數(shù)學(xué)建模的多種作戰(zhàn)模型

1、數(shù)學(xué)建模中的作戰(zhàn)模型數(shù)學(xué)建模中的作戰(zhàn)模型在第一次世界大戰(zhàn)期間，F(xiàn)W蘭徹斯特（Lanchester）投身于作戰(zhàn)模型的研究，他建立了一些可以從中得到交戰(zhàn)結(jié)果的數(shù)學(xué)模型，并得到了一個(gè)很重要的“蘭徹斯特平方定律”：作戰(zhàn)部隊(duì)的實(shí)力同投入戰(zhàn)斗的戰(zhàn)士人數(shù)的平方成正比。對(duì)于一次局部戰(zhàn)斗，有些因素可以不考慮，如氣候，后勤供應(yīng)，士氣的高低，而有些因素我們把雙方看成是相同的，如武器配備，指揮藝術(shù)。還可簡(jiǎn)單地認(rèn)為兩軍的戰(zhàn)斗力完全取決于兩軍的士兵人數(shù)。兩軍士兵都

2、處于對(duì)方火力范圍內(nèi)，由于戰(zhàn)斗緊迫，短暫，也不考慮支援部隊(duì)。一、正規(guī)戰(zhàn)模型：令表ｔ時(shí)刻甲軍人數(shù)表ｔ時(shí)刻乙軍人數(shù)：??Xt??yt在以上假設(shè)下，顯然甲軍人數(shù)的減員率與乙軍人數(shù)成正比，同樣乙軍減員率與甲軍人數(shù)成正比可得正規(guī)部隊(duì)對(duì)正規(guī)部隊(duì)的作戰(zhàn)模型為(1)dxdtaydydtbx?????????其中a0，b0均為常數(shù)，積分（1）得(2)aybxaybxc220202????這就是“蘭徹斯特平方定律”，（2）式在XY平面上是一族雙曲線。如圖17

3、.8所示，雙曲線上的箭頭表示戰(zhàn)斗力隨著時(shí)間而變化的方向。由圖17.8可知，乙軍要想獲勝，即要使不等式成立?？刹捎脙煞N方式：(1)2020bxay?增加a，即配備更先進(jìn)的武器；(2)增加最初投入戰(zhàn)斗的人數(shù)。但是，值得注意的是：y0在上式中，a增大兩倍，結(jié)果也增大兩倍，但增大兩倍則會(huì)使增大四倍。這正ay02y0ay02是兩軍擺開戰(zhàn)場(chǎng)作正規(guī)戰(zhàn)時(shí)蘭徹斯特平方定律的意義，說明兵員增加戰(zhàn)斗力將大大增加。如果考慮兩軍作戰(zhàn)時(shí)有增援，令和分別表示甲軍和乙

4、軍t時(shí)刻的增援率，)(tf)(tg所謂增援率，就是增援戰(zhàn)士投入戰(zhàn)斗或戰(zhàn)士撤離戰(zhàn)斗的速率。此時(shí)正規(guī)部隊(duì)對(duì)正規(guī)部隊(duì)的作戰(zhàn)模型為(3)???????????)()(tgbxdtdytfaydtdx現(xiàn)在回答一開始時(shí)提出的問題，設(shè)甲軍有m=100人，乙軍有n=50人，兩軍裝備性能相同，(8)dxdtcxydydtdx?????????積分(8)式得(9)cydxcydxM202022????(9)式在xy平面上定義了一族拋物線，如圖17.9所示：