一類時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)的規(guī)范型計(jì)算及其應(yīng)用.pdf

1、在自然界和工程系統(tǒng)中，廣泛存在著時(shí)滯現(xiàn)象。隨著人們對(duì)時(shí)滯現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)深化，越來越多的科學(xué)研究涉及到時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)?，F(xiàn)有的滯后型和中立型時(shí)滯微分方程能很好描述一大類常見的時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)，故本文以滯后型和中立型時(shí)滯微分方程為研究對(duì)象。文中的時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)皆是由這兩類時(shí)滯微分方程所描述的、含定常時(shí)滯的動(dòng)力系統(tǒng)。
　　 時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)的無窮維特性使得其分析比無時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)要復(fù)雜的多。規(guī)范型理論作為研究非線性動(dòng)力系統(tǒng)在非雙曲平衡點(diǎn)附近局部動(dòng)力學(xué)的常

2、用工具，在應(yīng)用于時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)時(shí)會(huì)涉及非常復(fù)雜的代數(shù)推導(dǎo)運(yùn)算，耗時(shí)且極易出錯(cuò)。因此，本文提出一套基于規(guī)范型理論的符號(hào)算法，并通過計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Maple實(shí)現(xiàn)，可用于滯后型和中立型時(shí)滯微分方程關(guān)于Hopf分叉的規(guī)范型計(jì)算。與現(xiàn)有的符號(hào)算法不同，該算法可同時(shí)對(duì)時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)進(jìn)行中心流形降維和規(guī)范型計(jì)算，而不需要先計(jì)算得到中心流形后再對(duì)中心流形上的動(dòng)力方程進(jìn)行規(guī)范型計(jì)算。實(shí)現(xiàn)該算法的Maple程序?qū)κ褂谜邲]有關(guān)于掌握規(guī)范型理論的要求，使用者只需要

3、提供描述系統(tǒng)的時(shí)滯微分方程的基本信息，該Maple程序即可提供時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)關(guān)于Hopf分叉的規(guī)范型。
　　 文中應(yīng)用兩種多尺度法方案(多尺度法1，多尺度法2)對(duì)時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)關(guān)于Hopf分叉的規(guī)范型進(jìn)行分析，并將結(jié)果與上述Maple程序的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，得到以下結(jié)論：
　　 多尺度法1得到的規(guī)范型與規(guī)范型理論的結(jié)果完全一致，即為系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)在中心流形上投影所得到的結(jié)果。
　　 多尺度法2得到的規(guī)范型與規(guī)范型理論的結(jié)果

4、不一致，但在分叉點(diǎn)附近，這兩種方法的定性結(jié)果是一致的。應(yīng)用多尺度法2所獲得的并不是系統(tǒng)在中心流形上的投影，而是系統(tǒng)在一個(gè)不斷變動(dòng)流形上的投影，當(dāng)時(shí)滯項(xiàng)是小量且分叉周期解的頻率變化不大時(shí)，多尺度法2不僅能研究Hopf分叉點(diǎn)附近的周期解及其穩(wěn)定性，還能研究系統(tǒng)關(guān)于分叉參數(shù)的大范圍Hopf分叉行為。
　　 本文以時(shí)滯狀態(tài)反饋下的van der Pol系統(tǒng)(滯后型時(shí)滯微分方程)以及含時(shí)滯位移反饋的集裝箱起重機(jī)系統(tǒng)的三階非線性模型(中立型

5、時(shí)滯微分方程)為例，應(yīng)用上述Maple程序以及多尺度法，對(duì)系統(tǒng)的Hopf分叉行為進(jìn)行了細(xì)致分析。研究結(jié)果表明，當(dāng)分叉參數(shù)遠(yuǎn)離分叉點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)的分叉周期解支具有可持續(xù)性。由于起重機(jī)系統(tǒng)需要避免發(fā)生亞臨界Hopf分叉，關(guān)于Hopf分叉的分析結(jié)果對(duì)于如何選擇增益及時(shí)滯大小具有指導(dǎo)意義。
　　 此外，為了驗(yàn)證理論分析結(jié)果，本文應(yīng)用時(shí)滯動(dòng)力系統(tǒng)數(shù)值分析軟件(如DDE－BIFTOOL，RADAR5等)對(duì)上述算例進(jìn)行了數(shù)值分析。對(duì)比研究表明，規(guī)