牛頓迭代法

1、牛頓迭代法牛頓迭代法摘要摘要：迭代法是一種不斷用變量的舊值遞推新值的過程，在現(xiàn)代計算機計算方面有著重要應用。牛頓迭代法是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)域和復數(shù)域上近似求解方程的方法，多數(shù)方程不存在求根公式，因此求精確根非常困難，甚至不可能，從而尋找方程的近似根就顯得特別重要。關鍵字關鍵字：迭代；方程；算法前言前言：牛頓法（Newtonsmethod）又稱為牛頓拉弗森方法（NewtonRaphsonmethod），牛頓法是一種特殊形式的迭

2、代法，它是求解非線性方程最有效的方法之一。其基本思想是：利用泰勒公式將非線性函數(shù)在方程的某個近似根處展開，然后截取其線性部分作為函數(shù)的一個近似，通過解一個一元一次方程來獲得原方程的一個新的近似根。一、牛頓迭代法的起源一、牛頓迭代法的起源在計算數(shù)學中，迭代是通過從一個初始估計出發(fā)尋找一系列近似解來解決問題（一般是解方程或者方程組）的數(shù)學過程，為實現(xiàn)這一過程所使用的方法統(tǒng)稱為迭代法。迭代法是求方程近似根的一個重要方法，也是計算方法中的一種基

3、本方法，它的算法簡單，是用于求方程或方程組近似根的一種常用的算法設計方法。牛頓迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大優(yōu)點是在方程f(x)=0的單根附近具有平方收斂，而且該法還可以用來求方程的重根、復根。牛頓法是方程求根的一個有力方法，常常能快速求出其他方法求不出或者難以求出的解。牛頓法最初由艾薩克牛頓在《流數(shù)法》（MethodofFluxions，1671年完成，在牛頓死后的1736年公開發(fā)表）。約瑟夫拉弗森也曾于1690年在Analy

4、sisAequationum中提出此方法。二、牛頓迭代法的思想及分析二、牛頓迭代法的思想及分析設當前點為xk，將f(x)在xk處泰勒展開并截取線性部分得f(x)≈f(xk)f’(xk)(x?xk)令上式右端為0，解得xk1=xk?f(xk)f’(xk)k=01該式稱為牛頓迭代公式。根據(jù)導數(shù)的幾何意義及上述推導過程可知，牛頓法的幾何上表現(xiàn)為：xk1是函數(shù)f(x)在點(xkf(xk))處的切線與x軸的交點。因此，牛頓法的本質是一個不斷用切線

5、來近似曲線的過程，故牛頓法也稱為切線法。牛頓迭代法實質上是一種線性化方法其基本思想是將非線性方程逐步歸結為某種線性方程來求解。牛頓迭代求根的方法：設方程為f(x)=0，用某種數(shù)學方法導出等價的形式x=g(x)，按下面步驟執(zhí)行：（1）選一個方程的近似根，賦給變量x0；（2）將x0的值保存于變量x1，然后計算g(x1)，并將結果存于變量x0；（3）當x0與x1的差的絕對值還小于指定的精度要求時，重復步驟（2）的計算。若方程有根，并且用上述