幾類典型的隨機微分方程性質(zhì)及應用.pdf

1、本文分三部分研究一些典型的隨機（偏）微分方程的性質(zhì)及其應用。第一章主要研究一類特殊的擴散過程-斜擴散過程(Skew diffusion process)。斜擴散過程是作為擴散過程的一般化而出現(xiàn)的。自從K.It(o)和H.P.Mckean[1]首次提出斜擴散過程以來，這類過程就迅速引起了很多學者的興趣。斜擴散過程與我們一般意義上的擴散過程不同之處就在于它增加了在某一點的對稱局部時。斜擴散過程滿足如下的隨機微分方程;dXt=μ(Xt)dt+

2、σ(Xt)dWt+βd(L)Xt(α),其中α一般被稱為locus且.|β|≤1.正是由于對稱局部時項的存在，使得過程的樣本軌道變得很有意思。當過程沒有觸碰到α點時，斜擴散過程樣本軌道與一般意義上擴散過程樣本軌道是相同的，一旦當它觸碰到locusα點，斜擴散過程將會以1+β/2的概率向上運動，而以1+β/2的概率向下運動。值得我們注意的是，如果β=0，那么它就退化成我們一般意義上的擴散過程;而如果|β|=1，斜擴散過程就變成了反射過程。

3、本章主要以斜O(jiān)U過程為例，研究斜擴散過程的性質(zhì)及應用。1.1節(jié)給出斜O(jiān)U過程的解的存在唯一性，轉(zhuǎn)移密度，首達時分布等過程本身的性質(zhì)，并且給出斜O(jiān)U過程在金融中的一些應用。1.2節(jié)研究過程的占位時計算。占位時是隨機過程很重要的一個方面，但是關于過程的占位時很少有清晰的表達式。我們在這里主要是采用[2]的方法，清晰地給出了斜O(jiān)U過程在出[c，d]之前在區(qū)間[α，b]（c≤α≤b≤d）的占位時的Laplace變換。
　　在第二章，我們主

4、要是估計兩類常見的隨機（偏）微分方程中的參數(shù)。參數(shù)估計也是隨機微分方程中很重要的一個研究方向。我們在這章嘗試去估計一些典型的隨機微分方程的參數(shù)。在2.1節(jié)中，對金融信用風險定價中常用的仿射點過程，我們給出了仿射點過程中的參數(shù)的極大似然估計。2.2節(jié)給出了分式噪聲驅(qū)動的拋物型隨機偏微分方程中參數(shù)的核估計。
　　第三章主要研究隨機偏微分方程的性質(zhì)。隨機偏微分方程是目前概率論學科中迅速發(fā)展的一個研究領域。與偏微分方程的分類一樣，隨機偏微

5、分方程可以分為拋物型，橢圓型，雙曲型。在3.1節(jié)中，我們首先研究一類常見的雙曲方程一波動方程。在Jiang等[3]已經(jīng)得到由補償泊松隨機測度驅(qū)動的波動方程的全局弱解和強解的基礎上，我們考慮了這類方程的長時間行為。我們得到，在一定的條件下，這類方程的解是指數(shù)穩(wěn)定的。在3.2節(jié)中，我們考慮帶反射項的拋物型隨機偏微分方程。我們知道，在很多實際情況中，驅(qū)動項為白噪聲是一種很理想的情況，有時候驅(qū)動項也是時間相依的，同時運動軌跡也不是毫無限制，而是

6、有一定的邊界約束的。因此我們提出了研究分式噪聲驅(qū)動的帶有反射邊界的隨機偏微分方程。我們不僅得到了分式噪聲驅(qū)動的帶反射邊界的隨機熱方程的解的存在唯一性，而且還研究了這個方程的解的大偏差。在這章最后一節(jié)3.3，我們研究一類由Stepping-stone噪聲驅(qū)動的Cahn-Hilliard型隨機交互系統(tǒng)。Stepping-stone噪聲的存在使得擴散項系數(shù)不是李普希茲的，這在處理上增加了很多困難。所以我們首先找到一個噪聲項系數(shù)是李普希茲的系統(tǒng)