Ricci流極限的性質(zhì).pdf

1、1982年,Hamilton在他的開創(chuàng)性論文中創(chuàng)立了Ricci流,從此之后,Ricci流就成為學習黎曼幾何性質(zhì)的強大工具。Perelman繼續(xù)Hamilton的工作,利用Ricci流最終解決了Poincaré猜想,請見Perelman的文章[79,80,81].除此之外,利用Ricci流,還給出了黎曼曲面單值化定理新的證明(16,49,23],解決了具有正曲率算子的緊流形的分類[2],和著名的1/4-pinching定理[1],等等。P

2、erelman的文章[79,80,81]中,有很多斷言,但沒有證明或沒有提供詳細證明。例如,[79]里的推論9.3,Perelman只提供了一個證明的重點,后來L.Ni利用Perelman的誘導距離的性質(zhì),第一個給出了這個推論的詳細證明。最近,Chau,Tam和余在他們的文章[29]中也給出了這個推論的另一個詳細證明,他們主要通過利用基本解的估計。另一方面,對于具有非負Ricci曲率的閉流形,L.Ni在2004年已經(jīng)證明了一個類似的結(jié)果

3、。
　　 本文第三章,按照Chau,Tam和余的方法,我們得到了本論文的第一個主要定理。定理A.對于某個T>0,假設(M,g(t))是M×[0,T]的一個超級Ricci流,即滿足()/()Tgij=hij≤Rij,(T=T-t),還假設滿足以下條件：⑴第二Bianchi恒等式；⑵divh(·)=gradH；⑶熱方程型不等式。這里H=gijhij,我們還假設｜▽kRm｜和｜▽kh｜(k=0,1,2)是有界的。假設p是M上的固定點,

4、Z(p,T；x,t)是共軛熱方程的正基本解,中心為(p.T),即,limt→T Z(p,T；x,t)=δp。令u(x,t)=Z(p,T；x,t),且u=e-f/(4πT)n/2。以上定理的證明關鍵點是對于滿足以上條件的超級Ricci流的正基本解具有相同的估計以及我們在以上條件下可以導出一個好的“單調(diào)性”公式。
　　 本文第四章,我們主要是對Perelman的斷言之一提供了詳細證明。定理B.令(Mk,gk(t),xk)是一系列點狀

5、Ricci流()/()tgij=-2Rij的光滑解,這里的Mk具有有界曲率并且(Mk,gk(t))在t∈[0,T]上是完備的。假設對于某個K>0｜Rmk｜(x.t)≤K,()(x,t)∈Mk×[0,T],k∈Z+,和{(Mk,gk(t),xk)},t∈[0,T],在Cheeger-Gromov意義下光滑收斂到Ricci流的一個光滑解(M∞,g∞(t),p),l∈[0,T]。定義Mk×[0,T)上的共軛熱方程,(-()/()t-△+Rk)

6、u=0,的極小正基本解uk滿足,當時間接近于T時,收斂到以xk為中心的δ-函數(shù)；也就是說uk是(-()/()t-△+Rk)u=0上極小正解且 limt↑T uk(.,t)=δxk。那么存在Ф*k(uk)的一個子列在M∞×(0,T)上的每一個緊子集上一致收斂到M∞×(0,T)上共軛熱方程的一個極小正基本解u,這個基本解滿足當時間趨近于T時收斂到以p點為中心的δ-函數(shù)。這個定理的證明主要是利用了[29]中正基本解的相關估計。
　　

7、本文第五章,我們給出了在Ricci流下的數(shù)量曲率的一個局部下界估計和Ricci solitons的一些性質(zhì)。首先,對應于陳兵龍的關于滿足Ricci流的數(shù)量曲率的整體下界估計的結(jié)果,我們得到了一個局部的結(jié)果,通過利用Yokota在文章[99]中的方法。這是本論文的第三個主要定理。定理C.對于任意的0<ε<2/n。假設(Mn,g(t)),t∈[α,β]是Ricci流的一個完備解,給定M上的p點,那么存在只依賴于p和度量g(t),t∈[α,β

8、]的常數(shù)C(p)和常數(shù)G,使得當c≥C(p)時,對于x∈Bg(t)(p,c),t∈(α,β]就有 R(x,t)≥-Be2AB(t-α)+1/e2AB(t-α)-1成立,這里A(ε)=2/n-ε,B(ε)=3C/2√ Aεc2。由這個定理可以導出兩個推論。第一個是數(shù)量曲率的整體下界估計。推論C1.假設(Mn,g(t)),t∈[α,β],是Ricci流的一個完備解,則對于任何的t∈(α,β],有 R≥-n/2(t-α)。由于ancient

9、solution是Ricci流的一個特殊解,具有t∈(-∞,0]。從而我們有下面的性質(zhì)。推論C2.假設(Mn,g(t)),t∈(-∞,0],是Ricci流的一個ancient solution,則對于任何的t∈(-∞,0],有、R≥0下面,我們要學習梯度Ricci solitons的一些性質(zhì)。在很多人對Ricci solitons的學習之后,我們已經(jīng)知道了很多Ricci solitons的性質(zhì)。對于黎曼流形(Mn,g)和Mn上的光滑函數(shù)

10、f以及常數(shù)ε∈IR,如果滿足 Rij+▽i▽jf+ε/2gij=0.我們則稱(Mn,g,f,ε)是梯度Ricci soliton。稱f為勢函數(shù)。如果ε<0,ε=0,或者ε>0,我們稱g分別是收縮的,穩(wěn)定的,或者擴張的。下面的性質(zhì)是陳兵龍在[34]中的一個性質(zhì)的直接結(jié)果,但我們利用Ricci soli-tons的方程給出了一個直接的不同于陳兵龍的證明方法。定理D.假設(Mn,g,f,ε)是一個非緊的完備梯度Ricci soliton。有下

11、列性質(zhì)(1)如果梯度Ricci soliton是收縮的,則R≥0。甚至,如果數(shù)量曲率在某點等于0,則(Mn,g)等距同構(gòu)IRn。(2)如果梯度Ricci soliton是穩(wěn)定的,則R≥0。甚至,如果數(shù)量曲率在某點等于0,則(Mn.g)是Ricci平坦流形。(3)如果梯度Ricci soliton是擴張的,則R≥-nε/2等。甚至,如果數(shù)量曲率在某點等于-nε/2,則(Mn,g)是Einstein流形。對于收縮Ricci soliton具

12、有最大歐式體積增長,已經(jīng)分別被曹懷東和Zhou[32],Munteanu[66]得到。如果假設數(shù)量曲率有一致下界,我們將得到收縮Ricci soli-ton具有最多rσ(σ0的收縮梯度Ricci soliton。那么給定0∈Mn,存在一個只依賴于δ,o和Ricci soliton本身的常數(shù)C<∞,使得對所有的r≥0,都有 v(B(o,r))≤C

13、(r+1)n-2δ。由這個定理很容易推出Carrillo和L.Ni[26]中的一個結(jié)果。推論E1.任意具有非負Ricci曲率的非平坦的收縮梯度Ricci soliton一定有V(g)=0。注意V(g)是在具有非負Ricci曲率的流形上定義為 V(g)=limr∞VolB(p,r)/rn?，F(xiàn)在,3維收縮梯度Ricci solitons已經(jīng)完全被分類了。
　　 本文最后一個主要定理是證明了Petersen和Wylie[83]中的某個

14、定理的一個條件在收縮Ricci soli-ton下自然成立。定理F.假設(M,g,f,-1)是完備收縮梯度Ricci soliton,則有 ∫M｜Ric｜2e-fdμ<∞.甚至,有∫M｜Ric｜2e-fdμ=1/2∫MRe-fdμ。推論F1.假設(M,g,f,-1)是具有W=0的n(n≥3)維完備收縮梯度Riccisoliton,則M一定是Sn,IRn或Sn-1×IR的一個有限商空間。特別地,3維收縮梯度Ricci soliton一定是