推廣的Kahler Ricci流.pdf

1、令(M，ω0)是一緊致無邊Kahler流形，記C1(M)為其第一陳類。Kahler幾何中最重要工作之一是丘成桐證明了Calabi猜想，即：對于第一陳類中任一代表元θ∈2πC1(M)，必存在唯一的Kahler度量ω∈[ω0]，使得Ric(ω)=θ，其中，Ric(ω)為度量ω的Ricci形式。Kahler-Einstein度量的存在性則是Kahler幾何研究中的最重要問題之一，即：當2πC1(M)=k[ω0]時，這里k為一常數(shù)，是否存在唯一

2、的Kahler度量ω∈[ω0]，使得Ric(ω)=kω? Aubin，丘成桐的工作解決了k≤0的情形。k>0時，Kahler-Einstein，度量的存在性是有障礙的，這方面丘成桐，田剛，丁偉岳，F(xiàn)utaki，Bando，Mabuchi等人做了許多重要工作，特別是田剛[12]證明：Kahler-Einstein度量的存在性與某種能量泛函的正則性(properness)是等價的。
　　 一個自然的問題，當2πC1(M)-k[ω0]

3、=[α]≠0時，對于任何θ∈[α]，是否存在唯一的Kahler度量ω∈[ω0]，使得Ric(ω)=kω+θ？
　　 上述問題我們稱之為推廣的Kahler-Einstein度量存在性問題。當常數(shù)k≤0時，利用丘成桐關于復Monge-Amperé方程的結果，可知上述推廣的Kahler-Einstein度量存在性問題必可解。k>0時，則同樣存在障礙，最近張希和張享文考慮了該問題，通過研究復Mange-Ampere方程，在一定條件下得到

4、了推廣的Kahler-Einstein度量存在的充分必要條件。
　　 Kahler Ricci流最先由曹懷東研究，他用拋物的方法重新證明了Calabi-Yau定理。關于Kahler Ricci流收斂性的研究則是近十年來幾何分析領域的研究熱點，這方面Perelman，田剛，陳秀雄，朱熹平，朱小華，Phong等人作了許多重要工作。
　　 本文中我們將利用拋物方法研究推廣的Kahler-Einstein度量存在性問題。在k>0

5、(通常考慮k=1)及閉的實(1，1)形式θ≥0情形下研究下述推廣的Kahler Ricci流()gij-/()t=-Rij-+kgij-+θij-。
　　 本文在第二章對Perelman所引入的W泛函做了相應的推廣，然后利用[16]中的Logarithmic Sobolev不等式證明了推廣后的W泛函在所定義的函數(shù)空間中是有下界的，進而我們定義了μ泛函。與此同時，結合形式θ的半正定性，文章證明了推廣的W泛函在發(fā)展方程下是隨時間單調(diào)

6、遞增的。在這些工作的基礎上，結合偏微分方程解的相關知識，我們證明了μ泛函隨著時間也是單調(diào)遞增的。
　　 在本文的第三章中，借鑒[9]中的方法，我們首先考慮推廣的Ricci勢函數(shù)u(t)滿足的發(fā)展方程d/dtu=△u+u-a(t)其中a(t)=1/v()Mue-udV。隨后我們證明了函數(shù)a(t)是一致有界的，且R-trgθ和u(t)是一致有下界的，之后利用形式θ的半正定性，得到|▽u|2以及R-trgθ的上界可以被推廣的Ricci

7、勢函數(shù)u(t)控制，繼而得到u(t)的上界是可以被流形的直徑控制的。最后，我們推廣了Perelman noncollapsing定理，并在以上基礎上證明了流形直徑diam(M，g(t))的一致有界性。
　　 在本文的第四章，我們借鑒[7]中步驟首先證明了當||u||C0(t)充分小的時候，其可控制住||▽u||C0(t+2)及||R-n-trgθ||C0(t+2)。之后我們推廣了Poincaré不等式，并利用該不等式證明了||u