一類拋物型方程組的特征差分格式和特征有限元格式.pdf

1、本論文就一類有界區(qū)域上拋物型方程組模型問題，提出特征差分格式和特征有限元格式，并給出了理論分析和數(shù)值實(shí)驗(yàn).杜寧在2003年提出此模型的一類經(jīng)濟(jì)特征差分格式，在我的文章中，采用二次插值代替線性插值，用能量模方法分析了穩(wěn)定性和收斂性，最后給出了數(shù)值算例；在對對流項(xiàng)系數(shù)做了必要的假設(shè)后，分析了此模型的特征有限元格式，實(shí)質(zhì)上拓廣了J.Douglas，Jr.等人的工作，豐富了對此模型問題的研究和應(yīng)用.全文一共分兩章，兩章的數(shù)學(xué)模型為： {

2、(ψ)(x)(e)u/(e)t-[▽x,A(x,t)▽xu]=B(x,t)▽xu+f(x,t)(x,t)∈Ω×(0,T)],u(x,t)=0(x,t)∈(e)Ω×(0,T)],u(x,0)=u0(x)x∈Ω. 兩章中只是B(x，t)有點(diǎn)差異. 在第一章中，一共分四節(jié)：第一節(jié)，引入特征線后，將拋物型方程組轉(zhuǎn)變成等價的形式: {~(ψ)(x，t)(e)u/(e)r-[▽x,A(x,t)▽xu]=B1(x,t)▽xu+

3、f(x,t),(x,t)∈Ω×(0,T)]u(x,t)=0(x,t)∈(e)Ω×(0,T)],u(x,0)=u0(x)x∈Ω. 第二節(jié)中，就此等價的形式提出了特征差分格式： {(ψ)1,iUn1,i--Un-11,i/△t-δx(an11δxUn1)i-δ-x(an12δxUn2)i=bn12,iUn2,i+1-Un2,i-1/2h+fn1,i,0≤-xi≤1(ψ)1,iUn1,i/kn1,i-δ-x(an11δxUn1

4、)i-δ-x(an12δxUn2)i=bn12,iUn2,i+1-Un2,i-1/2h+fn1,i,-xi＜0,-xi＞1{(ψ)2,iUn2,i--Un-12,i/△t-δ-x(an21δxUn1)i-δ-x(an22δxUn2)i=bn21,iUn1,i+1-Un1,i-1/2h+fn1,i,0≤^xi≤1(ψ)2,iUn2,i/kn2,i-δx(an21δxUn1)u-δx(an22δxUn2)i=bn21,iUn1,i+1-Un

5、1,i-1/2h+fn2,i,^xi＜0,^xi＞1 第三節(jié)，分析了特征差分格式的穩(wěn)定性和收斂性，并給出了如下兩個定理： 定理1.1(特征差分格式的穩(wěn)定性定理) 如果拋物型方程組的系數(shù)滿足假設(shè)條件(Ⅰ)，且△t=O(h2)，U1n-1(x)和U2n-1(x)由二次插值定義，則特征差分格式的解按l2范數(shù)穩(wěn)定. 定理1.2(特征差分格式的收斂性定理) 設(shè)拋物型方程組的系數(shù)滿足假設(shè)條件(Ⅰ)，其解u∈L

6、∞(0，T；w4,2(Ω))，且(e)2u/(e)2r∈L2(0，T；l2).U是特征差分格式的解，則max0≤tn≤T‖un-Un‖≤K(‖u‖L∞(0,T;w4,2(0,1))h2+‖(e)2u/(e)2r‖L2(0,T;l2)△t) 第四節(jié)中：我們就一個具體例子給出數(shù)值實(shí)驗(yàn). 第二章中，一共分四節(jié)：第一節(jié)同上一章第一節(jié)；第二節(jié)，提出了特征有限元格式： {<(ψ)(x)Un+1--n/△t,v>+∫Ω[A(x

7、,tn+1)▽xUn+1,▽xv]dx=(A)v∈μh=(A)v∈μh 第三節(jié)中分析了特征有限元格式的收斂性，并給出了如下定理： 定理2.1(特征有限元格式的收斂性定理) 假設(shè)u是拋物型方程組的解，且系數(shù)滿足條件假設(shè)(Ⅱ)，U是特征有限元格式的解，則 max0≤tn≤T(u-U)n‖2L2+△tM∑n=0‖(u-U)n‖2H10≤K((△t)2+h2