基于HDG的混合網(wǎng)格法的應用研究.pdf

1、尋求高效求解偏微分方程的方法對科學的發(fā)展起了很大的作用。例如在工程和航空航天科學、通信等許多領域具有相當重要性的計算電磁學，就是利用數(shù)學理論將其轉(zhuǎn)化為求解麥克斯韋方程。而電磁學的應用也促使了求解麥斯威爾方程的計算技術的發(fā)展。
　　在本文中，我們首先介紹了一些在電磁學中應用于求解Maxwell方程的有效方法，如有限元法、間斷伽遼金（DG）方法等。在這些方法的基礎上不斷改進，發(fā)展出了通過引入雜交項求解的雜交間斷伽遼金（Hybrid d

2、iscontinuous Galerkin，HDG）法，它使得方程組最終形成一個只包含雜交項的線性系統(tǒng)。本文就是采用HDG算法來離散求解二維時諧Maxwell方程組。HDG算法不僅保留了DG方法的優(yōu)點，還減少其全局耦合自由度數(shù)目（DOFs），使得求解更快速。然而，一般基于結構化網(wǎng)格的HDG法只適用于形狀規(guī)則的圖形，對于復雜形狀的圖形則難以適應。非結構化網(wǎng)格很好地解決了這一難題，但同時也要消耗大量計算資源。于是，基于這兩種網(wǎng)格而發(fā)展出來的

3、混合網(wǎng)格技術便成為了未來的區(qū)域剖分技術發(fā)展的趨勢。
　　本文的工作是在基于結合非結構化三角形和結構化四邊形的混合網(wǎng)格上使用HDG方法對二維時諧的麥克斯韋方程進行求解。在求解區(qū)域的網(wǎng)格生成過程中，將區(qū)域剖分成兩個部分，內(nèi)部具有復雜幾何的區(qū)域離散成非結構的三角形網(wǎng)格，其余外部自由空間離散成結構的四邊形網(wǎng)格。在HDG框架下，兩種網(wǎng)格的交界處可以很好得到耦合?；诨旌暇W(wǎng)格的HDG算法在保留了HDG法本身適應復雜的幾何形狀、易得到高精度、h

4、p-自適應和天然的并行性等優(yōu)點的同時，減小了計算問題的復雜度和規(guī)模，使得我們可以得到一個更小的線性系統(tǒng)。同時，混合網(wǎng)格結合了結構網(wǎng)格的靈活性和完備性優(yōu)點及非結構網(wǎng)格對復雜外形的適應、網(wǎng)格自適應等優(yōu)點，既滿足了對復雜形狀的適用，又克服了大量消耗計算資源的不足。文章最后通過普通電磁場介質(zhì)散射模型以及納米線散射模型進行數(shù)值實驗模擬實現(xiàn)此方法，并與一般非結構網(wǎng)格的HDG方法進行比較，得出了在獲得相同精度情況下，基于混合網(wǎng)格的HDG方法有更少的自