27.2 相似三角形的判定

1、年輕的生命，如初升的旭日。愿充滿朝氣的你們，擁有燦爛的明天！,27.2 相似三角形的判定,類似于判定三角形全等的SAS方法，我們能不能通過兩邊和夾角來判斷兩個(gè)三角形相似呢？,問 題,利用刻度尺和量角器畫△ABC和△A‘B’C‘，使∠A＝∠A‘， 和 都等于給定的值k，量出它們的第三組對(duì)應(yīng)邊BC和B'C'的長(zhǎng)，它們的比等于k嗎？另外兩組對(duì)應(yīng)角∠B與∠B'，∠C

2、與∠C'是否相等？,改變∠A或K值的大小，再試一試，是否有同樣的結(jié)論？,實(shí)際上，我們有利用兩邊和夾角判定兩個(gè)三角形相似的方法：,等于k,∠B =∠B',∠C =∠C',改變k的值具有相同的結(jié)論,∠A＝∠A',,△ABC ∽ △A'B'C',如果兩個(gè)三角形的兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等，并且相應(yīng)的夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．,類似于證明通過三邊判定三角形相似的方法，請(qǐng)你自己證明這個(gè)結(jié)論．

3、,已知：如圖， △A'B'C'和 △ABC中，∠A ' =∠A，A'B'：AB＝A'C'：AC,求證：△A'B'C' ∽ △ABC,證明：在△ABC 的邊AB、AC（或它們的延長(zhǎng)線）上別截取AD＝A'B'，AE＝A'C'，連結(jié)DE，因∠A ' =∠A，這樣△A'B'C' ≌ △ADE,

4、∴ DE//BC,∴ △ADE ∽ △ABC,∴ △A'B'C' ∽ △ABC,,,,A',B',C',A,B,C,D,E,,對(duì)于△ABC和△A'B'C'，如果 ∠B＝∠B'，這兩個(gè)三角形一定相似嗎？試著畫畫看．,不 一 定 相 似,這兩個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的大小有什么關(guān)系？,三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形一定相

5、似嗎？,三個(gè)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等。,觀察你與老師的直角三角尺(300與600) ,會(huì)相似嗎？,思考,相似,畫一個(gè)三角形 ，使三個(gè)角分別為60°，45°,75° 。,①同桌分別量出兩個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)度；②判斷這兩個(gè)三角形相似嗎?,即: 如果一個(gè)三角形的三個(gè)角與另一個(gè)三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形_______．,相似,觀察.gsp,猜想: 如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,那

6、么這兩個(gè)三角形相似.,下面每組的兩個(gè)三角形是否相似？為什么？,,,,,,,①,①,②,③,④,,,,,,,,,A,B,C,F,D,E,A,C,B,D,E,F,B,A,C,D,F,E,30o,30o,,30o,,30o,,,55o,30o,口答,思 考 (1)如果兩個(gè)等腰三角形有一對(duì)底角對(duì)應(yīng)相等那么它 們是否一定相似?有一對(duì)頂角對(duì)應(yīng)相等呢?,(2)有一個(gè)角等于300的兩個(gè)等腰三角形是否相似? 等于1200呢?,例1

7、.弦AB和CD相交于⊙o內(nèi)一點(diǎn)P,求證:PA·PB=PC·PD,,,,A,B,C,D,P,O,,,例2.找出圖中所有的相似三角形并選擇一組加以證明.,,,解： ∵ ∠ A= ∠ A ∠ABD=∠C ∴ △ABD ∽ △ACB ∴ AB : AC=AD : AB ∴ AB2 = AD · AC ∵ AD=2 AC=8

8、∴ AB =4,練習(xí)1. 已知:如圖,∠ABD=∠C AD=2 AC=8，求AB,B,,2、已知：如圖，BD、CE是△ABC的高， 請(qǐng)找出圖中所有的相似三角形并說明理由。,一、復(fù)習(xí)：,1、相似三角形的定義是什么？,答：,對(duì)應(yīng)角,相等，,對(duì)應(yīng)邊,成比例,的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.,2、判定兩個(gè)三角形相似有哪些方法？,答：,A、用定義；,B、用預(yù)備定理；,C、用判定定理1、2、3.,,D、直角三角形相似的判定定理,3、

9、相似三角形有哪些性質(zhì),1、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例2、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)高線、對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比都等于相似比。3、相似三角形面積的比等于相似比的平方。,一.填空選擇題:1.(1) △ ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，且∠AED= ∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC，從而 (2) △ ABC中，AB的中點(diǎn)為E，AC的中點(diǎn)為D，連結(jié)ED， 則△ AED與△ ABC的相似比為______.

10、2.如圖，DE∥BC, AD:DB=2:3, 則△ AED和△ ABC 的相似比為＿＿＿.3. 已知三角形甲各邊的比為3:4:6， 和它相似的三角形乙 的最大邊為10cm， 則三角形乙的最短邊為______cm.4.等腰三角形ABC的腰長(zhǎng)為18cm，底邊長(zhǎng)為6cm,在腰AC上取點(diǎn)D, 使△ABC∽ △BDC, 則DC=______.,AC,2:5,5,2cm,1:2,5. 如圖，△ADE∽ △

11、ACB, 則DE:BC=_____ 。6. 如圖，D是△ABC一邊BC 上一點(diǎn)，連接AD,使 △ABC ∽ △DBA的條件是（ ）. A. AC:BC=AD:BD B. AC:BC=AB:AD C. AB2=CD·BC D. AB2=BD·BC7. D、E分別為△ABC 的AB、AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，∠DCB= ∠ A，把每?jī)蓚€(gè)相似的三角形稱為

12、一組，那么圖中共有相似三角形_______組。,1:3,D,4,二、證明題：1. D為△ABC中AB邊上一點(diǎn)， ∠ACD= ∠ ABC. 求證：AC2=AD·AB.2. △ABC中,∠ BAC是直角，過斜 邊中點(diǎn)M而垂直于斜邊BC的直線 交CA的延長(zhǎng)線于E，交AB于D， 連AM. 求證：① △ MAD ～△ MEA ② AM2=MD · ME

13、3. 如圖，AB∥CD，AO=OB， DF=FB，DF交AC于E， 求證：ED2=EO · EC.,4. 過◇ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)A作一直 線分別交對(duì)角線BD、邊BC、邊 DC的延長(zhǎng)線于E、F、G . 求證：EA2 = EF· EG .5. △ABC為銳角三角形，BD、CE為高 . 求證： △ ADE∽ △ ABC （用兩種方法證明）.6. 已知

14、在△ABC中，∠BAC=90°， AD⊥BC,E是AC的中點(diǎn)，ED交 AB的延長(zhǎng)線于F. 求證: AB:AC=DF:AF.,解:∵∠AED=∠B, ∠A=∠A ∴△AED∽ △ABC（兩角對(duì) 應(yīng)相等，兩三角形相似）

15、 ∴,1.(1) △ ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)， 且∠AED=∠ B，那么△ AED ∽ △ ABC， 從而,,,解 :∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn) ∴DE∥BC，且

16、 ∴ △ADE∽△ABC ∴ 即△ADE與△ABC的相似比為1:2,(2) △ ABC中，AB的中點(diǎn)為D，AC的中點(diǎn)為E，連結(jié)DE，則△ ADE與△ ABC的相似比為______,2.,解: ∵DE∥BC ∴△ADE∽△ABC

17、 ∵AD:DB=2:3 ∴DB:AD=3:2 ∴(DB+AD):AD=(2+3):3 即 AB:AD=5:2 ∴AD:AB=2:5 即△ADE與△ABC的相似比為2:5,如圖，DE∥BC, AD:DB=2:3, 則△ AED和△ ABC 的相似比為＿＿.,3.已知三角形甲各邊的比為3:4

18、:6， 和它相似的三角形乙的最大邊為10cm， 則三角形乙的最短邊為______cm.,解: 設(shè)三角形甲為△ABC ，三角形乙為 △DEF，且△DEF的最大邊為DE，最短邊為EF∵ △DEF∽△ABC∴ DE:EF=6:3即 10:EF=6:3∴ EF=5cm,4.,等腰三角形ABC的腰長(zhǎng)為18cm，底邊長(zhǎng)為6cm,在腰AC上取點(diǎn)D, 使△ABC∽ △BDC, 則DC=______.,解: ∵ △ABC ∽△BDC

19、 ∴ 即 ∴ DC=2cm,5.,解: ∵ △ADE∽△ACB 且 ∴,如圖，△ADE∽ △ACB, 則DE:BC=_____ 。,7. D、E分別為△ABC 的AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC， ∠DCB= ∠ A，把每?jī)蓚€(gè)相似的三角形稱為一組， 那么圖中共有相似三角形_______組。,解: ∵ DE∥BC ∴∠ADE= ∠B

20、, ∠EDC=∠DCB=∠A① ∵ DE∥BC, ∴△ADE ∽ △ABC ② ∵ ∠A= ∠DCB, ∠ADE= ∠B ∴△ADE∽ △CBD③ ∵ △ADE ∽ △ABC △ADE ∽ △CBD ∴ △ABC ∽ △CBD④ ∵ ∠DCA= ∠DCE, ∠A= ∠EDC ∴ △ADC ∽ △DEC,1. D為△ABC中AB邊上一點(diǎn)，∠

21、ACD= ∠ ABC. 求證：AC2=AD·AB,分析:要證AC2=AD·AB，需要先將乘積式改寫為比例式 ，再證明AC、AD、AB所在的兩個(gè)三角形相似。由已知兩個(gè)三角形有二個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，所以兩三角形相似，本題可證。,證明:∵ ∠ACD= ∠ ABC ∠A = ∠ A ∴ △ABC △ACD

22、 ∴ ∴ AC2=AD·AB,2. △ABC中，∠ BAC是直角，過斜邊中點(diǎn)M而垂直于 斜邊BC的直線交CA的延長(zhǎng)線于E， 交AB于D，連AM. 求證：① △ MAD ～△ MEA ② AM2=MD · ME,分析：已知中與線段有關(guān)的條件僅有AM=BC/2=BM=MC,所以首先考慮用兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等去判定兩個(gè)三角形相似。AM是△ MAD

23、 與△ MEA 的公共邊，故是對(duì)應(yīng)邊MD、ME的比例中項(xiàng)。,證明：①∵∠BAC=90° M為斜邊BC中點(diǎn) ∴AM=BM=BC/2 ∴ ∠B= ∠MAD又 ∵ ∠B+ ∠BDM=90° ∠E+ ∠ADE= 90° ∠BDM= ∠ADE,∴∠B=∠E∴∠MAD= ∠E又 ∵ ∠DMA= ∠AME∴△MAD∽ △MEA,② ∵ △MA

24、D∽ △MEA ∴ 即AM2=MD·ME,3. 如圖，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF交AC于E， 求證：ED2=EO · EC.,分析：欲證 ED2=EO·EC，即證： ，只需證DE、EO、EC所在的三角形相似。,證明：∵ AB∥CD ∴ ∠C=∠A

25、 ∵ AO=OB，DF=FB ∴ ∠A= ∠B， ∠B= ∠FDB ∴ ∠C= ∠FDB 又 ∵ ∠DEO= ∠DEC ∴ △EDC∽△EOD ∴ ，即 ED2=EO · EC,4. 過◇ABCD的一個(gè)頂點(diǎn)A作一直線分別交對(duì)角線BD、邊 BC、邊DC的延長(zhǎng)線于E、

26、F、G . 求證：EA2 = EF· EG .,分析：要證明 EA2 = EF· EG ，即 證明 成立，而EA、EG、EF三條線段在同一直線上，無(wú)法構(gòu)成兩個(gè)三角形，此時(shí)應(yīng)采用換線段、換比例的方法。可證明：△AED∽△FEB， △AEB ∽ △GED.,證明：∵ AD∥BF AB∥BC ∴△AED ∽△FEB

27、 △AEB ∽△GED∴∴,5. △ABC為銳角三角形，BD、CE為高 . 求證：△ ADE∽ △ ABC（用兩種方法證明）.,證明一： ∵BD⊥AC，CE⊥AB ∴∠ABD+∠A=90°， ∠ACE+∠A= 90° ∴ ∠ABD= ∠ACE 又∵ ∠A= ∠A ∴△ ABD ∽ △ AC

28、E ∴ ∵ ∠A= ∠A ∴ △ ADE ∽ △ ABC,證明二：∵ ∠BEO= ∠CDO ∠ BOE=∠COD ∴ △BOE ∽ △COD ∴ 即

29、又∵ ∠BOC= ∠EOD ∴ △BOC ∽△EOD ∴ ∠1= ∠2 ∵ ∠1+ ∠BCD=90°， ∠2+ ∠3= ∠ 90° ∴ ∠ BCD= ∠3 又∵ ∠A= ∠A ∴ △ ADE∽

30、 △ ABC,,6. 已知在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，E是AC的 中點(diǎn)，ED交AB的延長(zhǎng)線于F. 求證: AB:AC=DF:AF.,分析：因△ABC∽△ABD，所以 ， 要證 即證 ， 需證△BDF∽△DAF.,

31、證明：∵ ∠BAC=90° AD⊥BC∴ ∠ABC+∠C= 90° ∠ABC+∠BAD= 90°∴ ∠BAD= ∠C∵ ∠ADC= 90° E是AC的中點(diǎn)，∴ED=EC∴ ∠EDC= ∠C∵ ∠EDC = ∠BDF,∴ ∠BDF= ∠C= ∠BAD又∵ ∠F =∠F∴ △BDF∽△DAF.∴∵ ∠BAC=90°，

32、 AD⊥BC∴ △ABC∽△ABD ∴∴,1.已知：如圖，△ABC中，P是AB邊上的一點(diǎn)，連結(jié)CP．滿足什么條件時(shí)△ ACP∽△ABC．,解:⑴∵∠A= ∠A，∴當(dāng)∠1= ∠ACB （或∠2= ∠B）時(shí)，△ ACP∽△ABC ⑵ ∵∠A= ∠A，∴當(dāng)AC:AP＝AB:AC時(shí)， △ ACP∽△ABC⑶ ∵∠A= ∠A，當(dāng)∠4＋∠ACB＝180°時(shí)， △ ACP∽△ABC,答：當(dāng)∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或

33、AC:AP＝AB:AC或∠4＋∠ACB＝180°時(shí),△ ACP∽△ABC.,1、條件探索型,三、探索題,2.如圖：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝a，BC=b，當(dāng)BD與a、b之間滿足怎樣的關(guān)系式時(shí)，兩三角形相似,１,這類題型結(jié)論是明確的，而需要完備使結(jié)論成立的條件．解題思路是：從給定結(jié)論出發(fā)，通過逆向思考尋求使結(jié)論成立的條件．,1.將兩塊完全相同的等腰直角三角板擺成如圖的樣子，假設(shè)圖形中的所有點(diǎn)、線都在同一平面

34、內(nèi)，則圖中有相似（不包括全等）三角形嗎？如有，把它們一 一寫出來.,C,解：有相似三角形，它們是：△ADE∽△BAE, △BAE∽△CDA ，△ADE∽△CDA（△ADE∽△BAE∽△CDA）,2、結(jié)論探索型,2.△在ABC中，AB>AC，過AB上一點(diǎn)D作直線DE交另一邊于E，使所得三角形與原三角形相似，畫出滿足條件的圖形.,,E,,E,,E,,E,這類題型的特征是有條件而無(wú)結(jié)論，要確定這些條件下可能出現(xiàn)的結(jié)論．解題思路是

35、：從所給條件出發(fā)，通過分析、比較、猜想、尋求多種解法和結(jié)論，再進(jìn)行證明.,3、存在探索型,如圖, DE是△ABC的中位線，在射線AF上是否存在點(diǎn)M，使△MEC與△ADE相似,若存在,請(qǐng)先確定點(diǎn) M,再證明這兩個(gè)三角形相似，若不存在，請(qǐng)說明理由.,證明：連結(jié)MC，　　　　　　　　　　　∵DE是△ABC的中位線，　　　　　∴DE∥BC，AE＝EC，　　　　　　又∵M(jìn)E⊥AC, 　　　　　　　　　　∴AM＝CM，　　　　　　　　　　　∴ ∠1

36、= ∠2 ，　　　　　　　　　　　∵∠B=90°，　　　　　　　　　　　∴ ∠4＝ ∠B= 90°，　　　　 　　　　∵AF ∥BC，AM ∥DE, 　　　　　　∴ ∠1= ∠2 ，　　　　　　　　　　　∴ ∠3= ∠2 ,　　　　　　　　　　　∵ ∠ADE＝ ∠MEC=90 ° ， 　　∴ △ADE ∽△MEC．,,,1,2,3,M,解:存在.過點(diǎn)E作AC的垂

37、線,與AF交于一點(diǎn),即M點(diǎn)(或作∠MCA= ∠AED).,4,所謂存在性問題，一般是要求確定滿足某些特定要求的元素有或沒有的問題．解題思路是：先假定所需探索的對(duì)象存在或結(jié)論成立，以此為依據(jù)進(jìn)行計(jì)算或推理，若由此推出矛盾，則假定是錯(cuò)誤的，從而給出否定的結(jié)論，否則給出肯定的證明．,小結(jié),,,相似三角形,2．定義,3．性質(zhì),4．判定,5．應(yīng)用,1.線段成比例,1.比例的基本性質(zhì),2.平行線分線段成比例定理及推論,,1.AA2.

38、SAS3.SSS4.HL,,,對(duì)應(yīng)高,中線,角平分線的比等于相似比,對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比等于相似比,面積比等于相似比的平方,應(yīng)用舉例：如圖4—8—5，△ABC是一塊銳角三角形余料，其中BC=12 cm，高AD=8 cm，現(xiàn)在要把它裁剪成一個(gè)正方形材料備用，使正方形的一邊在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上，問這個(gè)正方形材料的邊長(zhǎng)是多少？,圖4—8—5,,解：設(shè)這個(gè)正方形材料的邊長(zhǎng)為x cm則△PAN的邊PN上的高為（8－x） cm

39、 ∵由已知得：△APN∽△ABC ∴ ， 即 解得：x=4.8答：這個(gè)正方形材料的邊長(zhǎng)為4.8 cm.,相似三角形的性質(zhì)：,1.對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.,2.相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比，對(duì)應(yīng)角平分線的比，周長(zhǎng)的比都等于相似比.,3.相似三角形面積的比等于相似比的平方.,1．　地圖上兩地間的距離（圖上距離）為3厘

40、米，比例尺是1∶1000000，那么兩地間的實(shí)際距離是____________米．2．　已知： ，則 ___________．,30000米,,,27:7,2.過矩形ABCD的頂點(diǎn)A作對(duì)角線AC的垂線分別與CB,CD的延長(zhǎng)線交于E,F.則圖中與△ABC相似的三角形（ ）。,A.4個(gè)B. 5個(gè)C. 6個(gè)

41、D. 7個(gè),,C,3．如果在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別為BC、AC、AB的中點(diǎn)，AB＝5，BC＝12，AC＝13，那么△DEF的周長(zhǎng)＝__________，面積＝__________．,15,7.5,5某生活小區(qū)開辟了一塊矩形綠草地，并畫了甲、乙兩張規(guī)劃圖，其比例尺分別為1∶200和1∶500，求這塊矩形草地在甲、乙兩張圖紙上的面積比.,分析：設(shè)這塊矩形綠地的面積為S，在甲、乙兩張規(guī)劃圖上的面積分別為S1、S2∴S1∶S2=25∶4

42、即：這塊草地在甲、乙兩張圖上的面積比為25∶4,7.如圖，梯形ABCD中AB∥CD, AB=a, BD=b, CD=c,若∠DBC=∠A,則a,b,c使方程 aX2-2bX+c=0有（ ）,分析：,,a,b,c,∵AB∥CD∴ ∠ABD=∠BDC,又∵ ∠DBC= ∠A,∴ △ABD∽ △BDC,∴ AB:BD=BD:CD,∴a:b=b:c,∴b2=ac,,,8.BD,CE是△ABC的高，直線DG⊥BC,且