解析幾何中設(shè)而不求專題練習(xí)(含參考答案)

1、1解析幾何中設(shè)而不求專題練習(xí)解析幾何中設(shè)而不求專題練習(xí)設(shè)而不求是解析幾何的重要解題策略，在許多題目的解答中，常?？梢云鸬胶?jiǎn)化計(jì)算的作用。許多同學(xué)會(huì)問(wèn)：什么情況下，可以通過(guò)設(shè)而不求解答問(wèn)題呢？一、利用曲線與方程的關(guān)系：一、利用曲線與方程的關(guān)系：1.已知兩圓，，求兩圓的公共弦方程221:210240Cxyxy?????222:2280Cxyxy?????及弦長(zhǎng)。解：兩圓方程相減，得，兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)均滿足此方程，故此方程即為公共弦所在直240

2、xy???線方程。又圓的圓心到公共弦的距離，且（為公2C2(11)C??12455d?????22222ldr????????l共弦長(zhǎng)），，即公共弦長(zhǎng)為。222225lrd????25注：其中求公共弦的方程時(shí)即用到了設(shè)而不求思想。2.過(guò)圓外一點(diǎn)P（a，b）引圓的兩條切線，求經(jīng)過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的直線方程。222ryx??解：設(shè)兩個(gè)切點(diǎn)分別為P1（），P2（），則切線方程為：，11yx，22yx，211PPrbyax:1??l。222PPrbya

3、x:2??l可見(jiàn)P1（），P2（）都滿足方程，由直線方程的定義得：，即11yx，22yx，2rbyax??2rbyax??為經(jīng)過(guò)兩個(gè)切點(diǎn)的直線方程。二、利用圓錐曲線的定義：二、利用圓錐曲線的定義：1.已知橢圓為焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，，求。2122FF19y25x、，??3PFF21???21PFFS?1.解析：由題意知點(diǎn)P為橢圓上一點(diǎn)，根據(jù)橢圓的定義。10|PF||PF|21??再注意到求的關(guān)鍵是求出這一整體，則可采用如下設(shè)而不求的解

4、法：21PFFS?|PF||PF|21?設(shè)2211r|PF|r|PF|??，由橢圓定義得①10rr21??由余弦定理得②643cosrr2rr212221????①2－②得，12rr21?333sinrr21S21PFF21?????三、利用點(diǎn)差法：三、利用點(diǎn)差法：1.求過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)A（1，1）的弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程。16y4x22??解析：設(shè)動(dòng)弦PQ的方程為，設(shè)P（），Q（），M（），則：)1x(k1y???11yx，22yx，0

5、0yx，①16y4x2121??②16y4x2222??3.1373231262319)1(2)(2)1(222222?????????????????kkkkkkkxxkxxkBABA解此不等式得.0131315613732222??????kkkk即于是③.31151322??kk或由①、②、③得.11513314122????kk或故k的取值范圍為)11513()3321()2133()15131(???????2.已知平面上一定

6、點(diǎn)C（4，0）和一定直線為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作，垂足為Q，且Pxl1:?lPQ?.0)2)(2(???????????????PQPCPQPC（1）問(wèn)點(diǎn)P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；（2）設(shè)直線與（1）中的曲線交于不同的兩點(diǎn)A、B，是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB1:??kxyl為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，說(shuō)明理由.解：（1）設(shè)P的坐標(biāo)為，由得)(yx0)2()2(????PQPCPQPC（2分）∴（

7、（4分）0||4||22??PQPC0)1(4)4222?????xyx化簡(jiǎn)得∴P點(diǎn)在雙曲線上，其方程為（6分）.112422??yx.112422??yx（2）設(shè)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，)(11yx)(22yx由得（7分）?????????1124122yxkxy0132)3(22????kxxk，（8分）22122131332kxxkkxx???????∵AB與雙曲線交于兩點(diǎn)，∴△0，即0)13)(3(4422????kk解得（9分

8、）.213213???k∵若以AB為直徑的圓過(guò)D（0，－2），則AD⊥BD，∴，1???BDADkk即，（10分）1222211?????xyxy∴12121212(2)(2)0(3)(3)0yyxxkxkxxx?????????∴)12.(09323)313)(1(09)(3)1(22221212分??????????????kkkkkxxkxxk解得，故滿足題意的k值存在，且k值為.)213213(414872??????kk414