不動點定理及其應(yīng)用(高考)

1、I摘要本文首先介紹Banach空間中的不動點定理、在其他線性拓?fù)淇臻g中不動點定理的一維推廣形式、在一般完備度量空間上的推廣形式.其次通過分析近幾年全國各地高考數(shù)學(xué)卷中一些試題特點總結(jié)了利用不動點定理求解有關(guān)數(shù)列的問題.其中包括數(shù)列通項、數(shù)列的有界性問題.最后介紹了不動點定理中的吸引不動點和排斥不動點在討論數(shù)列的單調(diào)性及收斂性方面的應(yīng)用.關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：Banach不動點定理數(shù)列通項，有界性，單調(diào)性，收斂性.AbstractThisarti

2、clefirstlyintroducedtheFixpointTheeminBanachspacetheonedimensionalextendedfmoftheFixpointTheeminotherlineartopologicalspacetheextendedfmingeneralcompletemetricspace.ThenwesummarizedtheproblemonsequenceofnumberusingFixpoi

3、ntTheemanalyzingtheacteristicsoftestsemergedonmathpapersofallpartsofourcountryrecentyearsincludingtheproblemofgeneraltermboundednessofasequenceofnumber.AtlastattractivefixpointrejectionfixpointinFixpointTheemwereintroduc

4、edwhichcansolvetheproblemaboutthemonotonicityastringencyofsequenceofnumber.Keywds:BanachfixedpointtheemSequenceBoundednessMonotonicityConvergence.iii第1章緒論緒論1.11.1導(dǎo)論導(dǎo)論不動點理論的研究興起于20世紀(jì)初荷蘭數(shù)學(xué)家布勞維在1909年創(chuàng)立了不動點理論[1]在此基礎(chǔ)上，不動點定理有了

5、進(jìn)一步的發(fā)展，并產(chǎn)生了用迭代法求不動點的迭代思想美國數(shù)學(xué)家萊布尼茨在1923年發(fā)現(xiàn)了更為深刻的不動點理論，稱為萊布尼茨不動點理論[2]1927年，丹麥數(shù)學(xué)家尼爾森研究不動點個數(shù)問題，并提出了尼爾森數(shù)的概念[3]我國數(shù)學(xué)家江澤涵、姜伯駒、石根華等人則大大推廣了可計算尼森數(shù)的情形，并得出了萊布尼茨不動點理論的逆定理[4]不動點理論一個發(fā)展方向是只限于歐氏空間多面體[5]上的映射不動點理論的另一個發(fā)展方向是不限于歐氏空間中多面體上的映射，而考

6、察一般的距離空間或線性拓?fù)淇臻g上的不動點問題最后給出結(jié)果的是波蘭數(shù)學(xué)家巴拿赫(Bananch)[6]，他于1922年提出的壓縮映像原理發(fā)展了迭代思想，并給出了Banach不動點定理[6]這一定理有著及其廣泛的應(yīng)用，像代數(shù)方程、微分方程、積分方程、隱函數(shù)理論等中的許多存在性與唯一性問題均可以歸結(jié)為此定理的推論1.1.1選題背景選題背景不動點定理在微分方程、函數(shù)方程、動力系統(tǒng)理論等中有極為廣泛的應(yīng)用.函數(shù)的“不動點“理論雖然不是中學(xué)教材的必

7、修內(nèi)容，但是它的存在確實使一些數(shù)學(xué)問題在無法想象中得到了解決.已知遞推公式求其數(shù)列通項，數(shù)列有界性、數(shù)列的單調(diào)性及收斂性等，歷來是高考的重點和熱點題型，對那些已知遞推關(guān)系但又難求通項的數(shù)列綜合問題，充分運用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)是解決這類問題的著手點和關(guān)鍵因此，它就自然成為各類數(shù)學(xué)競賽和選擇性考試必選的內(nèi)容之一，尤其在近年的高考中對該定理的應(yīng)用越來越頻繁.1.1.2選題意義選題意義利用“不動點”法巧解高考題，遞推公式求數(shù)列的通項，證明數(shù)列的有界