排列組合中涂色問題的常見方法及策略

1、高三專題講座諸宸教育地址：湯陰一中對面（政通園二區(qū)）短信聯(lián)系：18737276721QQ：1282716295排列組合中涂色問題的常見方法及策略排列組合中涂色問題的常見方法及策略與涂色問題有關(guān)的試題新穎有趣其中包含著豐富的數(shù)學(xué)思想。解決涂色問題方法技巧性強(qiáng)且靈活多變，故這類問題的利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力、分析問題與觀察問題的能力，有利于開發(fā)學(xué)生的智力。本專題總結(jié)涂色問題的常見類型及求解方法。一、區(qū)域涂色問題1、根據(jù)分步計數(shù)原理，對各個

2、區(qū)域分步涂色，這是處理染色問題的基本方法根據(jù)分步計數(shù)原理，對各個區(qū)域分步涂色，這是處理染色問題的基本方法。例1、用5種不同的顏色給圖中標(biāo)①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一種顏色，相鄰部分涂不同顏色，則不同的涂色方法有多少種？分析：先給①號區(qū)域涂色有5種方法，再給②號涂色有4種方法，接著給③號涂色方法有3種，由于④號與①、②不相鄰，因此④號有4種涂法，根據(jù)分步計數(shù)原理，不同的涂色方法有5434240????2、根據(jù)共用了多少種顏色討

3、論，分別計算出各種出各種情形的種數(shù)，再用加法根據(jù)共用了多少種顏色討論，分別計算出各種出各種情形的種數(shù)，再用加法原理求出不同的涂色方法種數(shù)。原理求出不同的涂色方法種數(shù)。例2、（2003江蘇卷）四種不同的顏色涂在如圖所示的6個區(qū)域，且相鄰兩個區(qū)域不能同色。分析：依題意只能選用4種顏色，要分四類：（1）②與⑤同色、④與⑥同色，則有；44A（2）③與⑤同色、④與⑥同色，則有；44A（3）②與⑤同色、③與⑥同色，則有；44A（4）③與⑤同色、②與

4、④同色，則有；（5）②與④同色、③與⑥同色，則有；44A44A所以根據(jù)加法原理得涂色方法總數(shù)為5=12044A例3、（2003年全國高考題）如圖所示，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著方法共有多少種？分析：依題意至少要用3種顏色1)當(dāng)先用三種顏色時，區(qū)域2與4必須同色，②①③④24315①②2③④⑤⑥高三專題講座諸宸教育地址：湯陰一中對面（政通園二區(qū)）短信聯(lián)系：1873

5、7276721QQ：1282716295（3）當(dāng)相間區(qū)域A、C、E著三種不同的顏色時有種著色方法，此時34AB、D、F各有2種著色方法。此時共有種方法。34222192A????故總計有108432192=732種方法。說明：關(guān)于扇形區(qū)域區(qū)域涂色問題還可以用數(shù)列中的遞推公來解決。二、點(diǎn)的涂色問題方法有：（方法有：（1）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論）可根據(jù)共用了多少種顏色分類討論（2）根據(jù)相對頂點(diǎn)是否同色分類討論，）根據(jù)相對頂點(diǎn)是否同色

6、分類討論，（3）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成區(qū)域涂色問題。）將空間問題平面化，轉(zhuǎn)化成區(qū)域涂色問題。例6、將一個四棱錐的每個頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱的兩端點(diǎn)SABCD?異色，如果只有5種顏色可供使用，那么不同的染色方法的總數(shù)是多少？解法一解法一：滿足題設(shè)條件的染色至少要用三種顏色。（1）若恰用三種顏色，可先從五種顏色中任選一種染頂點(diǎn)S，再從余下的四種顏色中任選兩種涂A、B、C、D四點(diǎn)，此時只能A與C、B與D分別同色，故有種方法。1254

7、60CA?（2）若恰用四種顏色染色，可以先從五種顏色中任選一種顏色染頂點(diǎn)S，再從余下的四種顏色中任選兩種染A與B，由于A、B顏色可以交換，故有種染法；再從余下的兩種顏色中任選一種染D或C，而24AD與C，而D與C中另一個只需染與其相對頂點(diǎn)同色即可，故有種方法。12115422240CACC?（3）若恰用五種顏色染色，有種染色法55120A?綜上所知，滿足題意的染色方法數(shù)為60240120=420種。解法二解法二：設(shè)想染色按S—A—B—C