電磁場與電磁波理論(第二版)(徐立勤,曹偉)第3章習(xí)題解答

1、第 3 章習(xí)題解答 章習(xí)題解答3.1 3.1 對于下列各種電位分布，分別求其對應(yīng)的電場強(qiáng)度和體電荷密度： 對于下列各種電位分布，分別求其對應(yīng)的電場強(qiáng)度和體電荷密度：(1) (1) ； (2) (2) ； ? ?2 , , x y z Ax Bx C ? ? ? ? ? ? , , x y z Axyz ? ?(3) (3) ； (4) (4) 。 ? ?2 , , sin z A B z ? ? ?

2、 ? ? ? ? ? ? ?2 , , sin cos r Ar ? ? ? ? ? ?解： 解：已知空間的電位分布，由 和 可以分別計(jì)算出電場強(qiáng)度和體電荷密度。 E ? ? ??? ? 20 / ? ? ? ? ? ?(1) ? ? 2 x E e Ax B ? ? ?? ? ? ?? ? ?020 2 ? ? ? A ? ? ? ? ? ?(2) ? ? x y z E A e yz e xz e xy ? ? ?? ? ? ? ?

3、? ? ? ? ? 0 20 ? ? ? ? ? ? ?(3) (2 sin ) cos z E e A Bz e A e B ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?20 0 0 4 sin sin 3 sin Bz Bz A A A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(4) ? ? 2 si

4、n cos cos cos sin r E e Ar e Ar e Ar ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ?20 0cos2 cos cos 6 sin cos sin sinA A A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3.5 3.5 如題 如題 3.5 3.5 圖所示上下不對稱的鼓形封閉曲面，其上均勻分布著密度為 圖所示上下不對稱的鼓

5、形封閉曲面，其上均勻分布著密度為 的面電 的面電 0 S ?荷。試求球心處的電位。 荷。試求球心處的電位。解： 解：上頂面在球心產(chǎn)生的電位為2 2 0 01 1 1 1 10 0( ) ( ) 2 2S S d R d R d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?下頂面在球心產(chǎn)生的電位為2 2 0 02 2 2 2 20 0( ) ( ) 2 2S S d R d R d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?側(cè)面在球心產(chǎn)生的電位為

6、 0 030 014π 4πS SSSR R? ? ? ? ? ? ? ?式中 。因此球心總電位為 21 2 1 2 4π 2π ( ) 2π ( ) 2π ( ) S R R R d R R d R d d ? ? ? ? ? ? ?01 2 30S R ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?3.6 3.6 有 和 的兩種介質(zhì)分別分布在 的兩種介質(zhì)分別分布在 和 的半無限大空間。已知 的半無限大空間。已知 時(shí)， 時(shí)， 0 2

7、? ? ? 0 5 ? ? ? 0 z ? 0 z ? 0 z ?。試求 。試求 時(shí)的 時(shí)的 。 20 10 50 x y z E e e e ? ? ?? ? ? ? V / m 0 z ? D ?解： 解：由電場切向分量連續(xù)的邊界條件可得1t 2t E E ? ? 0 0 0 5 20 5 10 x y z D D ? ? ? ? ? ? ? ?代入電場法向方向分量滿足的邊界條件可得1n 2n D D ? ? 0 50 z z D

8、? ?于是有0 0 0 100 50 50 x y z z D e e e ? ? ? ? ? ?? ? ? ?3.9 3.9 如題 如題 3.9 3.9 圖所示，有一厚度為 圖所示，有一厚度為 的無限大平面層，其中充滿了密度為 的無限大平面層，其中充滿了密度為 2d的體電荷。若選擇坐標(biāo)原點(diǎn)為零電位參考點(diǎn)，試求平面層 的體電荷。若選擇坐標(biāo)原點(diǎn)為零電位參考點(diǎn)，試求平面層 ? ? 0π cos x x d ? ? ?之內(nèi)以及平面層以外各區(qū)

9、域的電位和電場強(qiáng)度。 之內(nèi)以及平面層以外各區(qū)域的電位和電場強(qiáng)度。2020d (1 ) dxx d? ?? ? ? ?其通解為3 2 0 01 20 0( ) 6 2 x x x C x C d? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由而由(0) 0 ? ? ? 0 2 ? C 0 ( ) d U ? ? ?00 01 32?? ddU C ? ?因此板間電位分布為3 2 0 0 0 00 0 02 ( ) 6 2 3U d x x x x

10、 d d? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?板間電場強(qiáng)度為2 0 0 0 00 0 02 ( ) 2 3xU d E e x x d d? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?從該式可以求出電場強(qiáng)度為零的位置為20 0 0 0 02 20 0 0 0 0 0 00 0 002 4 ( ) 2 3 2 2 41 ( ) 2 3U dd d U d b b ac x

11、d d a d dd? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?由于我們是討論極板內(nèi)電場強(qiáng)度，因此零點(diǎn)位置為) 32 ( 2 100 000???? ddUd d d x ? ? ? ? ?3.11 3.11 如題 如題 3.11 3.11 圖所示的平板電容器中，分別以兩種不同的方式填充兩種不同的介質(zhì) 圖所示的平板電容器中，分別以兩種不同的方式填充兩種不同的介質(zhì) 和 。當(dāng)兩極板之間

12、外 。當(dāng)兩極板之間外 1 ? 2 ?加電壓 加電壓 時(shí)，試求電容器中電位和電場的分布以及電容器的電容。 時(shí)，試求電容器中電位和電場的分布以及電容器的電容。 0 U解：對于圖 解：對于圖 a：忽略邊緣效應(yīng)，可以認(rèn)為電位分布也只與 有關(guān)，均滿足一維拉普拉斯方程。且由介質(zhì)分界面 x的邊界條件可知，兩種介質(zhì)中的電位分布是相同的，其通解為Cx D ? ? ?根據(jù)已知條件 和 ，解得 0 0 x ? ? ? 0 2 x d U ? ? ? 0 D

13、?和 ，即平板電容器中的電位分布為 02U C d ?02U x d ? ?根據(jù) ，可以得到平板電容器中的電場分布 E ? ? ??? ?為0 dd 2x xU E e e x d? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?對 平板上 ，面電荷密度分別為 0 ? x n x e e ? ? ?? ?01n n0222SU y S d e D e E U y S d?? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ?