向量數乘運算及其幾何意義平面向量的基本定理及坐標表示練習及答案

1、向量數乘運算及其幾何意義平面向量的基本定理及坐標表示重點知識歸納及講解重點知識歸納及講解1、實數與向量的積定義定義一般地，實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa其長度與方向規(guī)定如下：①|λa|＝|λ||a|②當λ＞0時，λa與a的方向相同；當λ＜0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0與a平行運算律運算律①結合律λ(μa)＝(λμ)a②第一分配律(λμ)a＝λaμa③第二分配律λ(ab)＝λaλb2、兩個向

2、量共線的充要條件（向量共線定理）定理定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且僅有一實數λ，使b＝λa.a.數學表達式數學表達式b∥ab＝λa(a≠0λ∈R).3、平面向量基本定理定理定理如果e1、e2是同一平面內兩個不共線的向量，那么對這一平面內任一向量a，有且僅有一對實數λ1、λ2，使a＝λ1e1λ2e2.基底基底不共線的e1與e2叫做平面內表示所有向量的一組基底.說明：說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線

3、就行.（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一4、平面向量的坐標表示定義定義若i、j為平面直角坐標系中與x軸、y軸同向的單位向量，則對于平面內任一向量a，有且僅有一對實數x、y，使得a＝xiyj；我們把(x，y)稱為向量a的坐標.表達式表達式a＝xiyj＝(x，y)5、向量坐標與點坐標的關系意義意義一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點坐標.表達式表達式若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則①2a－3b＝

4、4e且a＋2b＝－3e；②存在相異實數λ、μ，使λaμb＝0；③xayb＝0（其中實數x、y滿足xy＝0）；④已知梯形ABCD，其中A①②B①③C②④D③④解析：A、B均含有①，而C、D均含有④，所以可先判定①或④若①能使a、b共線，則只有從A、B中進一步作出選擇，若①不能使a、b共線，則應從C、D中進一步作出選擇首先判定①能否使a、b共線由向量方程組：∴b＝10a，∴a、b共線，因此可排除C、D而由②可得λ、μ是相異實數，所以λ、μ不

5、同時為0，不妨設μ≠0，∴，故a、b共線，所以排除B，選擇A答案：A例2、如圖所示，已知梯形ABCD中AD∥BC，E、F分別是AD、BC邊上的中點，且BC＝3AD，試以a、b為基底表示分析：我們首先應根據AD∥BC且AD＝BC，用b表示，然后反復采用向量和與差的三角形法則就可計算出所求向量解答：AD∥BC且AD＝BC，例3、如果向量，其中i、j分別是x軸、y軸正方向上的單位向量，試確定實數m的值使A、B、C三點共線.分析：由A、B、C三