一類離散HJB方程的數(shù)值解法.pdf

1、Hamilton-Jacobi-Bellman方程(簡(jiǎn)稱HJB方程)最早出現(xiàn)于用動(dòng)態(tài)規(guī)劃解最優(yōu)控制問題，之后在科學(xué)、工程、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中得到廣泛應(yīng)用．因此HJB方程數(shù)值解的研究是一個(gè)非常熱門的話題；它是偏微分方程數(shù)值解領(lǐng)域中重要課題之一．本文主要是研究離散HJB方程數(shù)值解法，我們?cè)谖闹袠?gòu)造了若干新算法并證明了相應(yīng)算法的收斂性，然后通過數(shù)值試驗(yàn)，證明了算法的有效性． 離散的HJB方程在一定的條件下可用擬變分不等式組來逼近．對(duì)此擬變分不

2、等式組，我們構(gòu)造了松弛迭代格式，當(dāng)ω=1時(shí)即Gauss-Seidel型迭代算法。然后我們考慮基于此算法的區(qū)域分解方法，并給出了上述算法的收斂性分析。數(shù)值試驗(yàn)顯示松弛算法中適當(dāng)選取松弛因子，能顯著提高算法的有效性． Lions和Mercier[1]對(duì)離散的HJB方程的數(shù)值解提出了兩種迭代格式，其中的格式I是在迭代的每一步中對(duì)一個(gè)變分不等式進(jìn)行求解．我們對(duì)此格式引進(jìn)一個(gè)松弛因子ω，我們稱它為L(zhǎng)ions-Mercier型的松弛算法。我

3、們給出了此算法的收斂性證明．?dāng)?shù)值例子表明，合理地選取松弛因子，能大大提高算法的運(yùn)算速度． 我們還提出了求解HJB方程的一種新的松弛迭代格式，稱為Gauss-Seidel型迭代．它在每一步迭代只需進(jìn)行簡(jiǎn)單的算術(shù)運(yùn)算，而不需求解線性方程組或線性互補(bǔ)問題，且每一步迭代都用到了上一步的最新結(jié)果．此算法的收斂性比傳統(tǒng)算法快，我們用數(shù)值試驗(yàn)表明了這一點(diǎn)．算法的單調(diào)收斂性也得到了證明． 最后，我們對(duì)離散的HJB方程的提出了新的多重網(wǎng)格