淺談一類有約束條件的最值題的解法

1、活用數(shù)形結合求解一類有約束條件的最值題活用數(shù)形結合求解一類有約束條件的最值題西安市第一中學西安市第一中學張蓮生張蓮生簡單線性規(guī)劃是現(xiàn)行高中數(shù)學教材必修5的一部分必修內容，是解決一些在線性約束條件下的線性目標函數(shù)的最值（最大值或最小值）的問題。它是運籌學的一個重要內容，對于形成最優(yōu)化思想有著重要的作用，并且在實際生產(chǎn)活動中也有著廣泛的應用，可以實現(xiàn)對資源的最佳利用。簡單線性規(guī)劃只能解決一些二元線性約束下條件下的二元函數(shù)的最值問題，但它的思

2、想可以延伸到其他的數(shù)學最值問題的求解過程中。簡單線性規(guī)劃的基本思想即在一定的約束條件下，通過數(shù)形結合求函數(shù)的最值。解決問題時主要是借助平面圖形，運用這一思想能夠比較有效地解決一些二元函數(shù)的最值問題。本文將從規(guī)劃的思想出發(fā)來探討高中數(shù)學中一類有約束條件的最值問題的解法。一、線性約束條件下的二元函數(shù)最值問題一、線性約束條件下的二元函數(shù)最值問題在這類問題中它的線性約束條件是一個二元一次不等式組，可行域就是線性約束條件中不等式所對應的方程所表示

3、的直線所圍成的區(qū)域，區(qū)域內各點的坐標即為可行解。當目標函數(shù)是一個二元一次函數(shù)時，在可行解中使得目標函數(shù)取得最大值和最小值的點的坐標即簡單線性規(guī)劃的最優(yōu)解；當目標函數(shù)不是二元一次函數(shù)時，可以利用目標函數(shù)所具有的幾何意義轉化求解.（一）利用直線的截距求線性規(guī)劃的最優(yōu)解（一）利用直線的截距求線性規(guī)劃的最優(yōu)解例1已知、滿足條件，求的最值。xy24250xxyxy????????????3zxy??解：約束條件所表示的可行域如圖1中的陰影部分所示

4、.其中直線與直線的交點2x?250xy????為，直線與直線的(21)P?4xy??250xy????交點為.(31)Q可變形為此時可理解3zxy??3yxz???z為直線的截距.3yxz???現(xiàn)作直線，再作一組與平行的直線.:3lyx??l∵、是上面不等式組所表示的區(qū)域內的點的橫縱坐標，xy∴當直線通過點時，3yxz???(21)P?xyO圖1，?2312111xyyzxx?????????可理解為可行域中點與點連線?z(11)P??

5、的斜率的2倍與1的和易知可行域中點與點連線的斜率最小為，點與AP14B點連線的斜率最大為5P故：，min132142z????max25111z????所以的取值范圍為.z3[11]2評注：本例將目標函數(shù)中式子理解為兩點連線的斜率充分利用了目標函數(shù)11yx??的幾何意義及斜率公式，使問題迎刃而解.211221()yykxxxx????(三)利用兩點間距離公式求形如利用兩點間距離公式求形如的目標函數(shù)的最值的目標函數(shù)的最值22()()zxa

6、yb????例4已知x、y滿足約束條件，求：(1)的最小值；41xyyxx?????????22zxy??(2)最小值.22(2)(1)zxy????解：(1)x、y滿足的約束條件所對應的可行域如圖4所示.可理解為可行域內22zxy??的點到原點的距離的平方.由題知原點和點的連線段最短，即(11)Amin2z?(2)同理，可理解為可22(2)(1)zxy????行域內的點到點的距離的平方，過點(21)PP向直線作垂線垂足為在可行域中，y