏小型）,,吉林大學計算機科學與技術學院,22,3. 拋物型（偏大型）,,吉林大學計算機科學與技術學院,23,3.拋物型（中間型）,,

6、吉林大學計算機科學與技術學院,24,4.正態(tài)分布,,吉林大學計算機科學與技術學院,25,4.正態(tài)分布（中間型）,,吉林大學計算機科學與技術學院,26,4.正態(tài)分布（偏小型）,,吉林大學計算機科學與技術學院,27,4.正態(tài)分布（偏大型）,,吉林大學計算機科學與技術學院,28,4.正態(tài)分布（另一種中間型）,,吉林大學計算機科學與技術學院,29,5.柯西分布,,吉林大學計算機科學與技術學院,30,5.柯西分布（中間型）,,吉林大學計算機科學與

7、技術學院,31,5.柯西分布（偏小型）,,吉林大學計算機科學與技術學院,32,5.柯西分布（偏大型）,,吉林大學計算機科學與技術學院,33,正態(tài)分布與柯西分布,正態(tài)分布 柯西分布柯西分布下降比正態(tài)分布下降要慢很多,吉林大學計算機科學與技術學院,34,6.嶺型分布,,吉林大學計算機科學與技術學院,35,6. 嶺型分布（偏小型）,,吉林大學計算機科學與技術學院,36,6. 嶺型分布（偏

8、大型）,,吉林大學計算機科學與技術學院,37,6. 嶺型分布（中間型）,,吉林大學計算機科學與技術學院,38,如何選取模糊分布？,,吉林大學計算機科學與技術學院,39,選擇模糊分布的兩種方式,直接根據討論對象的特點選擇利用模糊統計通過統計資料得到大致曲線與模糊分布做比較，選擇最相似分布根據實驗確定較符合實際的參數得到隸屬函數表達式,吉林大學計算機科學與技術學院,40,確定隸屬函數的例子,模糊概念：“年輕人”進行統計，發(fā)現曲線

9、與柯西分布的偏小型相似,吉林大學計算機科學與技術學院,41,確定三個參數,a = 25β= 2α=？考慮最模糊的點（30歲，隸屬度應該是0.5）α=1/25,吉林大學計算機科學與技術學院,42,課上作業(yè),在一個熒光屏上，用一個光點的上下運動快慢代表15種不同的運動速度，記V={1,2,…,15}，主試者隨機給出15種速率，讓被試者按“快”“中”“慢”進行分類，每種速率共給出320次，判斷結果如下表：,吉林大學計算機科學與技術學院

10、,43,,,吉林大學計算機科學與技術學院,44,,試用頻率作為隸屬度，確定模糊概念“快”“中”“慢”在V中所表現的模糊集畫出上述概念在V上的隸屬函數圖將圖中離散點用折線連起來，作為區(qū)間v’=[1,15]上的隸屬函數曲線,吉林大學計算機科學與技術學院,45,第二章模糊模式識別,吉林大學計算機科學與技術學院,46,何謂模式識別？,對某個具體對象，識別它屬于何類。這類問題稱為模式識別。,吉林大學計算機科學與技術學院,47,2-1 模糊

11、集的貼近度,吉林大學計算機科學與技術學院,48,貼近度,貼近度是對兩個模糊集合接近程度的一種度量。,吉林大學計算機科學與技術學院,49,貼近度的定義,設A,B,C∈F(U), 若映射N:F(U)×F(U)?[0,1] 滿足條件：N(A,B)=N(B,A)N(A,A)=1, N(U,Ф)=0若A?B?C,則N(A,C)≤N(A,B)∧N(B,C)則稱N(A,B)為模糊集合A與B的貼近度，N稱為F(U)上的貼近度函數。,

12、吉林大學計算機科學與技術學院,50,常見的貼近度,海明貼近度（距離貼近度）歐幾里德貼近度測度貼近度,吉林大學計算機科學與技術學院,51,海明貼近度,吉林大學計算機科學與技術學院,52,2-2 格貼近度,吉林大學計算機科學與技術學院,53,模糊向量,有限論域上的模糊集合可以表示成模糊向量的形式模糊集合的第三種記法例如：X={x1 , x2 , x3 , x4 ,, x5}上的模糊集合A=(μ1 , μ2 , μ3 , μ4 ,,

13、μ5),吉林大學計算機科學與技術學院,54,模糊向量的內積（有限論域）,吉林大學計算機科學與技術學院,55,內積例子,A = ( 0.1, 0.5, 0, 0.6)B = ( 0.2, 0, 0.7, 0.3)求向量a和b的內積,吉林大學計算機科學與技術學院,56,模糊集合的內積（任意論域）,吉林大學計算機科學與技術學院,57,外積（內積對偶運算）,吉林大學計算機科學與技術學院,58,外積例子

14、,A = ( 0.1, 0.5, 0, 0.6)B = ( 0.2, 0, 0.7, 0.3)求向量a和b的外積,吉林大學計算機科學與技術學院,59,余運算,在閉區(qū)間[0,1]上定義余運算：?a∈[0,1], ac=1-a,吉林大學計算機科學與技術學院,60,性質1,吉林大學計算機科學與技術學院,61,性質1證明,吉林大學計算機科學與技術學院,62,峰值和谷值,吉林大學計算機科學與技

15、術學院,63,求下例的峰值和谷值,A = ( 0.1, 0.5, 0, 0.6)B = ( 0.2, 0, 0.7, 0.3),吉林大學計算機科學與技術學院,64,內外積的性質2,吉林大學計算機科學與技術學院,65,內外積的性質3,吉林大學計算機科學與技術學院,66,內外積的性質4,吉林大學計算機科學與技術學院,67,內外積的性質5,吉林大學計算機科學與技術學院,68,內外積的性質6,吉林大學計

16、算機科學與技術學院,69,內外積的性質7,吉林大學計算機科學與技術學院,70,內外積-例,設論域U為實數域，其上有兩個正態(tài)模糊集A,B,它們的隸屬函數如下，試求A、B的內外積。,吉林大學計算機科學與技術學院,71,內積,吉林大學計算機科學與技術學院,72,A、B的外積是什么？,0,吉林大學計算機科學與技術學院,73,下圖的內積表示什么？,兩個模糊集A、B交點縱坐標其值越大，A、B越靠近；,吉林大學計算機科學與技術學院,74,下圖的外積

17、表示什么？,兩個模糊集A、B交點縱坐標其值越小，A、B越靠近；,吉林大學計算機科學與技術學院,75,內外積與靠近程度,兩個模糊集有時：內積越大，這兩個模糊集越靠近；有時：外積越小，這兩個模糊集越靠近；,吉林大學計算機科學與技術學院,76,貼近度,單獨的內積或外積，足以刻畫兩個模糊集合的貼近程度嗎？不能！考慮用二者相結合的“格貼近度”刻畫兩個模糊集的貼近程度。,吉林大學計算機科學與技術學院,77,定理1,吉林大學計算機科學與技

18、術學院,78,求格貼近度的例子,A = ( 0.1, 0.5, 0, 0.6)B = ( 0.2, 0, 0.7, 0.3)求A和B的格貼近度,吉林大學計算機科學與技術學院,79,格貼近度－例,設論域U為實數域，其上有兩個正態(tài)模糊集A,B,它們的隸屬函數分別如下，試求A、B的格貼近度。,吉林大學計算機科學與技術學院,80,內外積-例,吉林大學計算機科學與技術學院,81,其他格貼近度,吉林大學計

19、算機科學與技術學院,82,2-3 模糊模式識別原則,吉林大學計算機科學與技術學院,83,何謂模式識別？,對某個具體對象，識別它屬于何類。這類問題稱為模式識別。根據識別對象的不同，有兩種方法直接方法間接方法,吉林大學計算機科學與技術學院,84,模糊模式識別的方法,直接方法識別對象為論域中的單個元素最大隸屬原則、閾值原則間接方法識別對象為論域上的一個模糊集擇近原則,吉林大學計算機科學與技術學院,85,最大隸屬原則,設Ai∈F

20、(U) (i=1,2,…,n)對于u0∈U，若存在i0，使得則認為u0相對地隸屬于,吉林大學計算機科學與技術學院,86,最大隸屬原則——例,例1. 設論域U=[0,100]上確定三個模糊集A=“優(yōu)”，B=“良”，C=“差”,考慮成績88應該評為什么等級？他們的隸屬函數分別為,吉林大學計算機科學與技術學院,87,最大隸屬原則——例,吉林大學計算機科學與技術學院,88,最大隸屬原則——例,A(88)=0.8B(88)=0.7C(

21、88)=0A(88)=max{A(88), B(88), C(88)}88應評為“優(yōu)”,吉林大學計算機科學與技術學院,89,閾值原則,設論域U= {u1, u2, …, un}上有m個模糊集合A1, A2, …, Am （即m個模型）構成一個標準模型庫,設定一個閾值α ∈[0,1], 對任一x0∈U，若存在i=i1,i2,..,ik,使Ai(x0)≥ α，則判決為：x0相對隸屬于Ai1∩ Ai2 ∩… ∩ AiK,吉林大學計算機科學

22、與技術學院,90,閾值原則,否則對于任何i=1,…,m,均有Ai(x0)< α 則說不能識別x0相對隸屬于誰,吉林大學計算機科學與技術學院,91,擇近原則,識別問題一個模糊集對標準模糊集的識別實質：求兩個模糊集的貼近程度,吉林大學計算機科學與技術學院,92,什么是擇近原則？,,吉林大學計算機科學與技術學院,93,擇近原則,所謂擇近原則，就是要從一群模糊集合A1, A2, …, An, B中判定B歸于的Ai的哪一類計算B

23、與Ai (i=1,…,n)的貼近度，若N(B,Ak)最大，則B與Ak為一類,吉林大學計算機科學與技術學院,94,擇近原則——例,茶葉等級標準樣品五種：Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ論域U={條索,色澤,凈度,香氣,滋味}論域中的每個元素都是反應茶葉質量的因素之一,吉林大學計算機科學與技術學院,95,擇近原則——例,Ⅰ =(0.5, 0.4, 0.3, 0.6, 0.5, 0.4)Ⅱ =(0.3, 0.2, 0.2, 0.1, 0.2, 0.

24、2)Ⅲ =(0.2, 0.2, 0.2, 0.1, 0.1, 0.2)Ⅳ =(0, 0.1, 0.2, 0.1, 0.1, 0.1)Ⅴ =(0, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1)給出一種茶葉樣品，可用模糊集A表示：A=(0.4, 0.2, 0.1, 0.4, 0.5, 0.6)，問：茶葉A是哪個等級？（用格貼近度）,吉林大學計算機科學與技術學院,96,用格貼近度計算,N(A,Ⅰ )=0.5N(A,