求解不適定問題的非線性隱式迭代法和正則化GMRES方法.pdf

1、本文主要研究非線性反問題和不適定問題的求解.目前，關(guān)于線性反問題和不適定問題的理論工作已經(jīng)相對完善，在實際應用中也取得良好效果，而非線性反問題和不適定問題的理論和實踐都還有許多需要完善的地方.應該說，現(xiàn)實中大部分數(shù)學物理問題都是用非線性模型來描述的，比如說參數(shù)識別問題，反散射問題，逆Sturm-Liouville問題以及第一類非線性Fredholm方程的求解問題等.因此，探討非線性反問題的理論及有效的數(shù)值解法具有重要的理論和現(xiàn)實意義.

2、 許多處理線性不適定問題的方法和技巧都成功的應用到非線性領(lǐng)域，本文將處理線性不適定算子方程的線性隱式迭代法推廣到非線性不適定問題，從理論分析、具體實現(xiàn)和數(shù)值試驗等方面詳細討論了非線性隱式迭代法，同樣得到很好的效果.本文的主要工作為： 首先，提出非線性隱式迭代法.由于Tikhonov泛函的強制性，其極小點總存在且有界，重點證明出迭代解誤差序列的單調(diào)性，利用迭代誤差的單調(diào)性得出非線性隱式迭代法對精確方程和擾動方程的收斂性.

3、 其次，非線性隱式迭代法具體實現(xiàn)的主要工作是如何極小化每步Tikhonov泛函.當正則化參數(shù)固定時，極小化Tikhonov泛函是一個適定的優(yōu)化問題.原則上，任何非線性最優(yōu)化方法都可以應用到非線性隱式迭代法的具體實現(xiàn)中來.但是，由于一些方法的局部收斂性和Tikhonov泛函的非嚴格凸性，不一定收斂到Tikhonov泛函的全局極小點.本文應用最速下降法和修正的可接受點Gauss-Newton方法具體實現(xiàn)了隱式迭代法，提出兩個算法：IIG

4、RA和IIMGN.從理論上證明了只需對迭代初值加上某些簡單限制，兩步極小化都可以自然連接，而無須中間改變每步迭代初值就能保證收斂性.同時，未加證明的給出結(jié)合非線性共軛梯度法的非線性隱式迭代法IINCG.豐富的數(shù)值試驗表明三個算法是有效的. 再次，給出非線性隱式迭代法的一種變形——替代泛函方法.一方面，此方法雙參數(shù)(Cn和n)同時變化，帶有非定常的味道；另一方面，它通過壓縮映射快速實現(xiàn)極小化Tikhonov替代泛函，實際計算格式簡