不動(dòng)點(diǎn)定理

1、分析和拓?fù)湟饬x下的不動(dòng)點(diǎn)定理分析和拓?fù)湟饬x下的不動(dòng)點(diǎn)定理盧步亮步亮（西北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，甘肅蘭州７３００７０）摘要：要：本文從分析和拓?fù)涞慕嵌瓤偨Y(jié)了一系列不同空間中的不動(dòng)點(diǎn)定理和其中一些定理的證明及應(yīng)用.關(guān)鍵詞：關(guān)鍵詞：不動(dòng)點(diǎn)定理；同倫；同調(diào).中圖分類(lèi)號(hào)：中圖分類(lèi)號(hào)：O18FixedpointtheemsintheviewofanalysistopologyLUBuliang(CollegeofMathematicsInfm

2、ationScienceNthwestNmalUniversityLanzhou730070GanSuChina)Abstract:Inthispaperwediscussaseriesoffixedpointtheemsondifferentspacesintheviewofanalysistopology.Especiallytheproofsapplicationsofsomefixedpointtheemsaregiven.Ke

3、ywds:Fixedpointtheemshomotopyhomology不動(dòng)點(diǎn)理論實(shí)質(zhì)上是方程解的存在性與解的個(gè)數(shù)的理論.反之方程解的存在性與解的個(gè)數(shù)問(wèn)題實(shí)際上就是不動(dòng)點(diǎn)的有無(wú)問(wèn)題和不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題.早在1799年，Gauss的代數(shù)基本定理的證明中已經(jīng)運(yùn)用根的重?cái)?shù)與映射的同倫這兩個(gè)概念.18811886年P(guān)oincare的ODE的定性理論的一系列論文研究了閉曲面上向量場(chǎng)的奇點(diǎn)，相當(dāng)于恒同映射類(lèi)的不動(dòng)點(diǎn).他對(duì)于孤立奇點(diǎn)引進(jìn)了指數(shù)這一概念

4、并證明了Lefschetz定理的一個(gè)特例.上世紀(jì)初，荷蘭的直覺(jué)主義拓?fù)鋵W(xué)家Brouwer引進(jìn)了閉n維流形之間的映射的映射度，把指數(shù)的概念從二維推廣到n維.1923年，Lefschetz發(fā)現(xiàn)了Lefschetz定理，他最初提出的只限于X是一個(gè)能定向的閉流形，后來(lái)瑞士數(shù)學(xué)家Hopf打破了流形這一限制，對(duì)齊性的連通的多面體X，可貴的是，更容易的證明了這一定理.再看不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題，Lefschetz定理只解決了在L（f）這條件下有不動(dòng)點(diǎn)的問(wèn)題

5、.0?1927年，丹麥數(shù)學(xué)家的Nielsen關(guān)于能定向的閉曲面X的具有映射度=1的自映射f的不動(dòng)點(diǎn)類(lèi)?理論，德國(guó)的Wecken同時(shí)打破了X是不閉曲面或齊性的多面體這一限制.繼而考慮X是任意的有限的連通的多面體.法國(guó)數(shù)學(xué)家Leray1950年指出不動(dòng)點(diǎn)類(lèi)理論在PDE理論中的應(yīng)用.英國(guó)數(shù)具有相同基點(diǎn)的所有環(huán)路在上述乘法和逆的定義下不能構(gòu)成一個(gè)群，但是經(jīng)過(guò)用“同倫”將所有環(huán)路分類(lèi)后就能到一個(gè)群——基本群引理引理1.2空間內(nèi)具有相同基點(diǎn)的全體環(huán)

6、路構(gòu)成一個(gè)集合，則環(huán)路的同倫是這集合上的一?個(gè)等價(jià)關(guān)系證明見(jiàn)[]定義定義1.3將具有相同基點(diǎn)的所有環(huán)路按同倫這一等價(jià)關(guān)系分成等價(jià)類(lèi)，稱(chēng)這種等價(jià)類(lèi)Xp?為同倫類(lèi)，記所屬的同倫類(lèi)為給出和，可自然地定義同倫類(lèi)的乘積和逆：????????????????????11????????????這個(gè)定義是welldefined即與代表元的選取無(wú)關(guān)定理定理1.1拓?fù)淇臻g中以為基點(diǎn)的所有環(huán)路同倫類(lèi)在定義1.3中的乘積和逆下構(gòu)成?Xx?一個(gè)群，稱(chēng)為在點(diǎn)處的

7、基本群，記為這個(gè)群以處的常值環(huán)路的同倫?Xx?）（xX1?xe類(lèi)為單位元素??e現(xiàn)已通過(guò)同倫對(duì)空間的每一點(diǎn)建立一個(gè)基本群，緊接著就會(huì)產(chǎn)生這樣的問(wèn)題：?x）（xX1?同一空間在不同點(diǎn)處的基本群是否相同即是否同構(gòu)呢？答案是否定的但對(duì)空間略加一點(diǎn)容?易想象的條件即能得出肯定的結(jié)論定理定理1.2若空間是道路連通的，即對(duì)的任意兩點(diǎn)總有中的道路將它們相連則對(duì)任???意兩點(diǎn)、有pqX?）（pX1??）（qX1?根據(jù)這一定理，道路連通空間在每一點(diǎn)處的基

8、本群都同構(gòu)，故可說(shuō)成是的基本群，記??為從基本群的構(gòu)作過(guò)程可以看出，對(duì)中的道路連通子集而言，基本群可以用來(lái)刻畫(huà)）（X1?2R子集是否有“洞”定理定理1.3基本群在同構(gòu)意義下是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，也是同論不變性質(zhì)下面簡(jiǎn)要地介紹一些常見(jiàn)圖形的基本群【例1.1】是中的凸集，特別，則是平凡的，即因?yàn)橐訶nR??nR）（X1???eX?）（1?為基點(diǎn)的任一環(huán)路都可通過(guò)直線同倫收縮到點(diǎn)稱(chēng)基本群平凡的空間為單連通空間，它的特xx點(diǎn)是任一環(huán)路都同倫于一點(diǎn)【例