垂徑定理—知識講解(提高)

1、1垂徑定理垂徑定理—知識講解（提高）知識講解（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)】1理解圓的對稱性；2掌握垂徑定理及其推論；3學(xué)會運用垂徑定理及其推論解決有關(guān)的計算、證明和作圖問題【要點梳理要點梳理】知識點一知識點一、垂徑定理垂徑定理1.1.垂徑定理垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.2.2.推論推論平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.要點詮釋：要點詮釋：(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結(jié)論，即(2)

2、這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.知識點二知識點二、垂徑定理的拓展垂徑定理的拓展根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：（1）平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；（2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.（4）圓的兩條平行弦所夾的弧相等.要點詮釋：要點詮釋：在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對

3、的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時，平分的弦不能是直徑）【典型例題典型例題】類型一、應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計算與證明類型一、應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計算與證明1.如圖，⊙O的兩條弦AB、CD互相垂直，垂足為E，且AB=CD，已知CE=1，ED=3，則⊙O的半徑是3【高清ID號：356965關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）：例2例3】2.已知：⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD

4、，AB=12cm，CD=16cm，求AB、CD間的距離.【思路點撥】在⊙O中，兩平行弦AB、CD間的距離就是它們的公垂線段的長度，若分別作弦AB、CD的弦心距，則可用弦心距的長表示這兩條平行弦AB、CD間的距離.【答案與解析】(1)如圖1，當(dāng)⊙O的圓心O位于AB、CD之間時，作OM⊥AB于點M，并延長MO，交CD于N點.分別連結(jié)AO、CO.∵AB∥CD∴ON⊥CD，即ON為弦CD的弦心距.∵AB=12cm，CD=16cm，AO=OC=1

5、0cm，=86=14(cm)圖1圖2(2)如圖2所示，當(dāng)⊙O的圓心O不在兩平行弦AB、CD之間(即弦AB、CD在圓心O的同側(cè))時，同理可得：MN=OMON=86=2(cm)∴⊙O中，平行弦AB、CD間的距離是14cm或2cm.【點評】解這類問題時，要按平行線與圓心間的位置關(guān)系，分類討論，千萬別丟解.舉一反三：舉一反三：【變式變式】在⊙O中，直徑MN⊥AB，垂足為C，MN=10，AB=8，則MC=_________【答案】2或8類型二、垂