近似隱式化和分片代數(shù)簇某些問題的研究.pdf

1、本文主要針對參數(shù)曲線曲面的近似隱式化和分片代數(shù)簇的某些問題展開研究．主要工作如下： 第二章討論了參數(shù)曲線曲面的近似隱式化．參數(shù)曲線曲面和隱式曲線曲面是計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)和幾何造型中兩種常見的表示形式．將參數(shù)形式的曲線曲面轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式的曲線曲面的過程稱為隱式化．然而，精確隱式化(尤其是曲面的精確隱式化)在幾何造型中沒有得到廣泛的應(yīng)用．這主要是參數(shù)曲線曲面的精確隱式化過程很復(fù)雜而且不一定可以實(shí)現(xiàn)，再加上隱式曲線曲面的階數(shù)很高并且具

2、有不希望的奇異點(diǎn)和多余分支，從而會(huì)引起計(jì)算的不穩(wěn)定性和幾何造型中拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的不一致性，這就大大限制了精確隱式化在實(shí)際中的運(yùn)用． 為了解決上述問題，提出了如下三種近似隱式化算法：首先，利用二階二次代數(shù)樣條曲線對參數(shù)曲線進(jìn)行近似隱式化，所得到的代數(shù)樣條曲線不會(huì)產(chǎn)生多余分支和自交點(diǎn)，并且具有良好的誤差估計(jì)和逼近性質(zhì)．其次，利用Multiquadric擬插值和徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，提出了參數(shù)曲線近似隱式化的另一種方法．該方法具有保形性好，光滑度

3、高，逼近性能好，樣本節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)少等優(yōu)點(diǎn)．最后，考慮到很難將上述兩種方法直接推廣到參數(shù)曲面的近似隱式化，利用緊支集徑向基函數(shù)作多元散亂數(shù)據(jù)插值的技巧提出了參數(shù)曲面近似隱式化的一種算法． 第三章討論了分片代數(shù)簇的某些問題．分片代數(shù)簇作為多元樣條的公共零點(diǎn)集合，是經(jīng)典代數(shù)簇的推廣，它不僅和許多實(shí)際問題如多元樣條插值，CAD 和 CAGD等有關(guān)，而且還為研究經(jīng)典代數(shù)幾何提供理論依據(jù)．因此，研究分片代數(shù)簇是很重要的．首先，討論了分片代數(shù)簇的

4、維數(shù)性質(zhì)，通過引入分片代數(shù)簇完全相交的概念討論了分片代數(shù)簇的維數(shù)與其定義方程組個(gè)數(shù)的關(guān)系。其次，簡要討論了分片代數(shù)曲線的奇點(diǎn)性質(zhì)．再次，為了有效計(jì)算分片代數(shù)簇，討論了凸多面體內(nèi)任意維代數(shù)簇的計(jì)算問題．通過添加超平面技巧將Groebner基方法應(yīng)用到凸多面體內(nèi)任意維代數(shù)簇的計(jì)算上，從而把凸多面體內(nèi)的代數(shù)簇轉(zhuǎn)化為另外一組多項(xiàng)式方程組的正解，并且得到了該代數(shù)簇在凸多面體內(nèi)的極小分解．最后，基于B-樣條系數(shù)的Descartes符號準(zhǔn)則和Bézi

5、er曲線的de Casteljau 算法，我們給出了一元樣條實(shí)根分離算法，也就是計(jì)算出一列不相交區(qū)間，使得每個(gè)區(qū)間恰好只包含此樣條函數(shù)的一個(gè)實(shí)根． 第四章主要構(gòu)造了一類具有緊支集的無窮次可微徑向函數(shù)．眾所周知，Gauss分布函數(shù)是一類廣泛應(yīng)用于多元插值和徑向基網(wǎng)絡(luò)的正定徑向函數(shù)．它具有非常好的逼近效果和指數(shù)衰減性質(zhì)．對Gauss分布函數(shù)離中心遠(yuǎn)處截?cái)啵梢择R上得到緊支集徑向基函數(shù)．然而，這樣得到的緊支集徑向基函數(shù)用于多元插值和函