模糊數學2009-6模糊關系、模糊關系合成

1、吉林大學計算機科學與技術學院,1,第三章模糊關系與聚類分析,吉林大學計算機科學與技術學院,2,聚類分析,所謂聚類分析(clustering)，就是用數學方法對事物進行分類聚類vs.分類模糊數學產生之前，聚類分析是數理統(tǒng)計多元分析的一個分支現實分類問題具有模糊性，例如“環(huán)境污染分類”、“巖石分類”等聚類分析是模糊關系的一個應用什么是模糊關系？,吉林大學計算機科學與技術學院,3,3-1 模糊關系的定義和性質,吉林大學計算機科學

2、與技術學院,4,什么是關系？,學生集合 U={張三，李四，王五}外語選修課程集合 V={英，法，德，日}R={ (張三, 英), (張三, 法), (李四, 德), (王五, 日), (王五, 英)},吉林大學計算機科學與技術學院,5,關系——例,U={毛澤東，鄧小平，老布什}V={毛岸英，鄧樸方，小布什}父子關系={(毛澤東,毛岸英), （鄧小平,鄧樸方), (老布什,小布什)},吉林大學計算機科學與技術學院,6,“經典關系”

3、的定義,定義：集合A,B的直積A×B={(a,b)|a∈A,b∈B}的一個子集R稱為A到B的一個二元關系，簡稱關系,吉林大學計算機科學與技術學院,7,關系——例,設X為橫軸，Y為縱軸直積X×Y是什么？其上的普通關系x>y是什么？,吉林大學計算機科學與技術學院,8,關系?模糊關系,“課程選擇”、“父子”——明確的關系客觀世界中，并非所有的關系都這么明確信任關系喜愛關系,吉林大學計算機科學與技術學院,9,

4、模糊關系的定義,以集合U,V的直積U×V為論域其上的一個模糊子集R稱為U,V的一個模糊關系。若U=V ，則稱為“U上的模糊關系R”其隸屬函數為： μR ： U×V ? [0,1],吉林大學計算機科學與技術學院,10,模糊關系——例1,設X為橫軸，Y為縱軸，直積X×Y是整個平面，其上的模糊關系R=“x遠大于y”，怎么表示？,吉林大學計算機科學與技術學院,11,當x-y=1時，R(x,y)=0.0099

5、當x-y=10時，R(x,y)=0.5當x-y=100時，R(x,y)=0.99,吉林大學計算機科學與技術學院,12,模糊關系——例2,,吉林大學計算機科學與技術學院,13,,,,,,吉林大學計算機科學與技術學院,14,模糊關系——例2,X={ Ross, Joey, Chandler}Y={ Monica, Phoebe, Rachel}X×Y={(Ross, Monica), (Ross, Phoebe), (R

6、oss, Rachel), (Joey, Monica), (Joey, Phoebe), (Joey, Rachel), (Chandler, Monica), (Chandler, Phoebe), (Chandler, Rachel) }模糊關系R1: 朋友關系模糊關系R2: 戀人關系,吉林大學計算機科學與技術學院,15,模糊關系——例3,吉林大學計算機科學與技術學院,16,模糊關系的運算,模糊關系就是模糊子集唯一特殊之處—

7、—論域是直積U×V模糊關系的運算法則完全服從模糊集合的運算法則,吉林大學計算機科學與技術學院,17,模糊關系的相等,設R,S都是X×Y上的模糊關系，則,吉林大學計算機科學與技術學院,18,模糊關系的包含,吉林大學計算機科學與技術學院,19,模糊關系的并,吉林大學計算機科學與技術學院,20,模糊關系的交,吉林大學計算機科學與技術學院,21,模糊關系的余,吉林大學計算機科學與技術學院,22,分解定理,吉林大學計算機科

8、學與技術學院,23,λ截關系,吉林大學計算機科學與技術學院,24,3-2 模糊矩陣,吉林大學計算機科學與技術學院,25,模糊關系?模糊矩陣,論域若論域X×Y是有限集，模糊關系可以表示為模糊矩陣若論域X×Y是連續(xù)或無限的，則該論域上的(模糊)關系不能用(模糊)矩陣來表示什么是模糊矩陣？,吉林大學計算機科學與技術學院,26,模糊矩陣的定義,如果對于任意i=1,2,…,m, j=1,2,…,n,都有rij∈[0,1]

9、,則稱矩陣R=(rij)m×n為模糊矩陣。若rij∈{0,1}, 則模糊矩陣變成布爾矩陣模糊矩陣可以表示模糊關系,吉林大學計算機科學與技術學院,27,模糊矩陣－例,U={蘋果, 梨, 書, 乒乓球} ，它們的相似程度可以用模糊關系“相似” 來表示，記為R：,吉林大學計算機科學與技術學院,28,請給出下例的模糊矩陣,吉林大學計算機科學與技術學院,29,矩陣與關系,一個模糊矩陣對應著什么？一個模糊關系一個布爾矩陣對應著什么

10、？一個普通關系,吉林大學計算機科學與技術學院,30,模糊矩陣與普通矩陣,矩陣元素模糊矩陣的元素限制在[0,1]上普通矩陣的元素沒有限制矩陣運算模糊矩陣的運算完全不同與普通矩陣的運算模糊矩陣運算是模糊集合的運算,吉林大學計算機科學與技術學院,31,模糊矩陣的相等、包含,設A、B為模糊矩陣，記A=(aij), B=(bij)，i=1,2,…,m,j=1,2,…,n, 則(1)相等：A=B ?對任意i,j 有 aij=bij

11、(2)包含：A?B ?對任意i,j 有 aij≤bij,吉林大學計算機科學與技術學院,32,模糊矩陣的交、并、余,設A、B為模糊矩陣，記A=(aij), B=(bij)，i=1,2,…,m, j=1,2,…,n, 則(1)并：A∪B ? (aij∨bij)m×n(2)交: A∩B ? (aij∧bij)m×n(3)余: Ac ? (1-aij) m×n,吉林大學計算機科學與技術學院,33,給

12、出如下模糊矩陣運算結果,吉林大學計算機科學與技術學院,34,模糊矩陣的運算性質,1）冪等律：A∪A＝A , A∩A=A;2）交換律：A∪B=B∪A, A∩B=B∩A;3）結合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C), (A∩B)∩C=A∩(B∩C);,吉林大學計算機科學與技術學院,35,模糊矩陣的運算性質,4）吸收律：A∩(A∪B)= A, A∪(A∩B)=A;5

13、）分配律: (A∪B)∩C=( A∩C)∪(B∩C), (A∩B)∪C= ( A∪C)∩(B∪C);,吉林大學計算機科學與技術學院,36,模糊矩陣的運算性質,（7）復原律：(Ac)c=A;（8）對偶律：(A∪B)c= Ac∩Bc, (A∩B)c= Ac∪Bc.,吉林大學計算機科學與技術學院,37,3-3 模糊關系的對稱性

14、與自反性,吉林大學計算機科學與技術學院,38,轉置矩陣的定義,設R=(rij)∈μm×n,則稱RT=(rji)∈μn×m為R的轉置矩陣,吉林大學計算機科學與技術學院,39,轉置矩陣?轉置關系,定義.設R∈F(U×V),而RT∈F(V×U)則稱RT為R的轉置關系，即?(v,u)∈V×U，RT(v,u)=R(u,v),吉林大學計算機科學與技術學院,40,轉置關系——例,設U={u1, u

15、2, u3}為三人集合，R表示U上的彼此熟悉關系，問R的轉置關系RT是什么？,吉林大學計算機科學與技術學院,41,對稱矩陣的定義,設R=(rij)∈μm×m,若R=RT，則稱R為對稱矩陣,吉林大學計算機科學與技術學院,42,是對稱矩陣嗎？,吉林大學計算機科學與技術學院,43,對稱矩陣?對稱關系,若R表示從U={u1, u2,…,um}到V ={v1, v2,…,vm}的模糊關系，并且R(ui, vj)= R(uj, vi)

16、則稱關系R為對稱關系若R是U×U上的模糊關系，則R是對稱關系?R(u,v)=R(v,u),吉林大學計算機科學與技術學院,44,轉置關系的性質1,2,吉林大學計算機科學與技術學院,45,轉置關系的性質3,4,吉林大學計算機科學與技術學院,46,轉置關系的性質5,吉林大學計算機科學與技術學院,47,性質5說明什么？,凡是包含R的對稱矩陣都包含R∪RTR∪RT是包含R的最小對稱矩陣R的對稱閉包包含R的對稱矩陣被所有包含R

17、的對稱矩陣所包含R∪RT是R的對稱閉包,吉林大學計算機科學與技術學院,48,自反關系,若?(u,u)∈U×U, R(u,u)=1,則稱R為U上的自反關系自反關系對應的矩陣是自反矩陣,吉林大學計算機科學與技術學院,49,恒等關系,若?(u,v)∈U×V,下面等式成立，則稱I為恒等關系：,吉林大學計算機科學與技術學院,50,自反關系與恒等關系,吉林大學計算機科學與技術學院,51,3-4 λ截矩陣,吉林大學計算機科學與

18、技術學院,52,λ截集?λ截矩陣,模糊集合---- λ截集模糊矩陣---- λ截矩陣,吉林大學計算機科學與技術學院,53,λ截矩陣的定義,定義：設給定模糊矩陣R=(rij)m×n，對任意λ ∈[0,1]，稱Rλ=(rij (λ) )為R的λ截矩陣，其中,吉林大學計算機科學與技術學院,54,λ截矩陣——例,求模糊矩陣R在λ=0.5時的λ截矩陣,吉林大學計算機科學與技術學院,55,λ截矩陣的性質1,吉林大學計算機科學與技術學院,

19、56,λ截矩陣的性質2,吉林大學計算機科學與技術學院,57,課堂作業(yè)(3-1),,吉林大學計算機科學與技術學院,58,課堂作業(yè)(3-2),,吉林大學計算機科學與技術學院,59,課堂作業(yè)(3-3),,吉林大學計算機科學與技術學院,60,內容回顧,普通關系?模糊關系有限論域上，布爾矩陣?模糊矩陣模糊關系（模糊矩陣）的運算,吉林大學計算機科學與技術學院,61,3-5 模糊關系的合成,吉林大學計算機科學與技術學院,62,經典關系的合成,X表

20、示人群兄弟關系Q：X?X，父子關系R：X?X，叔侄關系S：X?X問：Q,R,S這三個關系之間存在著什么關系？,吉林大學計算機科學與技術學院,63,叔侄關系,x,z存在叔侄關系（x是z的叔叔或伯伯）?？存在一個y，y是x的兄弟，且y是z父親xSz?存在y∈X,使xQy且yRz稱叔侄關系S是兄弟關系Q和父子關系R的合成，記為S=QоR,吉林大學計算機科學與技術學院,64,關系合成的定義,設Q∈P(U×V),R∈P(V&#

21、215;W), S∈P(U×W)若(u,w)∈S?存在v∈V,使(u,v)∈Q且(v,w)∈R，則稱關系S是由關系Q與關系R合成的，記作S=QоR,吉林大學計算機科學與技術學院,65,合成關系的表示,關系Q和關系R的合成可以表示為若用特征函數來表示合成關系， QоR(u,w)=?,吉林大學計算機科學與技術學院,66,經典關系合成?模糊關系合成,設Q∈F(U×V),R∈F(V×W),所謂Q與R的合成，

22、就是從U到W的一個模糊關系，記作QоR，其隸屬函數為,吉林大學計算機科學與技術學院,67,R2=？,若R∈F(U×U),記R2 = RоRRn = Rn-1оR,吉林大學計算機科學與技術學院,68,模糊關系的合成——例1,設R1為X×Y上的模糊關系,其隸屬函數滿足 設R2為Y×Z上的模糊關系,其隸屬函數滿足試求R1、 R2的合成。,吉

23、林大學計算機科學與技術學院,69,例1的答案,把y當作變量，把x和z都當作常量,吉林大學計算機科學與技術學院,70,例1的答案,吉林大學計算機科學與技術學院,71,模糊關系的合成——例2,設R為模糊關系“x遠大于y”，其隸屬函數如下，則合成關系RоR是什么？“x遠遠大于y”試問其隸屬函數是什么？,吉林大學計算機科學與技術學院,72,例2答案,,吉林大學計算機科學與技術學院,73,例2答案,同例1一樣，首先把y作為變量，x和z均當作常

24、量，畫出對應的曲線,吉林大學計算機科學與技術學院,74,例2答案,求出交點的橫坐標z*求得交點的縱坐標，即為合成關系RоR的隸屬函數,吉林大學計算機科學與技術學院,75,模糊關系合成的矩陣表示,對于有限論域上的模糊關系，可表示稱模糊矩陣模糊關系的合成?模糊矩陣的合成,吉林大學計算機科學與技術學院,76,模糊矩陣合成,吉林大學計算機科學與技術學院,77,,吉林大學計算機科學與技術學院,78,模糊矩陣的乘積,吉林大學計算機科學與技術學院

25、,79,模糊矩陣乘積vs.經典矩陣乘積,實數相乘“×” ? 實數取小“∧”實數相加“+” ? 實數取大“∨”,吉林大學計算機科學與技術學院,80,請計算：計算RоS,,吉林大學計算機科學與技術學院,81,模糊關系合成的性質1,2,(1)結合律 (QоR)оS=Qо(RоS)(2) 0-1律 0оR=Rо0=0IоR=RоI=R,吉林大學計算機科學與技術學院,82,模糊關系合成的性質3,4,(3) Q?R?

26、QоS?RоS Q?R? Qm?Rm(4) 分配律（對∪分配）(Q∪R)оS=(QоS)∪(RоS)Sо(Q∪R) =(SоQ)∪(SоR),吉林大學計算機科學與技術學院,83,請計算,吉林大學計算機科學與技術學院,84,模糊關系合成的性質,合成運算的交運算的分配律是否成立？(Q∩R)оS=(QоS) ∩(RоS),請思考,吉林大學計算機科學與技術學院,85,模糊關系合成的性質5,6,(5) (QоR) λ= Q