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1、*3.3 垂徑定理 垂徑定理1.理解垂徑定理和推論的內(nèi)容,并會(huì)證明,利用垂徑定理解決與圓有關(guān)的問題;(重點(diǎn))2.利用垂徑定理及其推論解決實(shí)際問題.(難點(diǎn))一、情境導(dǎo)入如圖①某公園中央地上有一些大理石球,小明想測(cè)量球的半徑,于是找了兩塊厚 20cm 的磚塞在球的兩側(cè)(如圖②所示),他量了下兩磚之間的距離剛好是 80cm,聰明的你能算出大石頭的半徑嗎?二、合作探究探究點(diǎn)一:垂徑定理【類型一】 利用垂徑定理求直徑或弦的長(zhǎng)度如圖所示,⊙O 的直
2、徑 AB 垂直弦 CD 于點(diǎn) P,且 P 是半徑 OB 的中點(diǎn),CD=6cm,則直徑 AB 的長(zhǎng)是( )A.2 cm B.3 cm 3 2C.4 cm D.4 cm 2 3解析:∵直徑 AB⊥DC,CD=6,∴DP=3.連接 OD,∵P 是 OB 的中點(diǎn),設(shè) OP為 x,則 OD 為 2x,在 Rt△DOP 中,根據(jù)勾股定理列方程 32+x2=(2x)2,解得 x= 3.∴OD=2 ,∴AB=4 .故選 D. 3
3、3方法總結(jié):我們常常連接半徑,利用半徑、弦、垂直于弦的直徑造出直角三角形,然后應(yīng)用勾股定理解決問題.變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 3 題【類型二】 垂徑定理的實(shí)際應(yīng)用如圖,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(圖中的 ),點(diǎn) O 是這段弧的圓心, AB ︵C 是 上一點(diǎn),OC⊥AB,垂足為 D,AB= AB ︵300m,CD=50m,則這段彎路的半徑是________m.解析:本題考查垂徑定理,∵OC⊥AB,AB=300m,
4、∴AD=150m.設(shè)半徑為R,根據(jù)勾股定理可列方程 R2=(R-50)2+1502,解得 R=250.故答案為 250.方法總結(jié):將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,再利用我們學(xué)過的垂徑定理、勾股定理等知識(shí)進(jìn)行解答.變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 8 題【類型三】 垂徑定理的綜合應(yīng)用性質(zhì)把要求的 EF 與 AB 建立關(guān)系,從而解決問題.解:在⊙O 中,∵OE⊥AP,OF⊥PB,∴AE=PE,BF=PF,∴EF 是△ABP的中位
5、線,∴EF= AB= ×10=5(cm).1212方法總結(jié):垂徑定理雖是圓的知識(shí),但也不是孤立的,它常和三角形等知識(shí)綜合來解決問題,我們一定要把知識(shí)融會(huì)貫通,在解決問題時(shí)才能得心應(yīng)手.變式訓(xùn)練:見《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課后鞏固提升”第 2 題【類型三】 動(dòng)點(diǎn)問題如圖,⊙O 的直徑為 10cm,弦AB=8cm,P 是弦 AB 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求OP 的長(zhǎng)度范圍.解析:當(dāng)點(diǎn) P 處于弦 AB 的端點(diǎn)時(shí),OP 最長(zhǎng),此時(shí) OP 為半徑
6、的長(zhǎng);當(dāng)OP⊥AB 時(shí),OP 最短,利用垂徑定理及勾股定理可求得此時(shí) OP 的長(zhǎng).解:作直徑 MN⊥弦 AB,交 AB 于點(diǎn)D,由垂徑定理,得 AD=DB= AB=4cm.12又∵⊙O 的直徑為 10cm,連接 OA,∴OA=5cm.在 Rt△AOD 中,由勾股定理,得OD= =3cm.∵垂線段最短,半 OA2-AD2徑最長(zhǎng),∴OP 的長(zhǎng)度范圍是 3cm≤OP≤5cm.方法總結(jié):解題的關(guān)鍵是明確 OP 最長(zhǎng)、最短時(shí)的情況,靈活利用垂徑定
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