一類時滯動力系統(tǒng)的規(guī)范型計(jì)算及其應(yīng)用.pdf

1、在自然界和工程系統(tǒng)中，廣泛存在著時滯現(xiàn)象。隨著人們對時滯現(xiàn)象的認(rèn)識深化，越來越多的科學(xué)研究涉及到時滯動力系統(tǒng)。現(xiàn)有的滯后型和中立型時滯微分方程能很好描述一大類常見的時滯動力系統(tǒng)，故本文以滯后型和中立型時滯微分方程為研究對象。文中的時滯動力系統(tǒng)皆是由這兩類時滯微分方程所描述的、含定常時滯的動力系統(tǒng)。
　　 時滯動力系統(tǒng)的無窮維特性使得其分析比無時滯動力系統(tǒng)要復(fù)雜的多。規(guī)范型理論作為研究非線性動力系統(tǒng)在非雙曲平衡點(diǎn)附近局部動力學(xué)的常

2、用工具，在應(yīng)用于時滯動力系統(tǒng)時會涉及非常復(fù)雜的代數(shù)推導(dǎo)運(yùn)算，耗時且極易出錯。因此，本文提出一套基于規(guī)范型理論的符號算法，并通過計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)Maple實(shí)現(xiàn)，可用于滯后型和中立型時滯微分方程關(guān)于Hopf分叉的規(guī)范型計(jì)算。與現(xiàn)有的符號算法不同，該算法可同時對時滯動力系統(tǒng)進(jìn)行中心流形降維和規(guī)范型計(jì)算，而不需要先計(jì)算得到中心流形后再對中心流形上的動力方程進(jìn)行規(guī)范型計(jì)算。實(shí)現(xiàn)該算法的Maple程序?qū)κ褂谜邲]有關(guān)于掌握規(guī)范型理論的要求，使用者只需要

3、提供描述系統(tǒng)的時滯微分方程的基本信息，該Maple程序即可提供時滯動力系統(tǒng)關(guān)于Hopf分叉的規(guī)范型。
　　 文中應(yīng)用兩種多尺度法方案(多尺度法1，多尺度法2)對時滯動力系統(tǒng)關(guān)于Hopf分叉的規(guī)范型進(jìn)行分析，并將結(jié)果與上述Maple程序的結(jié)果進(jìn)行了對比，得到以下結(jié)論：
　　 多尺度法1得到的規(guī)范型與規(guī)范型理論的結(jié)果完全一致，即為系統(tǒng)動力學(xué)在中心流形上投影所得到的結(jié)果。
　　 多尺度法2得到的規(guī)范型與規(guī)范型理論的結(jié)果

4、不一致，但在分叉點(diǎn)附近，這兩種方法的定性結(jié)果是一致的。應(yīng)用多尺度法2所獲得的并不是系統(tǒng)在中心流形上的投影，而是系統(tǒng)在一個不斷變動流形上的投影，當(dāng)時滯項(xiàng)是小量且分叉周期解的頻率變化不大時，多尺度法2不僅能研究Hopf分叉點(diǎn)附近的周期解及其穩(wěn)定性，還能研究系統(tǒng)關(guān)于分叉參數(shù)的大范圍Hopf分叉行為。
　　 本文以時滯狀態(tài)反饋下的van der Pol系統(tǒng)(滯后型時滯微分方程)以及含時滯位移反饋的集裝箱起重機(jī)系統(tǒng)的三階非線性模型(中立型

5、時滯微分方程)為例，應(yīng)用上述Maple程序以及多尺度法，對系統(tǒng)的Hopf分叉行為進(jìn)行了細(xì)致分析。研究結(jié)果表明，當(dāng)分叉參數(shù)遠(yuǎn)離分叉點(diǎn)時，系統(tǒng)的分叉周期解支具有可持續(xù)性。由于起重機(jī)系統(tǒng)需要避免發(fā)生亞臨界Hopf分叉，關(guān)于Hopf分叉的分析結(jié)果對于如何選擇增益及時滯大小具有指導(dǎo)意義。
　　 此外，為了驗(yàn)證理論分析結(jié)果，本文應(yīng)用時滯動力系統(tǒng)數(shù)值分析軟件(如DDE－BIFTOOL，RADAR5等)對上述算例進(jìn)行了數(shù)值分析。對比研究表明，規(guī)