函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)

1、1函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識點(diǎn)【重點(diǎn)知識整合】1.導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù))(xfy?在0xx?處附近有定義，當(dāng)自變量在0xx?處有增量x?時，則函數(shù)()yfx?相應(yīng)地有增量)()(00xfxxfy?????，如果0??x時，y?與x?的比xy??（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即xy??無限趨近于某個常數(shù)，我們把這個極限值叫做函數(shù))(xfy?在0xx?處的導(dǎo)數(shù)，記作0xxy??，即0000()()()limxfxxfxfxx????????.注意：在定義

2、式中，設(shè)xxx???0，則0xxx???，當(dāng)x?趨近于0時，x趨近于0x，因此，導(dǎo)數(shù)的定義式可寫成000000()()()()()limlimxoxxfxxfxfxfxfxxxx????????????.2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)0000()()()limxfxxfxfxx????????是函數(shù))(xfy?在點(diǎn)0x的處瞬時變化率，它反映的函數(shù))(xfy?在點(diǎn)0x處變化的快慢程度.它的幾何意義是曲線)(xfy?上點(diǎn)（)(00xfx）處的切線

3、的斜率.因此，如果)(xfy?在點(diǎn)0x可導(dǎo)，則曲線)(xfy?在點(diǎn)（)(00xfx）處的切線方程為000()()()yfxfxxx????注意：“過點(diǎn)A的曲線的切線方程”與“在點(diǎn)A處的切線方程”是不相同的，后者A必為切點(diǎn)，前者未必是切點(diǎn).3.導(dǎo)數(shù)的物理意義：函數(shù)()sst?在點(diǎn)0t處的導(dǎo)數(shù)0()st?就是物體的運(yùn)動方程()sst?在點(diǎn)0t時刻的瞬時速度v，即0().vst??4幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：0?C(C為常數(shù))；1)(??nnnxx

4、(Qn?)；xxcos)(sin?；xxsin)(cos??；1(ln)xx??；1(log)logaaxex??；()xxee??；()lnxxaaa??.5.求導(dǎo)法則：法則1：[()()]()()uxvxuxvx??????；法則2：[()()]()()()()uxvxuxvxuxvx?????[()]()CuxCux??；3若0x滿足0)(0??xf，且在0x的兩側(cè))(xf的導(dǎo)數(shù)異號，則0x是)(xf的極值點(diǎn)，)(0xf是極值，并

5、且如果)(xf?在0x兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則0x是)(xf的極大值點(diǎn)，)(0xf是極大值；如果)(xf?在0x兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則0x是)(xf的極小值點(diǎn)，)(0xf是極小值.5.求可導(dǎo)函數(shù)()fx的極值的步驟:??1確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù))(xf?；??2求方程()0fx??的根；??3用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查)(xf?在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，那么()fx在這

6、個根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么()fx在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么()fx在這個根處無極值.如果函數(shù)在某些點(diǎn)處連續(xù)但不可導(dǎo)，也需要考慮這些點(diǎn)是否是極值點(diǎn).9.函數(shù)的最大值和最小值:一般地，在閉區(qū)間??ba上連續(xù)的函數(shù))(xf在??ba上必有最大值與最小值注意：??1在開區(qū)間()ab內(nèi)連續(xù)的函數(shù))(xf不一定有最大值與最小值如函數(shù)xxf1)(?在)0(??內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值；??2函數(shù)的最值是比較整個定義

7、域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的??3函數(shù))(xf在閉區(qū)間??ba上連續(xù)，是)(xf在閉區(qū)間??ba上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件??4函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能沒有一個.10.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:由上面函數(shù))(xf的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了設(shè)函數(shù))(xf在??ba上連續(xù)，在

8、()ab內(nèi)可導(dǎo)，則求)(xf在??ba上的最大值與最小值的步驟如下：??1求)(xf在()ab內(nèi)的極值；??2將)(xf的各極值與)(af、)(bf比較得出函數(shù))(xf在??ba上的最值p.【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】1.利用導(dǎo)數(shù)求切線問題中的“在”與“過”在解決曲線的切線問題時，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率是非常重要的一類方法.在求解過程中特別注意：曲線在某點(diǎn)處的切線若有則只有一條，曲線過某點(diǎn)的要切線往往不止一條；切線與曲線的公共點(diǎn)不一定只有一個.因此在