具有非一致線性增長生成元的倒向隨機微分方程的Lp(p-1)解.pdf

1、Pardoux-Peng[46]在生成元g滿足一致Lipschitz連續(xù)條件下證明了倒向隨機微分方程(簡記為BSDE)平方可積適應解的存在惟一性,奠定了 BSDE相關理論研宄的基礎.隨著深入的研宄,很多學者發(fā)現(xiàn)了 BSDE在金融數學、隨機最優(yōu)控制和隨機決策、偏微分方程、金融資產定價、微分效用、金融風險度量等領域中的重要應用前景.目前, BSDE理論在國際上產生了重要的影響,并已經成為當前隨機分析和概率論研宄領域中的熱點研宄方向之一.

2、r>　　我們考慮下面形式的非線性倒向隨機微分方程:
　　這里T>0可以為有限或無限,稱為終端時刻;C是 F t-可測的R fc值隨機變量,稱為BSDE的終端變量;g(,.,y,z)是 BSDE的生成元且為Ft-循序可測的隨機函數.我們記上述BSDE(1)的適應解為(執(zhí),灸)問0,件
　　本文主要研宄在生成元g滿足對t不一致線性增長和終端時刻可為有限或無限時BSDE(1)的U(p>1)解的存在性問題。
　　在前兩章,我們

3、主要介紹了與倒向隨機微分方程有關的研宄背景以及一些基礎知識和引理。
　　第三章,我們首先在生成元g滿足關于y弱單調且關于z滿足對t不一致的一致連續(xù)條件下,證明了 BSDE(1)的U(p>1)解的一個一般比較定理:
　　命題3.3.假設 C1J2 G嘩,F t,P), g1和 g2是 BSDE的兩個生成元,并設(y W)和(y2,z.2)分別是 BSDEb1J j1)和 BSDE(g2,T,f2)的一個 U解.如果 dP-a.

4、s., C1< C2, g1(或 g2)滿足假設(A3)和(A4)以及 dP x dt-a.s., g1(t,y2,zt2)< g2(t,yt2,zt2)(或 g1(t,yt1,z1)< g^ K)),則對任意的 t g[o, t]有dP-a.s。
　　命題3.3保證了具有非一致Lipschitz生成元的BSDE的 Up(p>1)解的存在唯一性.且易知上述比較定理包含和推廣了 Cao-Yan[11], Briand-Hu[7],

5、El Karoui-Peng-Quenez[20], Chen-Wang[14], Fan-Jiang-Tian[25]等中的解的比較定理的結果。
　　其次,利用引理3.10,在生成元g滿足非一致線性增長條件下,我們證明了如下的先驗估計。
　　命題3.11.如果(Y,Z)是 BSDE⑴的一個U解,且生成元g滿足假設(H3),則存在一個正的常數C,使得
　　其中 C是一個僅依賴于 p, E[|e|p], E[(/0t f

6、 tdt)P], JqT u(t)dt和 JqT v2(t)dt的正的常數。
　　在第四章中,我們得出了本文的主要結論,即證明了 BSDE在生成元g滿足對 t不一致線性增長和終端時刻可為有限或無限情況下BSDE的 LP(p>1)解的存在性,并且驗證其是一個最小解。
　　定理4.1.假設終端時刻O< T<+⑴和生成元g滿足條件(H2)和(H3),則對任意的C^轉,F t,P), BSDE( I)存在唯一的最小解(y,z) G

7、Sp x Mp。
　　在證明定理4.1時,我們的主要研宄方法是通過構造一族滿足Lipschitz連續(xù)條件且逼近具有非一致線性增長的生成元g的生成元序列{g j,然后證明以{g n}為生成元的B S D E的解{(Y?,Z n)}是 Sp x M p中的一族Cauchy列,并且收斂到BSDE( g,T,C)的解。
　　事實上,本文具有非一致線性增長生成元的倒向隨機微分方程的最小L p(p>1)解的存在性結論包含和改進了 Lep