二次函數(shù)根的判別式、韋達(dá)定理

1、一元二次方的應(yīng)用及根的判別式、韋達(dá)定理一、根的判別式1.一元二次方程根的判別式的定義：運用配方法解一元二次方程過程中得到，顯然只有當(dāng)時，才能直接2224()24bbacxaa???240bac??開平方得：22424bbacxaa????也就是說，一元二次方程只有當(dāng)系數(shù)、、滿足條件時才有20(0)axbxca????abc240bac????實數(shù)根這里叫做一元二次方程根的判別式24bac?2.判別式與根的關(guān)系：在實數(shù)范圍內(nèi)，一元二次方程

2、的根由其系數(shù)、、確定，它的根的情況(是否20(0)axbxca????abc有實數(shù)根)由確定24bac???判別式：設(shè)一元二次方程為，其根的判別式為：則20(0)axbxca????24bac???①方程有兩個不相等的實數(shù)根0???20(0)axbxca????21242bbacxa????②方程有兩個相等的實數(shù)根0???20(0)axbxca????122bxxa???③方程沒有實數(shù)根0???20(0)axbxca????若，，為有理

3、數(shù)，且為完全平方式，則方程的解為有理根；abc?若為完全平方式，同時是的整數(shù)倍，則方程的根為整數(shù)根?24bbac???2a說明:(1)用判別式去判定方程的根時，要先求出判別式的值:上述判定方法也可以反過來使用，當(dāng)方程有兩個不相等的實數(shù)根時，有兩個相等的實數(shù)根時，沒有實數(shù)根時，0??0??0??(2)在解一元二次方程時，一般情況下，首先要運用根的判別式判定方程的根的情24bac???況(有兩個不相等的實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，無實數(shù)根)

4、當(dāng)時，方240bac????程有兩個相等的實數(shù)根(二重根)，不能說方程只有一個根①當(dāng)時拋物線開口向上頂點為其最低點；0a???②當(dāng)時拋物線開口向下頂點為其最高點0a???3.一元二次方程的根的判別式的應(yīng)用：一元二次方程的根的判別式在以下方面有著廣泛的應(yīng)用：（1）運用判別式，判定方程實數(shù)根的個數(shù)；（2）利用判別式建立等式、不等式，求方程中參數(shù)值或取值范圍；（3）通過判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問題；（4）借助判別式，運用一元二次方程必定有

5、解的代數(shù)模型，解幾何存在性問題，最值問題二、韋達(dá)定理如果一元二次方程（）的兩根為那么，就有20axbxc???0a?12xx，，????212axbxcaxxxx?????比較等式兩邊對應(yīng)項的系數(shù)，得1212bxxacxxa??????????????????????①，②①式與②式也可以運用求根公式得到人們把公式①與②稱之為韋達(dá)定理，即根與系數(shù)的關(guān)系因此，給定一元二次方程就一定有①與②式成立反過來，如果有兩數(shù)滿足①20axbxc???

6、1x，2x與②，那么這兩數(shù)必是一個一元二次方程的根利用這一基本知識?？梢院喗莸?2xx，20axbxc???處理問題利用根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以不求方程的根，而知其根的正、負(fù)性20axbxc???在的條件下，我們有如下結(jié)論：24bac???≥0【例4】已知關(guān)于的方程①有兩個相等的實數(shù)根x2(1)10nxmx????求證：關(guān)于的一元二次方程②必有兩個相等的實數(shù)根y222440mymymn????【鞏固】已知，，判斷關(guān)于的方程的根的情況，并

7、給出必要的說明.0a?bac??x20axbxc???【鞏固】(1998年山東省競賽)設(shè)、、為互不相等的非零實數(shù)，求證：三個方程abc，220axbxc???，220bxcxa???，220cxaxb???不可能都有2個相等的實數(shù)根二、應(yīng)用題【例5】（2006湛江市）近年來，我市開展以“四通五改六進(jìn)村”為載體，以生態(tài)文明為主要特色的新農(nóng)村建設(shè)活動取得了明顯成效下面是市委領(lǐng)導(dǎo)和市民的一段對話，請你根據(jù)對話內(nèi)容，替市領(lǐng)導(dǎo)回答市民提出的問題（