模糊數(shù)學期末論文之模糊規(guī)劃

1、<p><b>　　論文原創(chuàng)性聲明</b></p><p>　　本人鄭重聲明： 所呈交的論文，是本人在老師的指導下，獨立進行研究工作所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明。本人完全意識到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔。</p><p><

2、;b>　　數(shù)學論文作者簽名：</b></p><p>　　日期：2011 年 1 月 1 日</p><p><b>　　模糊規(guī)劃</b></p><p><b>　　摘　要</b></p><p>　　本文應(yīng)用了一種求解多目標模糊線性規(guī)劃題的解法——就是應(yīng)用單純形法先求解相應(yīng)

3、的普通線性規(guī)劃問題，然后通過模糊約束集與模糊目標集的隸屬度比較，獲得兩個集合交集的最優(yōu)隸屬度，將此最優(yōu)隸屬度代入最優(yōu)單純形表中，即可求得到相應(yīng)多目標模糊線性規(guī)劃的解。用此方法，可以很好的解決本文中水資源在農(nóng)業(yè)規(guī)劃中的應(yīng)用。并且在文中對不同的解模糊規(guī)劃的方法進行了比較。</p><p>　　關(guān)鍵詞：單純形法；多目標模糊線性規(guī)劃；隸屬度</p><p><b>　　目錄</b&

4、gt;</p><p><b>　　模糊規(guī)劃I</b></p><p><b>　　摘　要I</b></p><p><b>　　前　言1</b></p><p><b>　　1 背景知識2</b></p><p><

5、b>　　2 模糊規(guī)劃2</b></p><p>　　2.1 問題提法2</p><p>　　2.2 模糊極值3</p><p>　　2.2.1有界函數(shù)的極值和模糊極值3</p><p>　　2.2.2普通限制下，目標函數(shù)的極值與模糊極值3</p><p>　　2.2.3模糊限制下，目標函數(shù)的

6、模糊極值3</p><p>　　2.3 模糊線性規(guī)劃4</p><p>　　2.4 多目標線性規(guī)劃與模糊線性規(guī)劃4</p><p>　　3 實際問題求解5</p><p><b>　　3.1實際問題6</b></p><p><b>　　3.2解題步驟6</b>&

7、lt;/p><p>　　4 各種方法比較7</p><p><b>　　參考文獻7</b></p><p><b>　　附　錄9</b></p><p><b>　　致　謝10</b></p><p><b>　　前　言</b>

8、</p><p>　　中國是世界人口大國，用水量也居世界前列。雖然中國有長江與黃河，但中國仍然是一個重度取缺水的國家，例如中國西北部的部分城市，長年降水量不足1厘米，水井經(jīng)常處于缺水的狀態(tài)。我國水資源總量不少, 但人均占有量不足世界平均值的1/ 4, 且時空分配不均。總的來說南多北少, 而開發(fā)利用程度南小北大。為了緩解這種狀況，有了南水北調(diào)工程，但這并沒有完全解決中國缺水這一現(xiàn)狀。隨著人口增長、經(jīng)濟發(fā)展, 將有更

9、多的城市和地區(qū)嚴重缺水, 因此, 水資源短缺對社會、經(jīng)濟活動制約的形勢日趨嚴峻, 尤其是解決華北、西北和沿海一些城市供水不足的問題, 已成為政府亟待解決的一個戰(zhàn)略問題。</p><p>　　改革開放20 年間, 我國農(nóng)業(yè)得到長足發(fā)展, 長期困擾我國的糧食緊缺狀況, 由于北方</p><p>　　糧食生產(chǎn)充分發(fā)展, 使歷史形成的“南糧北調(diào)”局面得到扭轉(zhuǎn), 成功地以占世界7% 的耕地</

10、p><p>　　面積, 養(yǎng)活了世界22%的人口, 舉世矚目, 堪稱典范。北方旱區(qū)為了發(fā)展生產(chǎn), 克服水障礙, 大力發(fā)展水利, 攔截徑流, 開發(fā)地下水, 強化水、熱資源的調(diào)控力度,有力地促進了北方糧食生產(chǎn)的發(fā)展, 這是當今“北糧南運”的基礎(chǔ)所在。然而這種糧食生產(chǎn)格局的變化, 是以過量地消耗本已短缺的北方地表水和地下水資源為代價的。可以說我國農(nóng)業(yè)在取得長足發(fā)展的同時，也在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)上浪費了大量的水資源。只有解決了水資源的浪

11、費問題，才能在根本上有所緩解中國缺水的情形。本文就是在保證農(nóng)民最大利益的基礎(chǔ)上解決如何合理的利用水資源（本文中合理用水不是減少用水，是必要的用水；只要不是浪費水，而能滿足用水量，才叫合理用水）來合理安排水資源在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)方面的應(yīng)用。</p><p>　　農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中合理利用水資源的方式有很多種，例如將灌溉改為滴灌、減少植物因蒸發(fā)而失去的水量。但由于水平有限，本文只考慮在已知農(nóng)作物在不同方式下用水量以及利益問題來改變農(nóng)

12、作物的種植量從而達到節(jié)約水資源的利用。</p><p>　　由于農(nóng)作物使用的水資源是一個模糊量，即只有一個大概的范圍，因此為了解決本文相應(yīng)的問題，我們采用模糊規(guī)劃的知識進行求解。</p><p><b>　　背景知識</b></p><p>　　數(shù)學規(guī)劃問題可歸結(jié)為給定一個目標函數(shù)與某種限制條件，尋求在接受限制條件下盡可能取得最優(yōu)的目標。如果限

13、制條件可用經(jīng)典的集合表示，就是普通規(guī)劃問題，如果限制條件是不確定的，需要用模糊集來表示，就是模糊規(guī)劃問題。這種模糊規(guī)劃，就是在模糊集的限制條件下來求目標函數(shù)的模糊極值。</p><p><b>　　模糊規(guī)劃</b></p><p><b>　　問題提法</b></p><p>　　普通規(guī)劃問題:給定目標函數(shù):，為有界函數(shù)，

14、給定X的子集作為限制集，要求在中選擇元素，使得取得極大值，這是一個要求在上的條件極值問題。</p><p>　　經(jīng)常遇到的限制集是模糊的。</p><p>　　模糊規(guī)劃問題: 給定目標函數(shù):，為有界函數(shù)，給定X的模糊子集作為限制集，要求選擇元素，使得對的隸屬度及對于目標函數(shù)值都盡可能地達到高水平。這是一個在的限制下的條件模糊極值問題。</p><p><b&g

15、t;　　模糊極值</b></p><p>　　2.2.1有界函數(shù)的極值和模糊極值</p><p>　　定義：設(shè):(有界)，令（表示模糊函數(shù)集合），</p><p><b>　　，</b></p><p>　　稱為的無條件模糊優(yōu)越集，并稱為的無條件模糊極大值。，</p><p>　　當=

16、時，=1；當=時，=0；當時，。因此反映了在模糊的意義下，的優(yōu)越程度。</p><p>　　又當 =時，；當=時，；當時，;因此，反映了在模糊意義下，對的模糊極大值的隸屬程度。</p><p>　　2.2.2普通限制下，目標函數(shù)的極值與模糊極值</p><p>　　定義：設(shè):(有界函數(shù))，令。令,稱為在上（條件）模糊極大值。</p><p>

17、<b>　　= </b></p><p>　　反映了接受的限制，又反映了在在整個目標函數(shù)中所處地位。</p><p>　　2.2.3模糊限制下，目標函數(shù)的模糊極值</p><p>　　定義：設(shè)目標函數(shù):(有界函數(shù))對模糊限制。令,稱為在上（條件）模糊優(yōu)越集，稱為在上（條件）模糊極大值，這里</p><p>　　由于說明當

18、時，既要求對限制集的隸屬程度達到或超過水平。因此既反映接受的限制的程度，又反映達到理想目標的程度。</p><p>　　關(guān)于目標函數(shù)的模糊極小值問題，可以轉(zhuǎn)化為的模糊極大值問題。</p><p><b>　　模糊線性規(guī)劃</b></p><p>　　在經(jīng)典規(guī)劃論中，線性規(guī)劃師最基本的而且運用較廣泛的一個分支，其數(shù)學模型是</p>

19、<p><b>　　目標函數(shù)：</b></p><p>　　求一組變量的值滿足約束條件并且使得目標函數(shù)取得最小值（或最大）值。</p><p>　　多目標線性規(guī)劃與模糊線性規(guī)劃</p><p>　　設(shè)有一個多目標線性規(guī)劃問題</p><p><b>　　(2.4.1)</b></p&

20、gt;<p><b>　　(2.4.2)</b></p><p><b>　　記，，，，，</b></p><p><b>　　則上述問題可簡寫為</b></p><p>　　由于目標函數(shù)不止一個，要想同時使得這些目標函數(shù)都達到極大值往往是不可能的，這就需要提出某種折衷方案，使各目標都相

21、對的“極大”，這就需要要用模糊數(shù)學的方法進行處理。</p><p>　　設(shè)是(2.4.1) 中目標函數(shù) 在約束條件(2.4.2)下所得到的最大值.對每個目標，根據(jù)其重要性給出伸縮指標，愈小說明目標俞重要，相應(yīng)構(gòu)造一個模糊目標集，其隸屬函數(shù)為</p><p>　　記，稱為多目標線性規(guī)劃問題的綜合模糊目標，記為滿足約束方程的可行解集（它是的普通子集）。</p><p>

22、<b>　　實際問題求解</b></p><p><b>　　3.1實際問題</b></p><p>　　某地區(qū)農(nóng)民王某在收獲了玉米后準備開始冬小麥的種植?，F(xiàn)在市場上冬小麥的品種種類繁多，其中有“京冬8號”、“京旺十號”、“農(nóng)大3214”、“北農(nóng)66”、“京411”、 “豫教5號”、 "周麥18號"等，每種小麥都有自己的優(yōu)勢與

23、劣勢，相應(yīng)的各種小麥的價格也不盡相同?？紤]到自己買小麥種子所帶的資金，該農(nóng)民最終選擇了優(yōu)質(zhì)品種農(nóng)大135和節(jié)水品種農(nóng)大3488。</p><p>　　該農(nóng)民選擇的農(nóng)大135的特征特性是：冬性，長芒，紅粒。幼苗健壯，葉片寬厚。株高85厘米左右，抗倒性較強?？购?、抗病性較好，成熟期與京411相近。產(chǎn)量要素比較協(xié)調(diào)，畝穗數(shù)35—40萬，穗粒數(shù)28—30粒，千粒重50—55克，產(chǎn)量水平在450公斤左右。品質(zhì)較優(yōu)，做餃子透

24、明度好，有咬勁，不混湯；做面條色澤白，有咬勁。而農(nóng)大3488的特征特性是：冬性，中熟，成熟比京冬8號晚1～2天。幼苗半匍匐，分蘗力強，成穗率較高。株高80厘米左右，長芒，白粒，穗粒數(shù)30粒，千粒重42克。莖桿粗壯，抗倒伏。抗寒性中等。中感條銹病、高感葉銹和白粉病。耐旱性強，抗干熱風。豐產(chǎn)性好，節(jié)水栽培下畝產(chǎn)350公斤左右。</p><p>　　現(xiàn)在已知該農(nóng)民家中擁有12畝土地，他準備全部用來種植小麥。當?shù)卣疄?/p>

25、了響應(yīng)國家的號召，節(jié)約用水，于是對部分土地使用了滴灌式灌溉來節(jié)約用水。該農(nóng)民王某恰有兩畝土地采用了這種滴管式灌水。在這種土地上，澆灌小麥所需的用水量大量減少。王某根據(jù)以往經(jīng)驗，熟知了這兩種小麥的用水情況及收益，大致如下：</p><p>　　其中滴灌式土地由于前期投入的資金較多，導致小麥凈產(chǎn)值有所偏低，但一段時期之后，成本得到回收，小麥凈產(chǎn)值會增加（凈產(chǎn)值=小麥單產(chǎn)（噸/畝）X小麥價格（元/噸））。</p&

26、gt;<p>　　當?shù)卣疄榱斯?jié)約用水，限制了當?shù)剞r(nóng)民的用水總量，即全生長時期平均每畝用水8.4百方，開花期每畝用水1.3百方。農(nóng)民王某現(xiàn)在對種植的小麥有如下打算：</p><p>　　小麥產(chǎn)量最多，同時盈利最多。</p><p>　　針對上述情形，該農(nóng)民應(yīng)該怎么安排種植情形才能達到他的要求？</p><p><b>　　3.2解題步驟<

27、;/b></p><p>　　將上述實際問題轉(zhuǎn)化為模糊規(guī)劃問題如下：</p><p>　　用表示農(nóng)大135與農(nóng)大3488的總產(chǎn)量，用表示該農(nóng)民種植小麥的總收益，則轉(zhuǎn)化為如下方程：</p><p>　　設(shè)：表示普通土地種植的農(nóng)大135的畝數(shù)</p><p>　　表示普通土地種植的農(nóng)大3488的畝數(shù)</p><p>

28、　　表示滴灌式土地種植的農(nóng)大135的畝數(shù)</p><p>　　表示滴灌式土地種植的農(nóng)大3488的畝數(shù)</p><p>　　根據(jù)原問題列出規(guī)劃方程：</p><p><b>　　土地限制下的約束：</b></p><p>　　水資源限制下的約束：</p><p>　　最后根據(jù)問題構(gòu)造目標函數(shù)<

29、/p><p>　　小麥產(chǎn)量最大的目標函數(shù)：</p><p>　　小麥最大收益的目標函數(shù)：</p><p>　　綜上所述，就可以得到這一問題的多目標模糊線性規(guī)劃：</p><p><b>　　約束：</b></p><p><b>　　（3.2.1）</b></p>

30、<p>　　對目標采用單純形法：</p><p>　　所以最優(yōu)解, , ,，，最大值，此時.</p><p>　　對目標，利用單純形法：</p><p>　　最優(yōu)解，，，，最大值，此時.</p><p>　　同時考慮兩個目標，合理的方案應(yīng)該使 </p><p><b>　　我們?nèi)∩炜s指標，</

31、b></p><p><b>　　約束</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　利用單純形法得最優(yōu)解</p><p><b>　　此時 ，</b></p><p><b>　　各種方法比較</b&g

32、t;</p><p>　　上一節(jié)中解線性規(guī)劃用的是單純形法，但運算過于繁瑣，一步錯，全部錯。單純形法解普通線性規(guī)劃問題要求極高的耐心與極高的細心，而且還要把握好接的過程?？梢哉f，單純形法一種計算量大、步驟繁瑣的方法?，F(xiàn)在我們對該種方法進行改進，改用相應(yīng)的軟件進行求解。</p><p>　　Lingo 求解法 </p><p><b>　　相應(yīng)程序見附錄 1

33、</b></p><p>　　對線性規(guī)劃方程（3.2.1），運用lingo軟件可得最優(yōu)解：,,，，最大值，此時。</p><p>　　對線性規(guī)劃方程（3.2.2），運用lingo軟件可得最優(yōu)解：，，， ，最大值，此時。</p><p>　　類似單純線性方法可得方程（3.2.3）</p><p>　　對線性規(guī)劃方程（3.2.3），

34、運用lingo軟件可得最優(yōu)解：，此時，。</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　△請按下列例子的格式輸入“專著、論文集、學位論文、報告”：</p><p>　　序號 主要責任者. 文獻題名［文獻類型標識］. 出版地：出版者，出版年. 起止頁碼(任選).</p><p>　　羅承忠. 模糊集引論

35、.北京：北京師范大學出版社，2005年8月.</p><p>　　國家發(fā)改委. 2010小麥最低收購價執(zhí)行預(yù)案.中國期刊全文數(shù)據(jù)庫 2010.</p><p>　　張筑生. 微分半動力系統(tǒng)的不變集［D］. 北京：北京大學數(shù)學系數(shù)學研究所， 1983.</p><p>　　馮西橋. 核反應(yīng)堆壓力管道與壓力容器的LBB分析［R］. 北京：清華大學核能技術(shù)設(shè)計研究院，19

36、97.</p><p>　　△請按下列例子的格式輸入“期刊文章”：</p><p>　　序號 主要責任者. 文獻題名［J］. 刊名，年，卷(期)：起止頁碼.</p><p>　　何齡修. 讀顧城《南明史》［J］. 中國史研究，1998，(3)：167-173.</p><p>　　金顯賀，王昌長，王忠東，等. 一種用于在線檢測局部放電的數(shù)字濾

37、波技術(shù)［J］. 清華大學學報(自然科學版)，1993，33(4)：62-67.</p><p>　　△請按下列例子的格式輸入“論文集中的析出文獻”：</p><p>　　序號 析出文獻主要責任者. 析出文獻題名［A］. 原文獻主要責任者(任選) . 原文獻題名［C］. 出版地：出版者，出版年. 析出文獻起止頁碼.</p><p>　　鐘文發(fā). 非線性規(guī)劃在可燃毒

38、物配置中的應(yīng)用［A］. 趙瑋. 運籌學的理論與應(yīng)用——中國運籌學會第五屆大會論文集［C］. 西安：西安電子科技大學出版社，1996. 468-471.</p><p>　　△請按下列例子的格式輸入“報紙文章”：</p><p>　　序號 主要責任者. 文獻題名［N］. 報紙名，出版日期 (版次).</p><p>　　謝希德. 創(chuàng)造學習的新思路［N］. 人民日報，1

39、998-12-25(10).</p><p>　　△請按下列例子的格式輸入“國際、國家標準”：</p><p>　　序號 標準編號，標準名稱［S］.</p><p>　　GB/T 16159-1996，漢語拼音正詞法基本規(guī)則［S］.</p><p>　　△請按下列例子的格式輸入“專利”：</p><p>　?。坌蛱枺輰?/p>

40、利所有者. 專利題名［P］. 專利國別：專利號，出版日期.</p><p>　　姜錫洲. 一種溫熱外敷藥制備方案 ［P］. 中國專利：881056073，1989-07-26.</p><p>　　△請按下列例子的格式輸入“電子文獻”：</p><p>　　序號 主要責任者. 電子文獻題名［電子文獻及載體類型標識］. 電子文獻的出處或可獲得地址，發(fā)表或更新日期/引用

41、日期(任選).</p><p>　　王明亮. 關(guān)于中國學術(shù)期刊標準化數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)工程的進展［EB/OL］. http://www.cajcd.edu.cn/pub/wml.txt/980810-2.html,1998-08-16/1998-10-04.</p><p>　　萬錦坤. 中國大學學報論文文摘(1983-1993). 英文版［DB/CD］. 北京:中國大百科全書出版社，1996.&

42、lt;/p><p>　　△請按下列例子的格式輸入“各種未定義類型的文獻”：</p><p>　　序號 主要責任者. 文獻題名［Z］.出版地：出版者，出版年.</p><p><b>　　附　錄</b></p><p><b>　　附錄1</b></p><p><b>

43、　　Lingo程序：</b></p><p><b>　　（1）的求法</b></p><p><b>　　Model:</b></p><p>　　max=0.45*x1+0.35*x2+0.44*x3+0.34*x4;</p><p>　　x1>=0;x2>=0;x3&g

44、t;=0;x4>=0;</p><p>　　x1+x2<=10;</p><p><b>　　x3+x4<=2;</b></p><p>　　9.7*x1+7.23*x2+7.55*x3+5.89*x4<=100.8;</p><p>　　1.65*x1+1.4*x2<=15.6;</

45、p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　結(jié)果：</b></p><p>　　Global optimal solution found at iteration: 8</p><p>　　Objective value:

46、 4.922510</p><p>　　Variable Value Reduced Cost</p><p>　　X1 5.425101 0.000000</p><p>　　X2 4.574899 0.000000</p

47、><p>　　X3 2.000000 0.000000</p><p>　　X4 0.000000 0.3279352E-01</p><p>　　Row Slack or Surplus Dual Price</p><p>　　1 4.9225

48、10 1.000000</p><p>　　2 5.425101 0.000000</p><p>　　3 4.574899 0.000000</p><p>　　4 2.000000 0.000000</p><p&

49、gt;　　5 0.000000 0.000000</p><p>　　6 0.000000 0.5728745E-01</p><p>　　7 0.000000 0.1343320</p><p>　　8 0.000000 0.4

50、048583E-01</p><p>　　9 0.2437247 0.000000</p><p><b>　?。?）的求法：</b></p><p><b>　　Model:</b></p><p>　　max=800*x1+580*x2+685*x3+575*x

51、4;</p><p>　　x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;</p><p>　　x1+x2<=10;</p><p><b>　　x3+x4<=2;</b></p><p>　　9.7*x1+7.23*x2+7.55*x3+5.89*x4<=100.8;</

52、p><p>　　1.65*x1+1.4*x2<=15.6;</p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　結(jié)果：</b></p><p>　　Global optimal solution found at iteration: 0</p&g

53、t;<p>　　Objective value: 8491.856</p><p>　　Variable Value Reduced Cost</p><p>　　X1 9.177320 0.000000</p><p>

54、;　　X2 0.000000 16.28866</p><p>　　X3 0.000000 26.90722</p><p>　　X4 2.000000 0.000000</p><p>　　Row Slack or Surplus Dual

55、Price</p><p>　　1 8491.856 1.000000</p><p>　　2 9.177320 0.000000</p><p>　　3 0.000000 0.000000</p><p>　　4 0.0

56、00000 0.000000</p><p>　　5 2.000000 0.000000</p><p>　　6 0.8226804 0.000000</p><p>　　7 0.000000 89.22680</p><

57、;p>　　8 0.000000 82.47423</p><p>　　9 0.4574227 0.000000</p><p><b>　　(3) 的求法：</b></p><p><b>　　命令（y代表）</b></p><

58、p><b>　　Model:</b></p><p><b>　　max=y;</b></p><p>　　x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;y>=0;</p><p>　　0.45*x1+0.35*x2+0.44*x3+0.34*x4-0.112*y>=4.81;&

59、lt;/p><p>　　800*x1+580*x2+685*x3+575*x4-127.26*y>=8364.6;</p><p>　　x1+x2<=10;</p><p><b>　　x3+x4<=2;</b></p><p>　　9.7*x1+7.23*x2+7.55*x3+5.89*x4+2*y<

60、;=102.8;</p><p>　　1.65*x1+1.4*x2+0.1*y<=15.7;</p><p><b>　　y<=1;</b></p><p><b>　　end</b></p><p><b>　　運行結(jié)果</b></p><p&

61、gt;　　Global optimal solution found at iteration: 14</p><p>　　Objective value: 0.7580221</p><p>　　Variable Value Reduced Cost</p>

62、<p>　　Y 0.7580221 0.000000</p><p>　　X1 6.630214 0.000000</p><p>　　X2 3.345960 0.000000</p><p>　　X3 0.6021600

63、 0.000000</p><p>　　X4 1.397840 0.000000</p><p>　　Row Slack or Surplus Dual Price</p><p>　　1 0.7580221 1.000000</p><p>　　2

64、 6.630214 0.000000</p><p>　　3 3.345960 0.000000</p><p>　　4 0.6021600 0.000000</p><p>　　5 1.397840 0.000000</

65、p><p>　　6 0.7580221 0.000000</p><p>　　7 0.000000 -2.173894</p><p>　　8 0.000000 -0.1902234E-02</p><p>　　9 0.2382551E

66、-01 0.000000</p><p>　　10 0.000000 0.3191247</p><p>　　11 0.000000 0.2570091</p><p>　　12 0.000000 0.4273311E-02</p>&l

67、t;p>　　13 0.2419779 0.000000</p><p><b>　　附錄2</b></p><p><b>　　致　謝</b></p><p>　　由衷感謝 老師，這一學期以來對我們的悉心的教導。在他風趣，負責，循循善誘的教學課堂中，使我們領(lǐng)略到了模糊數(shù)學的魅力。

68、老師上課的風格深深的感染了我們，老師上課所舉的風趣幽默的例子，常常在讓我們開懷大笑的同時也理解了所教授的概念與知識，使我們感受到數(shù)學的魅力不僅僅局限于追求精確的解，模糊的結(jié)果也是數(shù)學的另一種美。這種別樣的數(shù)學思維方式，對我們的學習和社會生活都產(chǎn)生了深刻的影響，凡事無絕對，模糊的數(shù)學，很美！</p><p><b>　　作者名 </b></p><p><b&g