一類非光滑近哈密頓系統(tǒng)的極限環(huán)分支.pdf

1、論文題目：一類非光滑近哈密頓系統(tǒng)的極限環(huán)分支學(xué)科專業(yè)：應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)位申請(qǐng)人：趙亞楠指導(dǎo)老師：韓茂安教授摘 要H i l b e r t 第1 6 個(gè)問(wèn)題的第二部分是尋求任一扎階多項(xiàng)式系統(tǒng)中極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)和分布f 8 1 0 多年來(lái)，對(duì)這個(gè)問(wèn)題的研究已經(jīng)取得了很多的成果。但是，至今這個(gè)問(wèn)題還沒(méi)有完全解決。近些年來(lái)，非光滑動(dòng)力系統(tǒng)極限環(huán)的研究也有了些長(zhǎng)足的發(fā)展，取得了一些基礎(chǔ)性的成果『9 1 0本論文共分三章，各章內(nèi)容介紹如下：本文第一章為

2、引言，主要內(nèi)容是介紹所研究課題的來(lái)源與現(xiàn)狀，以及本文的研究方法和主要結(jié)論。在第二章我們將運(yùn)用定性分析和分支理論的方法來(lái)研究非光滑近哈密頓系統(tǒng)面d x = 剪+ ￡∑! ％札1 2 m - 1 ，面d y = 一z —z 3 f = 0( 1 )的極限環(huán)分支，其中0 < E 《1 ，Z = 2 n + 1 o r2 n + 2 ，n 和m 是任意的正整數(shù)，并且a o ，n 1 ?n z 是實(shí)數(shù)。這個(gè)系統(tǒng)是文獻(xiàn)【5 】中的系統(tǒng)。文獻(xiàn)[

3、 5 】中的定理，分別給出了極限環(huán)個(gè)數(shù)的最大值的一個(gè)范圍。他們證明了非光滑系統(tǒng)( 1 ) 最多有扎+ m 個(gè)極限環(huán)。進(jìn)一步，他們給出了系統(tǒng)( 1 ) 在m = 1 時(shí)最多有n 個(gè)極限環(huán)，當(dāng)m = 2 且n = 1時(shí)最多有1 個(gè)極限環(huán)。本章的主要目的是給出它的精確值，并且通過(guò)來(lái)求A b e l i a n 積分的展開(kāi)式和用分析方法研究其根的個(gè)數(shù)，并用完備的切比雪夫系統(tǒng)方法來(lái)證明對(duì)于具體的禮，m 非光滑系統(tǒng)( 1 ) 的極限環(huán)的最大個(gè)數(shù)。這

4、一結(jié)果改進(jìn)了[ 5 】的相關(guān)結(jié)果。受[ 5 1 的啟發(fā)，我們將研究多項(xiàng)式系統(tǒng)面d x = ∥+ ￡∑1 ％刪2 州，面d y = 一z + z 3i = 0其中m ≥1 ，j = 2 n + 1 或Z = 2 n + 2 ，n ≥1 ，0 < E 《1 ，m ，n 是任意正整數(shù)且咖，a 1 ，?，a l 是實(shí)數(shù)。f l fr l I r I I I II I I f l l f I I I fY 2 0 9 6 2 5 1T h

5、e s mT o p i c ：L i m i tc y c l eb i f u r c a t i o n so f an o n - s m o o t hn e a r - H a m i l t o n i a ns y s t e mS u b j e c t ：A p p l i e dm a t h e m a t i c sD e g r e eA p p l i c a n t ：I n s t r u c t o

6、r ：A B S T R A C TT h e s e c o n dp a r t o fH i l b e r t ’S 1 6 t hp r o b l e mi s t of i n d t h em a x i m a ln u m b e ra n dr e l a t i v ep o s i t i o n so fl i m i tc y c l e so fp l a n a rp o l y n o m i a l

7、s y s t e mo fd e g r e e 幾．F o rs e v e r a ly e a r s ，t h es t u d y o n t h i sp r o b l e m h a sm a d e a l o to f a c h i e v e m e n t s ．H o w e v e r ，t h i s p r o b l e mh a s n o t b e e n s o l v e dc o m p

8、 l e t e l y ．I n r e c e n ty e a r s ，n o n - s m o o t h d y n a m i c a l s y s t e m s o nl i m i tc y c l e sh a v e h a d c o n s i d e r a b l ed e v e l o p m e n ta n d s o m ef o u n d a t i o n a lr e s u l t

9、 s ．T h i sp a p e rc o n s i s t s o ft h r e ec h a p t e r s ，．t h ep a r t i c u l a rc o n t e n t so fe a c hc h a p t e ra r ea sf o l l o w s ．A sa ni n t r o d u c t i o n ，i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n

10、 t r o d u c et h eb a c k g r o u n do f t h e r e -s e a r c ha n d m a i n t o p i c sw h i c h w i l lb e s t u d i e di nt h ef o l l o w i n gc h a p t e r s ．I ta l s op r o v i d e sa d e s c r i p t i o n o fO U

11、 r m e t h o d sa n d r e s u l t sd e t a i n e di nt h i st h e s i s ．I nC h a p t e r 2 ，w ee m p l o y q u a l i t a t i v ea n a l y s i sa n d m e t h o d s o f b i f u r c a t i o nt h e o r y t os t u d y t h e

12、l i m i tc y c l eb i f u r c a t i o n so fa n o n - s m o o t hn e a r - H a m i l t o n i a ns y s t e m害?蓮刪擴(kuò)一l ，面d y 一。( 1 )f o r0 < ￡《1 ，w h e r eZ = 2 n + l o r2 n + 2 ，禮a n dm a r ea r b i t r a r yp o s i t i

13、v ei n t e g e r sa n da o ，a l ，?，鉚a r er e a l ．T h i ss y s t e m i si n c l u d e di nt h es y s t e m o f 【5 1 ．T h et h e o r e m si n [ 5 】g i v et h e r a n g eo ft h e m a x i m a ln u m b e r so fl i m i tc y c

14、 l e sr e s p e c t i v e l y ．T h e yp r o v e dt h a tt h e n o n - s m o o t hs y s t e m ( 1 ) h a s a tm o s t 幾十m l i m i tc y c l e s ．M o r e o v e r ，t h e y o b t a i n st h a tt h es y s t e m ( 1 ) h a sa tm

15、o s tn l i m i t c y c l e sw h e nm = 1 ．A n d ( 1 ) h a s a tm o s to n e l i m i tc y c l e w h e n m = 2 ．n = 1 ．T h e m a i n p u r p o s eo f t h i st h e s i si st op r o v i d et h e e x a c t v a l u e so f t h

16、e m ，a n d b y s o l v i n g t h ee x p a n s i o n o f t h e A b e l i a n i n t e g r a la n d u s i n ga n a l y s i sm e t h o dt oi n v e s t i g a t et h e n u m b e r o f i t ’S r o o t s ．w eu s eC h e b y s h e